Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Наконец, рассмотрим случай, когда частица прохо- дит над барьером (Е<()). В этом случае вместо (21.39) будем иметь: у, (х) =ехр(Их)+ В, ехр( — Их), ~>, (х) = А, ехр (1КК)+ В, схр ( — 1КК), (21.49) ) п(х)=А,ехр(Их), где К=)/2тл(Š— иУй. Используя (21.49), запишем граничные условия для точек х=О и х=а, решим получающуюся при этом систему уравнений и найдем коэффициент Вь Далее в соответствии с (21.42) определим коэффициент отражения и =1отрДпад.
Он оказывается равным (Ю вЂ” Кд)2 Мп2 (Ка) 4ьхКх + (ьх — Кх)д мпх (Ка) 232 Используя (21.47) и (21.50), можно получить зависимость коэффициента прохождения 7) от отношения Е7(1. Графически эта зависимость приводится на рис. 21.4. Там же пунктиром показана зависимость В(Е7(7) для классической частицы. Сопоставление сплошной линии с пунктирной оттеняет квантовомеханическую специфику микрочастиц. Подчеркнем, что при Е((/ в классической механикс все частицы отражаются от барьера, ни одна не проходит сквозь барьер; в квантовой же механике часть частиц отражается, а часть проходит сквозь барьер. При Е> (/ в классической механике все частицы прохо- Рис. 2Е4 дят и нп одна не отражается; в квантовой же механике часть частиц проходит, а часть отражается.
Как подбарьерное прохождение, так и нидбарьерное отражение микрообъектов являются специфически квантовымп эффектами. й 22. ГАМИЛЬТОНИАН В НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРНЫХ ЗАДАЧАХ Линейный гармонический осциллятор. Гамильтониан имеет вид д Тса из твзхз (22.1) 2т йхз 2 + (он получается из (4.5) с учетом (19.1) и (20.4)]. Собст- венные значения: Е„= Ам (и+ — ); и=О, 1, 2, (22.2) 233 (при п=0 получаем из (22.2) энергию нулевых колебаний, которая была оценена еще в Ч 4 на основе соотношения неопределенностей]. Собственные функции: 4 Т„(х)=у пкь/й ехр( — 1'/2) Н„Я), где $=х Г' та/й, Н„(5) — так называемые полиномы Эрмита.
Выпишем выражения для нескольких первых функций ~р, (х): ч,(х)=(хч)гп) ьпехр( — хт/2хр), (22.4а) у, (х)=(2х,) 'и) И'ехр( — х'/2хч) 2х/хм (22.46) »( )=(8,). ) ц' р( — е,') (4 — -2) (224 ) хэ а (здесь хе=) гй/т»), Примечание: полиномы Эрмита, а также упоминаемые ниже обобщенные полиномы Ляггера и введенные в э 20 сферические функции и полиномы Лежандра относятся к специальным функциям. Специальным функциям и их приложениям посвящена обширная математическая литература; для справок укажем, например, (36, 37).
Атом водорода. Задача об атоме водорода — хорошо изученная задача о движении электрона в кулоновском сферически симметричном поле. Гамильтониан имеет вид ЪЛ еэ 9= — — д —— 2м г (22.5) (он получается из (4.1) с учетом (19.1) н (20.6)). Собственные значения этого гамильтониана описываются хорошо известным читателю выражением (см. (2.5)) Е„= — те«/26'ам п=1, 2, 3,... (22.6) Собственные функции гамильтониана (22.5) могут быть представлены в виде Фм =Пм(г) ~'1 (ч, т); /=О, 1,..., а — 1; т=О, + 1,, + Е (22,7) Здесь Ун«(0, ~р) — сферические функции; они определяют «угловую часть» волновой функции независимо от конкретного вида сферически симметричного потенциала; Д„~(г) — «раднальная часть» волновой функции; она определяется уравнением (21.30) с кулоновским потенциалом (И(г) = — е'/г).
