Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Используя (20.4), запишем уравнение для собственных функций х-составляющей импульса." — /л — Е,„(х) = Р,Е„(х). и йх х Рх (20.7) 206 Результаты (20.1) и (20.4) легко обобщаются на трехмерный случай: Легко видеть, что уравнение (20.7) имеет решения при любых значениях параметра р .
Следовательно, импульс микрообъекта не квантуется (спектр собственных значен~ий оператора импульса непрерывен). Из уравнения (20.7) следует, что собственные функции оператора р, имеют вид алоских волн: Рр '(х)=А ехр(гр„х/й). Для определения множителя А воспользуемся условием ортонормировки (17.17): [ 4/*. (х)фр (х)дх=3(р — р„). (20.8) Подставляя сюда (20.8), находим А' [,ехр [ — (х(р — р„)/Ь) «х Ь(р„— р„). Далее учтем, что в соответствии с (15.17) [ ехр [(х (р„— р„)/л[ Ых = 2пМ(р„— р„'). Сопоставляя два последних равенства, получаем А'= = (2пй)-'. Следовательно, ф,(х)=(2пй) нвехр(1р„х/Ь). (20.9) 207 Обобщение на трехмерный случай дает ф- (г) = (2пй) ~г' ехр ((р г/й) .
(20.10) Отметим, что собспвенная функция импульса (20.10) совпадает с приводившейся в 9 15 ,волновой функцией (15.15) свободно движущегося микрообъекта. Уравнение Шредингера. Рассмотрим уравнение (18.23) для собственных функций гамильтониана: Ор ( )=Ер (х). (20.11) Используем для гамильтониана микрообъекта, движущегося во внешнем поле с потенциалом (/(х), выражение (19.1) и учтем при этом результаты (20.2) и (20А). Получим Ъ,з «2 Н (х)= — — — +У(х).
2щ «хг Подставляя (20.12) в (20.11), находим — — — ч (х) +((У (х) — Е' ч (х) = О. (20,13) 2т ахг Это есть одномерное уравнение Шредингера. Обобщая его на трехмерный случай, запишем — — ьр (г) + [У (г) — Е] ~ (г) = О. 2м Зная функции ~рв(х), можно записать выражения для амплитуд стационарных состояний Ч'я(х, 1), поскольку зависимость от времени имеет в этом случае универсальный ~вид, обсуждавшийся в $ 13. Используя (13А) и учитывая тот факт, что Функции Ч"я(х, 1), как легко видеть, являются решениями у~равнения (18.22), в котором в качестве Н использован гамильтониан (20.!2).
Это уравнение имеет в данном случае вид д иг дг л'й — Ч' = — — — Ч'+ ТУ (х) %'. дл 2т дхг (20.17) Его также называют уравнением Шредингера. Точнее говоря, уравнение (20.13) называют уравнением Шредингера, не зависящим от времени, а уравнение (20.17)— уравнением Шредингера, зависящим от времени. Заслуга Шредингера состояла в том, что он догадался (именно догадался!) записать гамнльтониан микро- объекта в виде (20.12).
Правда, в схеме наших рассуждений результат (20.12) не представляется неожиданным — он подан здесь как следствие результатов (19.1), (20.2) и (20.4). Однако следует иметь в виду, что результат (19 1) здесь ниоткуда не выводился; фактически он был постулирован (то гнее говоря, была постулирована аналогия между классическими и квантовомеханическими соотношениями).
Когда Шредингер предложил свое знаменитое уравнение, эта аналогия еще не представля- 208 Ч' (х, ~)=(Е ! х, т)= "х, т ! Е='=Сеф, (20.15) получаем Ч' . (х, 1) =о . (х) ехр( — (Ег/Й). (20.16) лась очевидной. Более того, ~именно результат (20.12) послужил, как мы убедимся ниже, обоснованием указанной аналогии. Операторы проекций момента и квадрата момента. Используя (19.2) и (20.4), легко получить выражения для операторов проекций момента: I д д дх ду / ' д д сй„= — 18 Ь вЂ” — х — 1 . дх дх / г д д ~ ду дх / (20.18) Оператор мвадрата момента определяется выражением Мз=М +М~~+М~.
