Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В связи с этим напомним приводившуюся в й 6 фразу хЧтобы рассчитать 260 вероятность рассеяния электрона на электроне, надо в принципе учесть вклад [в этот переход) различных процессов, описываемых различными диаграммами». Возвращаясь здесь к фейнмановским диаграммам, подчеркнем, что теперь мы можем уточнить смысл приведенной выше фразы. Теперь мы можем разъяснить, что именно означает «учет вклада» разных диаграмм. Дело в том, что каждой диаграмме соответствует определенная амплитуда перехода; результирующая амплитуда есть сумма указанных амплитуд. Следовательно, для вычисления вероятности данного квантового перехода надо, во-первых, составить всевозможные фейнмановские диаграммы перехода и записать амплитуды, отвечающие разным диаграммам, а во-вторых, сложить все эти амплитуды и рассмотреть квадрат модуля суммы амплитуд.
Фраза в 5 6; «К счастью, вклад различных процессов [различных диаграмм), неодинако⻠— означает, что на практике используют метод возмущений, позволяющий ограничиться при составлении суммы амплитуд лишь первыми немногимп членами. Отмечавшаяся в 5 6 безразмерная вел~ичина (е'/йс) "г» есть множитель, который в указанной выше сумме амплитуд содержит амплитуды, отвечающие диаграммам с п вершинами.
Малость этой величины и обусловливает применимость метода возмущений в квантовой электродинамике. Можно сказать, что квантовомеханическая идея интерференции амплитуд переходов в сочетании с методом возмущений составляет, с самой общей точки зрения, основу квантовой электродинамики как квантовой теории. й 26. СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ ЭВОЛЮЦИИ микРОсистемы ВО ВРемени Заканчивая книгу, обсудим с достаточно общих позиций принципиально важный вопрос о способах описания эволюц~ии микросистемы во времени. Развитый к настоящему времени аппарат квантовой механики использует три разных способа. Этим способам отвечают три разных формы записи уравнения движения в квантовой механике.
Ниже мы обсудим упомянутые способы. Обычно о них говорят как о трех разных представлениях, а имен- 26! но: представлении Шредингера, представлении Гейзенберга и представлении взаимодействия (представлении Дарана). Термин «представление» используется пр~и этом в ином, более широком смысле, нежели в предыдущих параграфах данной книги. Можно говорить о координатном представлении Шредингера или импульсном представлении Шредингера.
Выше мы ограничивались представлением Шредингера, но учитывали разные представления, понимаемые в более узком смысле,— координатное, импульсное, энергетическое. Теперь же мы обсудим представления Шредингера, Гейзенберга и Дирака, ограничиваясь,из «прежних представлений» координатным. Представление Шредингера. В этом представлении эволюция ммкросистемы ~во времени описывается как эволюиия амплитуд состояний данной микроснстемы: ф (х т) = (у (т, ~о) ф (х ~о). (26.1) Оператор 0(1, 1г) удовлетворяет условиям: (уА то)=1 (26.2) йй+ =О+й=1. (26.3) Условие (26.2) очевидно. Условие унитарности (26.3) есть прямое следствие независимости нормировки амплитуды состояния от выбора момента времени; ) ф' (х, г)ф(х, 1) йх=) ф' (х, т„) ~ (х, т,) йх.
Квантовомеханическое уравнение движения, имеет в представлении Шредингера вид (отвечающий уравнению Шредингера) тй — ф(х, 1)=Й (х)ф(х, г), дг (26.4) Здесь экспоненту следует понимать в смысле разложения в степенной ряд. Представление Гейзенберга. В этом представлении эволюция микросистемы,во времеви описывается как 262 где оператор Н от времени не зависит. Используя (26.4) л (26.2), легко.найти вид оператора 0(т, 1г): с)(г, тс)=ехр~ — — '(г — тс)Й(х)~. (266) ъ, эволюция эрмитовеких операторов, описывающих данную микросистему. При этом амплитуды состояний предполагаются не зависящими от времени: ~ (х, 1) = ~ (х, 4 ) .
(26.6) Переход от амплитуд в представлении Шредингера к амплитудам в представлении Гейзвнберга осуществляется, как это следует из (26.1), при помощи оператора О+(1, го): о(х, ~)=йо (1, ~,) ~Р(х, г'). (26.7) Действительно, подставляя (26.1),в (26.7), получаем у(х, 1)=О+Оф(х, 1о)=ф(х, 1о)= =О(г„~,)~(х, г,)=р(х, г,) Пусть Л(х) — оператор некоторой физической величины в представлении Шредингера. Согласно (17.32) и (26.7), этот оператор в пред~ставлении Гейзенберга будет ~иметь вид Е(х, ~)=О+(~, 1о)А(х) ОИ, ~о) (26.
