Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Для другого значения р (пусть р=р~) получим новые корни: Е~(рх), Еа(ра), Е3(рз), ... Выбирая различные значения р, приходим в итоге к семейству функций, определяемых уравнением (24.7): Е,(р), Е,(р), Е,(р),..., Е>(р),... (24.9) Для каждого индекса ) энергия является непрерывной функцией импульса.
Полагая эти функции ограниченными, запишем для индекса / Е~ "4Е~(р) ~( Ег". (24.9) Неравенства (24.9) включают значения энергии микро- объекта, образующие /-ю энергетическую зону. Если ока- 248 жется, что Етах Еаап у — г -у то в этом случае между (1 — 1)-й и 1чйг энергетическими зонами существует область нереализуемых значений энергии. Ее обычно называют запрещенной зоной. Таким образом, энергетический спектр электрона в периодическом поле должен состоять из ряда энергетических зон, некоторые из которых могут быть разделены запрещенными зонами. Внутри каждой энергетической зоны энергия изменяется непрерывно; она описывается некоторой непрерывной функцией Е;(р).
При замене р- р+2нйп(а система (24.6) переходит сама в себя. Отсюда следует, что Е, (,и+ ) = Е; (р). (24.10) Поскольку указанная ньиве замена ничего физически ие изменяет, то говорят, что импульс р имеет физически различные значения в пределах области: — пй(а < р < пй~'а. (24. 11) Функции Блоха. рассмотрим рю энергетическую зону. На рис. 24Д изобрахгеаа условной кривой зависимость Е,(р) для этой зоны. Выберем некоторое зиачеиие энергии Еа из указаниой зоны и обозначим соотаетстпуюгцес значение импульса для движения направо через ра. Волновую функцию иыбраииого стационарного состояния будем обозначать через т,'(р).
Легко видеть, что эта функция отлична от нуля только при р=у'+ +2и кп/а (иа рисунке видно, что только и этих точках кривая 249 Иными словами, р-пространство разбивается на участки протяженностью 2пй/а, и имеет смысл рассматривать р лишь в пределах одного отдельного участка. Указанные участки называют зоналги Бриллюэна. В данном случае мы имеем дело с одномерными зонами Бриллюэна. В общем случае зоны Брнллюэна трехмерны; они имеют часто весьма сложную конфигурацию, отражающую специфику рассматриваемого периодического поля. Зонная структура энергетического спектра характерна для электрона, движущегося в периодическом поле кристаллической регпетки.
Представления об энергетических зонах, а также о зонах Брнллюэна лежат в основе современной электронной теории твердых тел (см., например, [39, 40)). Еэ(р) псрссекается прямой Е=Еэ). Поэтому функция т,'(р) может быть записана в виде то (.р) = ~~5 3 й (,р) а (Ро + —,р) . и (24.12) Далее перейдем к координатному представлению по известному правилу (23.4): ,ро(х) (2луь) — 1/2 ~ то(р) е„р(1рх()ь)гул эр г Рис. 24.! Подставляя сюда (24.!2), получаем уо(х) = (2луь) 112 ~~) 12 (Ро + ) ехр [1 (ро + — ) х/!ь ~. и Вводя обозначение 2л!ьл1 1' 2лпх1 (2л!ь) 112 )' (2 (ро+ ехр ~1 = и (х), (24.13) и перепишем предыдущий результат в виде уо(т) = ао(х) е„р((рохг11) (24.14) Таким образом, волновая функция стационарного состояния, задаваемого индексами 1 и р, имеет в координатном представле- 250 Явный вид функции и (х) неизвестен [для этого надо было бы знать явный вид функции 0(х)). Однако из (24.13) видно, что функция и,э(х) периодична с периодом поля ио(х+ а) = — ио(х).
нии следующий анд [сранните с (22.24)]: тюр(х) = мур(х) ехр(юрх/ть). (24.15) Это есть плоская волна [ехр[юрл/Ъь)], амплитуда которой [иют(х)1 периодична с периодом поля. Функции (24,15) называются а литературе функциями Блоха. Потенциал Кронига — Пенни. Рассмотрим движение частицы в поле, потенциал которого изображен на рис. 24.2 (так называемый потенциал Кронига — Пенни), Это ю г у есть наиболее простой слу- В чай периодического потенциала. На рис. 24.2 указаны три Рис, 24,2 пространственные обласпи. Полагая сначала, что Е)[/о, запишем решения уравнения Шредингера (20.13): в области 1 юр, (х) = А, ехр (юйюх) + В, ехр ( — ю юю,х); й, = у' 2т (Š— сУ )/й; в области 2 юрз (х) = Аз ехр (юйзх)+ Вз ехр ( — юуюзх); ]юз = ]/2тЕ/й.
Решение в области 3 можно выразить через решение в области !, если воспользоваться полученными ранее результатами. Возьмем некую точку х из области 3. Согласно (24.15), можем записать р, (х) = и (х) ехр (ю/юх/й). (24.16) Выбранной точке соответствует симметричная точка х — 1 в области 1. В точке х — 1 имеем <р, (х — У) = и (х — У) ехр ]юр (х — У)/й]. В соответствии с (24.!4) перепишем это равенство в виде чую (х — 1) =и (х) ехр]юр(х — 1)/й].
(24.17) Из (24.!6) и (24.17) находим срз(х) ехр ( — юрх/й) = =юр, (х — 1) ехр ( — юрх/й) ехр (юр[/й), или окончательно р, (х) = ехр (юр/1й) [Аю ехр ]сй, (х — /)]+ + В, ехр [ — юй, (х — 1)]~. (24.18) 251 Используя (24.18) и выражения для грг и гр2, запишем условия непрерывности волновой функции и ее первой производной в точках, соответствующих скачку потенциала (в точках х=б и х=а).
