Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Оператор Ь в сферических координатах имеет вид (21.18) гз дг ! дг/ гз — — (гз — р)+ — д0 Д(г, в, е)+ га дг (, дг ) гз +(2т!60) [Š— (У(г)1ф(г, В, у)=0. (21.20) Уравнение (21.20) допускает разделение переменных в сферических координатах. Это означает, что его решение можно искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от г, а другая — от угловых координат 0 и ~р: ф (г, В, ср) =- рр(г) Ф (в, т). (21.21) Подставляя (21.21) в (21.20), получим результат, который можно представить следующим образом: д сИ 2т гз 1 + гз ~Е (Г(г)) й(г) дг дг у п2 ) (21.22) К(г) е(0, т) ' Поскольку левая и правая части равенства (21.22) зависят от разных независимых переменных (соответственно от г и от О, ~р), то каждая из этих частей должна равняться некоторой постоянной, которую обозначим через Л.
Введя указанную постоянную, запишем — д„1(в, р)=лф(в, р). (21.23) Сравнивая (21.19) с (20.23), заключаем, что (21.23) есть фактически уравнение для собственных значений и собственных функций оператора М'. Это позволяет воспользоваться соотношениями (20.39) и (20.40) и записать л=((1+1), (=0, 1, 2,..., (21.24) Г 21 + 1 (! — ! т ! )! ! т ! Р! ' (соз 0) е'"0 = 4п (!+ (т!)! ==1'! (В, ср), (21.25) 8- 28!9 225 где т=О, -~-1, ..., ч-1. Функции У~ (О, р) — сферические функции (они введены в 2 20). Здесь полезно выписать выражения для нескольких первых сферических функций: 1 )г 4я (21.26а) 1 м= 1,г — соз 0; Г, 2, = ~,г — з( и 0 еа22, (21.266) 4п ' )Г' вл 2/ 5 /2 2 11 Г22 — 1 г соз2 0 4п '13 2) / 15 )г2, 22 = 1,г — з(п 0 соз 0 е-"'т; а — 2 1'2, 22=1 г — ' з(п20е»2ы. 1~ (21.26 в) Подчеркнем, что «угловая часть» волновой функции не зависит от конкретного вида потенциала У(г); это есть прямое и важное следствие сферической симметоии потенциала.
Далее обратимся к «радиальной части» волновой функции, т. е. к функции )с (г). Согласно (2!.22) и (21.24), она должна являться решением уравнения — — (г' — )+ — (Š— (У,(г)1Я(г)=0, (21.27) 1 Л /2сИ1 2»2 г2 Нг (, Лг ) Ъ,2 где введено обозначение и,(г)=и(г)+ "('+" 2»2г2 (21.26) Примечательно, что уравнение (21.27) может быть све- дено к одномерному уравнепиьо Шредингера со специ- альным граничным условием при г=О. Для этого надо ис- пользовать подстановку у (г) = гЯ (г) (21.29) 226 и потребовать в силу ограниченности функции )г(г), чтобы выполнялось условие ~р(0) =-О.
Легко убедиться, что подстановка (21.29) действительно превращает (21.2?) в одномерное уравнение Шредингера: — т+ — (Š— (У~ (гЦ (г) = О, (21.30) — ~ ргЛ~+ $ рэЫЮ = О. д~ . э прн этом граничное условие ~р(0) =0 соответствует одномерной потенциальной яме, имеющей слева (при г=О) бесконечно высокую вертикальную «стенку».
Дальнейшее рассмотрение уравнения (21.30) требует, очевидно, учета конкретного вида потенциала У(г). Отметим, что к задачам о движении частицы в сферически симметричном поле относятся, в частности, задачи об электроне в атоме и о рассеянии частиц на сфернчески симметричных центрах.
Уравнение непрерывности и уравнение Шредингера. Установим некую формальную аналогию между уравнением Шредингера (зависящим от времени) н широко используемым в классической физике, особенно в гидродинамике, уравнением непрерывности. Предположим, что имеется некая среда (например, гкидкость), описываемая функциями р (г) и и (г) (р (г) — плотность среды, а о(г) — скорость частиц среды в точке г; разумеется, эти функции могут зависеть также и от времени). Выделим мысленно некий объем Р внутри среды. Изменение количества жидкости в этом объеме за единицу времени рава г но — ~ рть~.