Вид функции й,~(г) описывается вы- ражением />ы (г)=-сопз1 ехр(г/г,п) (2г/г,п))ь„+~~ ~(2г/г,п), (22.8) где г,=Аз/тез (эта величина известна читателю как ра- 234 диус первой боровской орбиты), а 1.„+Р'+' — так называемые обобщенные полпномы Ляггера (см., например, (36)) . Выражения для нескольких первых сферических функций приведены в $ 21 (см. (21.26)), Приведем выражения для нескольких первых функций Рю(г): К,з = 2г~ ~~~ ехр ( — г/г,), (22.9а) ~м=(2г~) Н ехр( — г~2г,)(1 — — ), (22.9б) 2г~ ) à — — 1 )с„=(2 г' бг~ ) ехр( — г/2г,) г(го (22.9в) При обсуждении понятия электронного облака в Э 5 приводились функции о„~ и Е~, на рис.
5.2, а был показан вид нескольких функций ш„~(г) =г'оы(г), а рис. 5.2, б демонстрировал некоторые функции У~ . Возвращаясь к функциям, рассматриваемым в данном параграфе, отметим, что о„,=й„г(г), а 2с = (Ур„,(0, ф) !з. Заметим, в частности, что (5.4) согласуется с (22.9а). Используя (22.9) и (21.26), выпишем несколько первых собственных функций гамильтониана (22.5): Фво=(п") ехр( гlг~) (22.10а) Ъ,= (8пг ) ~ ехр( — г/2г,) (1 ††), (22.10б) 2г~ 1 1Г ~ — 1 ')зп=(8 г' пг,'! ехр( — г/2г,)з1пйе'тг(ги зт )ме=(4 г' 2пг~~) ехр( — г(2г,)созйг(гп (22.10в) (22.10г) 235 Функция (22.10а) описывает основное состояние атома водорода, а функции (22.10б) — (22.10г) описывают возбужденные состояния, соответствующие первому возбужденному уровню энергии (п=2).
0 вырождении энергетических уровней. Из (22.6) видно, что энергия электрона в атоме водорода определяется только квантовым числом п, тогда как состояния (функции ф ы ) †тре квантовыми числами: п, 1, т. Кроме того, при рассмотрении состояний электрона надо учесть спиновое квантовое число а, не вошедшее в рассматриваемые здесь выражения. Поскольку при заданном главном квантовом числе п орбитальное квантовое число 1 принимает целые значения от 0 до п — 1, а для каждого числа 1 магнитное квантовое число принимает 21+1 значений, то энергетическому уровшо Е должно соответствовать следующее количество д состоянии: д =2')', (21+1)=2из (22.11) 2М л~(,~~ 2 ! » +и, ((г,))-)-и,(ф,))-)-и, ((г,), ф,.)). (22.12) 236 (множнтель 2 учитывает два спиновых состояния электрона).
Это означает, что собственное значение Е гамильтониана (22.5) (иначе говоря, и-й энергетический уровень) 2п'-кратно вырождено. Вырождение энергетических уровней связано, как правило, с наличием у атомной системы симметрии. Так, например, благодаря сферической симметрии внутри- атомных полей имеет место вырождение по квантовым числам щ и а -- энергия не зависит от ориентации орбитального и спинового моментов электрона.
Вырождение по квантовому числу 1 принято считать «случайным», связанным со спецификой кулоновского потенциала; в некулоновских полях энергия электрона зависит не только от п, но также и от 1. Различные силовые поля, внешние либо внутренние, могут понизить степень симметрии системы. Так, например, «включение» внешнего электрического поля приводит к появлению физически выделенного направления: в результате сферическая симметрия исчезает — вместо нее теперь имеет место цилиндрическая симметрия. Понижение симметрии приводит к снятию вырождения уровней (частичному или полному).