Эти условия образуют однородную систему линейных уравнений относительно коэффициентов Аь Вь А2, В2.. А, + В,=А2+ В2 А, ехр (Иггг) + В, ехр ( — И,а) = = ехр (гр! 'й) (А, ехр ( — И,Ь)+ В, ехр (П,,гг)1 И,А,— И,В,=И А — и,В2, ~г2 ( А2 ехр (йга) — В, ехр ( — й,а)) = =ехр(гррй) [А, ехр ( — й,б) — В, ехр (И,ЬЦ /г,. Приравнивая нулю определитель системы, приходим к следугощему уравнению (выкладки опущены): 22+ 22 соз (р1/й) =соя (/ганг) соз (Фгб) — ' з!п (йза) з!п (гггб).
22122 (24.19) Поскольку косинус по модулю не превышает единицы, то получаем условие, накладываемое на величины )г, и lгм а значит, и на Е: 22 +,2 — 1 < соз(а а) соз(гггй) — ' з!п(йза) з!п(А,Ь) <1. 2ггггг2 (24.20) Это условие определяет разрешенные энергетические зоны.
Далее рассмотрим случай, когда Е<У,. Теперь й, — мнимая величина. Представим й,=йг, гдеггг=)г'2пг((/2 — Е))а. Гак как при замене йг на йз косинус и синус превращаются соответственно в гиперболический косинус и гиперболический синус (соз (гггб) †« — «сЬ (1226); з!п (гггб)-«!2Ь (!226)), то можно воспользоваться результатом (24.19), который в данном случае принимает вид соз ( — "" 1= соз (/г,а) с)г (гггб)+ ' 2 з!и (И2а) зй (агб).
~ и/ 22222 (24.21) Соответственно условие (24.20), определяющее энергети- ческие зоны, преобразуется к виду — 1~( сов(Ьза) с)г(йзЬ)+ ' 3!и (Иза) з(г (ЬзЬ) ~(1. 2азаз (24.22) Рассмотрим частный случай, когда Ь гз', а (а = г); Е г( (уз (барьеры высокие и узкие). Так как в данном случае величина Ь может стать сколь угодно малой, то можно потребовать, чтобы выполнялось также неравенство Ь )г2тс)з(7г (( 1, или иначе АзЬ (( 1. (24.24) (24.23) Учитывая (24.24), положим с)г (ЙзЬ) ы1 и з(г ((гзЬ) ы)гзЬ и, кроме того (согласно (24.23)], (Ьз — Ьз)г2йзггз = /гз!2Ьз = — )/0з(Е.
В итоге соотношение (24.21) принимает вид соэ (ра/й) =Е (Аза), где используется обозначение Р (у) =сов у+ (тИДЬзпз) зш у. (24.25) (24.26) Условие (24.22) преобразуется к виду — 1 (Е(Ьзгг) ( 1. (24.27) Функция г" ((гза) изображена на рис. 24.3. Участки оси Аза, для которых выполняется условие (24.27), на рисунке Рис. 24.3 253 Рис. 24.4 заштрихованы; этим участкам соответствуют разрешенные энергетические зоны (напомним, что йз=)~'2гпЕ/Ь). Используя (24.25) — (24.27), сделаем два замечания.
Первое: если а-+.оо (переход к свободному электрону), то соз (й,а)-~сов (ра/й); это соответствует переходу к классическому соотношению (23.16) для энергии и импульса частицы. Второе: из рис. 24.3 видно, что разрывы энергии электрона происходят тогда, когда соз (ра/й) = =-~1, т. е. при ра//г=пп, где и — целые числа. Согласно (24.11), это означает, что разрывы энергии имеют место на границе зоны Бриллюэна.
На рис. 24.4 показана определяемая соотношением (24.25) зависимость энергии электрона от импульса; хорошо видны упомянутые выше разрывы энергии (слева штриховкой показаны энергетические зоны). Для сравнения дана пунктиром классическая зависимость энергии от импульса для свободного электрона: Е=р'/2т. Образование энергетических зон как эффект снятия перестановочного вырождения. Превращение энергетических уровней электрона в атоме~в энергетические зоны электрона, «обоб7 7 щественного» криг сталлом, можно рассматривать как эф/ фект снятия перестаl новочного вырождения.
Как отмечалось в э 22, энергия элекял и лтл Р трона в атоме в общем случае некулоновского потенциала определяется квинтовыми числами п |и 1, в связи с чем можно говорить о ее,вьгрожден~ии с кратностью 2(21+1). Если предположить, что атом входит в состав некоего совершенно упорядоченного коллектива из У одинаковых атомов и остается прн этом изолированным от соседей, то кратность вырождения энергии электрона должна быть принята равной 2Л'(21+1).
Множитель М связан с так называемым перестановочным вырождением: в упорядоченном коллективе иет физически выделенных атомов, по- 254 этому энергия электрона не может зависеть от того, вблизи какого именно из Й атомов оп локализуется. Однако,в реальном коллективе (имеется в в~иду кр~исталл) атомы не изолированы — опи ~взаимодействуют друг с другом. Это,взаимодействие приводит к «обобществлению» электрона и частичному снятию вырождения его уровней: уровень с кратностью вьгрождевия 2М(21+ !) расщепляется в систему из М(21+!) подуровней, каждый из которых остается двукратно вырожденным (по спиновому числу о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