(20.19) При рассмотрении операторов момента удобно пользоваться не декартовыми координатами х, у, г, а сферическими координатами г, 8, ф. Напомним: Отсюда с учетом (20.18) получаем д М,= — й — . дт (20.21) д Рассматривая аналогичным образом производную — ф, дв находим М„+ УМ =Ьееге(+ — +рс1д0 — ) дт 209 (20.22) х=г ып 0 сов ф, у=гыпйыпф, (20.20) =гсоз0. д Иопользуя (20.20), представим, производную — ф в виде дт 'д дф дх дф ду дф дх + — — + — —— де ' дх дт ду дт дх дт дф . . 1 дф = — — г ып 0 з1п <р, — г з1п 0 соз ф=(х — — у — 1 ф.
дх ду ду дх / [Мо РГ[=1й ~емзРм (20.29) [Яо М~[=1й „)зецзМ„. (20.30) Здесь ецз — единичный антисимметричный тензор 3-го РаНГа; ЕЗЗЗ6 ВЗЗ1г аЗ16=1, а1ЗЗ=гЗЗГ=ВЗ З= — 1, ОСтаЛЬНЫЕ 2! компонент этого тензора ра~вны нулю (в этих компонентах,по крайней .мере два индекса имеют одинаковое значение). Легко убедиться, что в суммах по й присутствует не более одного слагаемого.
В,координатном представлении г; = гь .поэтому ре.зультат (20.24) очевиден. Он означает, что все три координаты мнкрообъекта могут быть измерены одновременно (они входят ~в один и тот же полный набор величин, как это и отмечалось в $3). Учитывая (20.4), представим: ! дз дг [р р~[Ф= — й' ~ — — 1 Ф. ~ дг;дг1 дггдгз 1 Поскольку величина смешанной производной не зависит от того, в каком порядке производится дифференцирова- шо Отсюда с учетом (20.19) получаем Л'[з= — йз 1 — — + — — 1 з)п 6 — 11 .
(20.23) 1 з!пзз дтз Мпз дз ~ дВ/ Перестановочные соотношения. Эти соотношения представляют собой яра~вила коммутирования для операторов координаты, импульса и момента микрообъекта. Обозначая декартовы компоненты указанных операторов индексами 1, 1, й, выпишем упомянутые правила коммутирования (ниже показано, как можно получить эти правила): [го 7Л=О, (20.24) [р,, р,[=0, (20.25) [ро гз[= — зйл», (20.26) [Ро У(г)[= — дй — Г'(г), (20.27) дгз [Мо г1[=зй ~~'„,емзгз, (20.28) ние, то отсюда следует, что [рь р1) О. Этот результат означает, что все три составляющие, импульса одновременно измеримы (онн входят в один н тот же полный набор величин).
Результат (20.26) устанавливается следующим образом: д д [р„г ) В= — И( — (гад) — г1 — ф~= 1 дг~ дг~ дг1 = — И вЂ” Ф= — ~МИФ. дг~ Он означает, что разноименные составляющие импульса и координаты одновременно измеримы, тогда как одноименные составляющие неизмеримы в полном соответствии с рассматривавшимся в 5 3 соотношением неопределенностей для,координаты и импульса микрообъекта.
Результат (20.26) означает также, что три составляющие координаты и три составляющие импульса входят в разные ~полные наборы величин. Результат (20.27) есть обобщение результата (20.26) . Действительно, д 1 . ду [ро у) ф= — И( — (~'ф) — у — ф~= — И вЂ” ф. 1 дг~ дг~ ~ дг~ Результаты (20.28) — (20.30) могут быть получены из (19.2) с учетом предыдущих перестановочных соотношений. Результаты (20.28) и (20.29) означают, что одноименные составляющие момента и координаты (момента и импульса) одновременно измеримы, а разноименные— неизмеримы. Эти результаты означают также, что проекции момента не могут входить ни ~в полный набор величин, включающий координаты, ни в полный набор величин, включающий составляющий импульса.