Выделим на поверхности 5, ограничиваюа~,~ щей объем У, некий элемент поверхности Ю и будем сопоставлять с ннм вектор Ы5, по величине равный Н5 и направленный по нормали к поверхности наружу. Количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объема У через элемент поверхности д5, равно рЫ5. Через всю поверхность 5 в единицу времени вытекает количество жидкости, равное ~ рй5.
Условие сохранения вещества требует приравнять — — ~ рЛ' и ~) рвгг5. Таким образом, д~ . Заменяя интеграл по замкнутой поверхности объемным интегралом, перепишем последнее равенство в виде ~( — ~+б1т7) сй/= — О, (21.31) где)=ро есть вектор плотности потока жидкости. Уравнение (2!.31) не зависит от выбора объема )г. Пользуясь этим, будем уменьшать объем Р, стягивая его к некоторой точке. В пределе Г О уравнение (21.31) превратится в дифференциальное уравнение для указанной точки — + б1ч г' = О, дг дг (21.32) Это и есть классическое уравнение непрерывности.
Теперь перейдем к уравнению Шредингера, зависящему от времени. Обобщим одномерное уравнение (20.17) на случай трех измерений: И вЂ” Ч~~1г, г)= — — Ь%1г, г)+17(г) ЧП1г, 1). (21.33) дг 2т д ~ дг — д ~ Чг ~1г*дг — ~ (Ч.* дч" + Чг д'~'* ),1)г д д Подставляя сюда — Чг и — Чг' из уравнения Шредингедг д~ 228 Введем чисто формально некую «среду» и определим для этой «среды» плотность как Ч"Ч" '". Эта плотность может быть названа «плотностью вероятности».
Иначе говоря, вероятность обнаружить частицу будет больше в тех точках пространства, где выше плотность такой «среды». Указанной «плотности вероятности» можно придать довольно простой смысл, если вообразить, что пространство заполнено большим числом частиц (при этом взаимодействие частиц друг с другом следует исключить). Очевидно, что число частиц в некоем объеме ЛР пропорционально вероятности обнаружить частицу в этом объеме. При таком подходе Ч'Ч'' может рассматриваться просто как плотность числа частиц.
Как и в классическом случае, начнем с рассмотрения некоторого конечного объема У; Перепишем последний результат в виде ) — (Ч'Чг') — ЖУ 1 — (Чг* Х7 Чг — ~Р х7 Чг')~~ аЪ'=О, [ [дг' (2т (21.34) или после сведения объема Р в точку (ЧгЧг') г((у 1 ' (Чг с7 Чг — Чг с7 Чг')1=0. (21.35) дг' [ 2т Проводя аналогию между (21.34) и (21.31) (или между (21.35) и (21.32)), заключаем, что уравнение Шредингера соответствует некоторому квантовомеханическому уравнению непрерывности, если наряду с плотностью вероят- ности (21.36) внести также вектор плотности патока вероятности у = — (Ч '7 '1'* — Чг' '7 Чг) = — (т '7 т' — т' х7~).
2т 2т (21.37) Если интерпретировать (21.36) как плотность числа частиц, то вектор (21.37) тогда можно рассматривать как вектор плотности потока частиц. При такой интерпретации квантовомеханическое уравнение непрерывности (21.35) выражает условие сохранения числа частиц. В случае одномерного движения по оси х выражение (21.37) принимает вид ль т дт* „дт) /= — т 9 2т~ дх дх ) (21.38) ' Функции Ч'(г, Г) в щ(г) связаны друг с другом соотношением типа (20пб), 229 ра (21.33) и уравнения, комплексно-сопряженного с (21.33), получаем — ( ЧгЧг"г()l= — ' ) (Чг'дЧг — ЧгаЧг*) иЦI= дг,) 2т,) — ) о(у (Чт гу Чà — Чг с7 Чг ) с((l.