Это проявляется в расщеплении энергетических уровней, т. е, в превращении их в совокупности новых, менее вырожденных уровней. Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле называют э44ектом Штарка, а во внешнем магнитном поле — эффсктож Зееаана. Кристалл, адиабатическое приближение. Гамильтониан кристалла, состоящего из У ядер и ЛМ электронов, запишем в виде Здесь М вЂ” масса ядра; Р; — оператор импульса схго ядра; тп — масса электрона, рл — - оператор импульса й-го э.нектРона, (глу — совокУпность кооРдинат электРонов, (Аз) — совокупность координат ядер. Функция ст'~ описывает взаимодействие электронов; она имеет вид (22.13) — 2 (У, = — ез)глг, 2 зл! где гм — расстояние между й-м и 1-м электронами.
Функция Уз описывает взаимодействие ядер, а функция Уз— взаимодействие ядер и электронов «. Воспользуемся тем, что М»пт и, следовательно, ядра движутся гораздо медленнее электронов. Это позволяет рассматривать движения ядер и электронов порознь: рассматривая движение электронов, полагать ядра покоящимися; рассматривая движение ядер, полагать, что электронный коллектив создает усредненное поле, не зависящее от координат отдельных электронов.
В этом случае волновая функция кристалла может быть представлена в виде произведения «ядерной» и «электронной» функций: (22.14) Прн этом гамильтонпан (22.12) разбивается на сумму «ядерного» гампльтониана Н~ н «электронного» гамильтониапа Йз: (22.15) — чв' рл+ чв~ ч(з~ +«Уз((г„)). (22.16) 2т,аяза 2 ммз,маза гзг а змг Функция Уз описывает потенциальную энергию электронов в поле ядер, покоящихся в узлах кристаллической решетки. * Описывающие различные потенциалы взаимонействия функции Гун ГУъ ГУз Фактически являются соответствующими операторами, заЛаннымн н координатном представлении.
237 Таким образом, вместо решения весьма сложного уравнения Шредингера для всего кристалла Й~ ((т ), (УЦ) =Е'"~((г ), ф,)) (22.17) достаточно решить два более простых уравнения: а) для ядер (для кристаллической решетки) !2,%'(ф,.))=Е« Р((7~,.)), б) для электронов 7~ 8',((т ))=Е'~.((г.)) (22. 19) причем Е'в=Е»+Е'. Данное приближение называют адиабатическим.
В заключение сделаем одно довольно важное уточнение. При использовании адиабатического приближения рассматривают, строго говоря, не голые ядра, а ядра вместе с теми электронами, которые с ними достаточно прочно связаны. Следовательно, когда говорятоб отдельном рассмотрении коллектива электронов, то имеют в виду не все электроны, а лишь те, которые «обобществлены» кристаллом (иначе говоря, электроны, движущиеся по кристаллической решетке, например электроны проводимости). Однозлектронное приближение. В соответствии с адиабатическим приближением будем рассматриватьдвижение электронов, «обобществленных» кристаллом, отвлекаясь от динамики кристаллической решетки. Воспользуемся выражением (22.16) и учтем, что функция (/г((т«1) может быть представлена в виде суммы по «обобществленным» электронам (поскольку каждый электрон взаимодействует с полем решетки независимо от других электронов): У,((т»)) =~(У«(г»). В этом случае «электронный» гамильтопиан (22.16) принимает вид й= 1 (в1и'+ 1 ~ч, У вЂ” '+~~~,(7,( „).(22.20) 2»г „аз 2,~~С~ тм » »;с » Дальнейшее упрощение основано на предположении, г что входящее в (22.20) слагаемое 7 ~~~в~/тм можно 238 приближенно заменить суммой по электронам: — ' ~Р ~.
—" =~Р (у,(.,). (22.21) 2 а ф,С ~ тм,Сд~ »ис » Иначе говоря, при рассмотрении электрон-электронных взаимодействий предполагается, что каждый электрон движется в некотором общем для всего коллектива поле (как говорят, самосогласованном поле). В результате гамильтониан электронного коллектива разбивается на сумму «одноэлектронных» гамильтонианов. Это позволяет представить волновую функцию коллектива в виде произведения «одноэлектронных» функций (обозначим их через Ч~(тк)], после чего уравнение Шредингера для коллектива электронов превращается в совокупность «одно- электронных» уравнений вида Р' +и,(т)+и,(т)1 (т)=Е (').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