Результат (20.30) означает, что различные составляющие момента не имеют общей замкнутой системы собственных функций и не могут входить в один и тот же полный набор величин. Учитывая уже рассмотренные примеры, следует заключить, что ~различные составляющие момента не могут быть измерены одновременно. Это заключение правильное; однако оно нуждается в одном уточнении, которое удобно сделать именно на примере составляющих момента. Дело в том, что возможен слу- 211 чай, когда все три составляющие момента одно~временно измеримы — это частный случай, когда все трн составляющие равны нулю. Указанный случай, разумеется, не влияет на существо дела; как отмечалось в З 17, наличие одной общей собственной функции, никак не связано с вопрооом о коммутированнн операторов.
Пользуясь соотношениями (20.19) н (20.30), можно установить еще одно правило коммутирования: [тйз, М,)=0, (20.31) Оно означает, что в один н тот же полный набор величин надо включать квадрат момента и какую-либо одну из проекций момента. Заметим, что одновременная измеримость всех составляющих импульса и отсутствие подобного свойства для составляющих момента имеют весьма наглядное объяснение. Дело в том, что связанные с оператором импульса параллельные переносы переместительны, тогда как связанные с оператором момента вращения непереместительны. Безразлггчно, перемешать ли сначала вдоль оси х, а затем вдоль оси у, или же в обратной последовательности.
Однако совсем не безразлична последовательность поворотов. Для примера возьмите точку иа оси х и совершите два последовательных поворота иа 90' — в одном случае сначала вокруг оси х, а затем вокруг оси а; в другом случае сначала вокруг оск х, а затем вокруг оси х. Легко убедиться, что разным случаям отвечают разные конечные положения точки. Оператор инверсии; четность. Оператор инверсии 7' определяют следующим образом: РИт г) = РИ г) (20.32) где Р— некоторая постоянная. В результате двукратного применения оператора инверсии приходим, очевидно, к исходной функции тр(т, 1).
Отсюда следует, что Р'=1, т. е. Р=+ 1. (20.33) Величину Р называют пространственной четностью. Если Р=1 и, следовательно, Рзр(т, 1) =зр( — т, г), то говорят, что микрообъект обладает положительной четностью; если же Р- — 1 и, следовательно, Ртр(т, 1) = — зр( — т, 2), то говорят, что микрообъект обладает отрицательной четностью. 212 (20.34) Решения этого уравнения имеют внд р (т) = А ехр (1Мр)й). (20.35) Функция зр периодична: тр(~р+2п) =ф(~р).
Следовательно, Мл=йлт, тп=0, + 1, + 2, (20.3б) Получен уже знакомый читателю результат: проекция момента квантуется, она принимает значения, разли- Предположим, что рэ, 7У1=0. В этом случае в соответствии с (19.10) четность является сохраняющейся величиной: если в начальный момент времени состояние микрообъекта было, например, четным, то оно должно оставаться четным и в последующие моменты времени (что, естественно, накладывает определенные ограничения на возможные изменения состояний микрообъекта). В $1 было указано, что законы сохранения энергии, импульса, момента являются следствием определенных свойств симметрии пространства и времени. В этом смысле закон сохранения пространственной четности не является исключением. Он есть следствие симметрии по отношению к операции инверсии, которую, как легко убедиться, можно свести к сочетанию операций поворота и отражения в зеркале 1действительно, операция (х, у, г)ч-( — х, — у, — г) состоит из поворота на 180' вокруг, например, оси з и отражения в плоскости, перпендикулярной оси х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