8) Подставляя (26.5) в (26.8), находим Е(х, г) = ехр ) — (г — 1о) Й (х)~ Е (х) Х ",Ъ. Х ехр ~ — — ' (г — 1„) Й (х)~ . (26.9) Дифференцируя (26.9) по времени, получаем дй — Т (х, Г) = ехр 1 о (1 — 1о) Й (х) ~ Е (х) Й (х) Х де [о Х ехр ~ — — (г — Уо) Й (х)1 — ехр à — (г' — 1о) Й (х)~ Х то ц Х Й,(х) Т(х) ехр ~ — = (г' — го) Й (х)~, (26.10) что можно переписать в виде 16 — Е (х, г) = Оо т'. (х) Й (х) Π— О+ Й (х) е (х) О дг (26.11) 263 или с учетом (26.3),в,виде И д Е (х, ц = и е (х) ии й (х) и— д~ . и й(х)йй Х(х)й.
(26.12) Используя (26.8) как в отношении оператора 1.(х), так и в отношении оператора Н(х), получаем отсюда квантовомеханическое уравнение движения в представлении Гейзенберга [сравните с (19.10)[: 1л — А(х, ~)=[К(х, 1), Н(х, 1)[. д~ (26.13) Сопоставление представлений Шредингера и Гейзенберга. Заметим, что в момент 1э имеем ~р(х, 1,) = =Ф(х, 1э) и 1. (х, 1О) =Х(х), т. е.
совпадают как амплитуды состояний в обоих представлениях, так и операторы в обоих представлениях. Однако в последующие моменты времени обнаруживаются две разные ситуациями: в представлении Шредингера;изменяется амплитуда состояния, а оператор остается таким же, каким он был в момент 1а., в представлении Гейзенберга, напротив, изменяется оператор, а амплитуда состояния остается такой же, какой она была в момент 1м Как говорят, в представлении Шредингера зависимость от времени перенесена на амплитуды состояний, а в представлении Гейзенберга — на операторы. Для практических расчетов обычно удобнее представление Шредингера. Однако представление Гейзенберга имеет то преимущество, что оно позволяет выявить математическую аналогию квантовой механики и классической механики.
Именно в представлении Гейзенберга квантовомеханические соотношения имеют вид классических соотношений, в которых физические величины заменены операторами (напомннм,в связи с этим последний пункт в ~ 20). Шредингер, вводя в 1926 г. представление, носящее теперь его имя, рассматривал зависящие от времени амплитуды состояний как амплитуды неких волн и положил тем самым начало направлению, получившему название «волновая механика». Годом раньше Гейзенберг предложил свой способ описания эволюции микросистем во времени; при этом уравнение (26,13) было первоначаль- 264 но введено в матричном виде.
Тем самым было положено начало направлению, получившему название «матричная механика». Различие между обоими указанными направлениями сводится к описанному выше различию между представлениями Шредингера и Гейзенберга, т. е. имеет сугубо формальный, аппаратный характер. Представление взаимодействия (представление Дирака).
Предположим, что гамильтониан микросистемы распадается на два слагаемых, пз которых одно (Йо) представляет собой собственно гамильтонпан микросистемы, а другое (Н,) описывает взаимодействие исходной микросистемы с внешними полями или другими системами (иначе говоря, «отвечает» за эффект возмущения исходной микросистемы): Й (х, т) = Л, (х) + Й, (х, У).
(26.14) В этом случае удобно пользоваться представлением взаимодействия, введенным Дираком. Амплитуда состояния в представлении взаимодействия Ч'(х, 1) выражается через амплитуду состояния в представлении Шредингера ф(х, () следующим образом: Ч'(х, ~)=ехр( — тто (х) (~ — ~о)1у(х, т). (26.15) ~ ть В соответствии с (17.32) находим отсюда вид оператора Хв(х, 1) в представлении взаимодействия: Ее (х, т) = ехр ~ — ' (1 — 1о) Й, (х)1 У. (х) х Х ехр [ — — (1 — ~,) Н, (х)~ .
(26.16) Подчеркнем, что в (26.15) и (26.16) используется не весь гам~ильтониан Н(х, 1), а лишь его «невозмущенное» слагаемое Но(х). Продифференцируем (26.15) по времени: И вЂ” 1« (х, 1)= — тт'о(х) 1Р (х, 1)+ д» + И ехр ~ — ' (~ — ~о) Йо (х)1 — ( (х, ~). 265 Поскольку (й — ф(х, 1)=(Йа(х)+Й,(х, 1)]ф(х, 1), щ то последний результат принимает вид тй — Ч' (х, 1) = ехр ~ — (1 — 1а) Йа (х)~ Й, (х, 1) ф (х, 1) = д~ =ехр ~ — '(1 — 1а) Эа(х)1Й,ехр( — — '~,~ — 1) Й (х)] >( Х йг(х, $)=Й1 (х, 1)%'(х, 1). (26.17) Собирая полученные результаты, запишем квантовоме- ханичеснне уравнения движения в представлении взаи- модействия: ~.в (х ~)=(7-в (х ~) ' ~а (х ~Н (26.18) гй — %'(х, 1)=Й~ (х, ~) гг'(х, 1) ач (26.19) зве (заметим, что (26.18) получается в результате дифференцирования по времени выражения (26.16)).
Итак, в представлении взаимодействия зависимость от времени амплитуды состояния определяется гамильтонианом взаимодействия (возмущения) НР, тогда как зависимость от времени оператора определяется «невозмущенным» гамильтонианом Йа. В этом смысле представление вза~имодействия отвечает картине, промежуточной между представлениям~и Шредингера и Гейзенберга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