2т В заключение заметим, что, разумеется, не следует придавать квантовомеханическому вектору 1 буквального смысла «потока», так как для определения потока через некоторую поверхность надо уметь измерять в фиксированных точках поверхности значения скорости (импульса), что, очевидно, противоречит соотношению неопределенностей. Прохождение частицы под или над потенциальным барьером. Рас. смотрим одномерный прях моугольный потвнц~иальный барьер (рис. 21.3) и предположим, что слева на него летят частицы с энергией Е, меньшей, нежели высота барьера К Выделим трн пространственные области ~и запмшем .решения уравнения Шредингера (20.13) для этих областей: р,(х)=А,ехр(Их)+В,ехр( — Их) 'я=Ъ'2тЕ/й, р,(х)=А,ехр(«х)+В,ехр( — «х); х= )' 2е (гг — е) и (21.39) ч, (х) = — А, ехр (Их) + В, ехр ( — Их).
Слагаемые, содержащие ехр (Их), описывают частицы, движущиеся в положительном направлении оси х, а слагаемые, содержащие ехр ( — Их),— в обратном направлении. Если учесть, что частицы посылаются в положительном направлении, то надо исключить второе слагаемое в функции ~р,: В,=О. Остальные коэффициенты отличны от нуля.
Слагаемое с А, описывает падающие на барьер частицы, слагаемое с В, — отраженные от барьера частицы, слагаемое с А,— частицы, прошедшие сквозь барьер. Условия непрерывности волновой функции и ее производной в точках х=0 и х=а дают следующую систему четырех уравнений: А,+ В,=А,+ В„ А, ехр (. а) + В;ехр ( — а) = А, ехр (Иа), И (А, — В,) = «(А, — В»), «[А» ехр («а) — В, ехр ( — «а)]1=ИА, ехр (Иа). 230 (21.40) Получается, что для 5 коэффициентов имеем всего 4 уравнения! Однако в действительности неизвестных не 5, а 4. Дело в том, что необходимо задать плотность потока частиц, падающих па барьер (1„,л). Эта плотность выра>кается соотношением (2!.38), куда надо подставить ~р= =А1схр (Их).
В итоге получаем /„,,= — ! А, )Рйя/гп. (21.41) (21.42) !' р: ! В1 )эйй1пр а для плотности потока частиц, прошедших сквозь барьер, /„р= ! А,)'й~г!т. (21.43) Обычно в подооных задачах плотность !'„, выбирают такой, чтобы А,=1. В этом случае система (21.40) принимает вид !+В =А +В, А,ехр(ха)+ Взехр( — .а)=А,ехр (Иа), /г (1 — В,) =- х (Аз — Вз), х [Азсхр(.а) — Врехр( — ча))=ИА,ехр (Иа). (21.44) Система (21.44) есть неоднородная система четырех линейных уравнений относительно 4 неизвестных коэффициентов. Неоднородная система имеет решения при любых значениях я и я, т.
е. при любых значениях энергии частицы Е. Это согласуется с тем, что при инфинитном движении частицы ее энергия не квантуется. Определим долю частиц, прошедших сквозь барьер: (21.45) Е)= — /„/Лн., Величину Л называют коэффициентом прохождения барьера. Решая систему (21.44) (выкладки опускаем), получим А — е — ма~с а (1 ) е — ~а(1+ ) 1 (21.46) 231 Таким образом, задание величины !'„я означает задание коэффициента Аь Аналогично для плотности потока отраженных частиц находим Далее, используя (21.43) н (21.45), находим х) = (21.47) 4йпхэ -1- (дп -1- хх)2 дьэ (ха) В частном случае, когда ка))1, выражение (21.47) уп- рощается: 1.)=в ехр — — ага((7 — Е) (21.48) где Наряду с коэффициентом прохождения существует ноэффилиент отражения барьера, определяемый как до- ля частиц, отраженных от барьера: Р=)пхрЦпад Из об- щих соображений ясно, что О+В=! (все частицы, не прошедшие сквозь барьер, должны отразиться от него).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
