Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Средняя энергия. Продемонстрируем некоторые удобства, вытекающие из общности операторного подхода. В связи с этим покажем, как можно найти среднее значение энергии <Е> микрообъекта в некотором состоянии <з!. Пусть (<»!) — базисные состояния с определенными энергиями Еь Это означает (см. $ 13), что гамильтонова матрица диагональна; следовательно, (.р' ) гт (»')=Ь»тЕ», Подставляя (18.17) в (18.16), находим ! р)=)~ Й ! 1)(1 ! з) =гт' ! з), ! после чего получаем из (18.!5) искомый результат: (Е)=(з ! гЙ ! з). (18.18) Оператор энергии (гамильтониаи).
Ранее отмечалось, что гамильтонова матрица могла бы быть названа энергетической матрицей (напомним, что элементы диагонализированной гамильтоновой матрицы суть возможные значения энергии микрообъекта). Связь оператора Й с гамильтоновой матрицей плюс к тому же соотношение (!8.!8), выражающее среднюю энергию микро- объекта через оператор Й, дают основание называть этот оператор оператором энергии.
В литературе оператор Н называют также гамильтонианом. Выпишем установленные выше выражения, в которых присутствует гамильтониан мнкрообъекта (подчеркнем исключительную важность этих выражений): !й — ! з(1))=гт' ! з(г)), кг (Е)=(з ! Н ! з), й ! ~)- ! У)Е. (18.12) (18.18) (18.Щ Из (!8.!8) видно, что средняя энергия микрообъекта в состоянии (з! выражается только через оператор Н. Базисные состояния в (18.18) не входят. Удобство соотношения (!8.18) обусловлено его независимостью от выбора базисных состояний, что позволяет при выполнении конкретных вычислений свободно пользоваться любой системой базисных состояний. Пусть, например, оказывается удобным воспользоваться базис- ными состояниями (<т().
В этом случае операторное соотношение (18.18) немедленно преобразуется к соответствующему виду: (Е)=~~' ч~з~(з ! ги)(ги ! 8 ! и)(и ! з). (18. 19) В выражении (!8.20) через (~) обозначено некоторое стационарное состояние; Š— энергия в этом состоянии. Наконец, отметим, что гамильтониан (как и любой другой оператор) может действовать не только на состояние ~з>, но и на амплитуду этого состояния (1(з>, поскольку всегда можно представить (см.
(17.4)) ЙС, (~) = ~~.", ООС7 (т). (18.21) 1 Используя (18.21) и учитывая, что (Цз> = С,*, перепишем (18.2) в виде, который, как легко видеть, совершенно аналогичен виду (18.12): 18 — (ю' 1 з(~) )=Й(1! з(Е) ). (18.22) п Соответственно результат (18.20) может быть переписан в виде Й (1 1 у >= Е $ 1 У ). (18.23) й 19. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ мехАниКе Приступим к выполнению основной задачи данной главы — покажем, какое физическое содержание следует вложить в математический аппарат теории линейных операторов для того, чтобы превратить его в аппарат квантовой механики.
В этом смысле предыдущий параграф надо рассматривать как первый, предварительный шаг на пути выполнения указанной задачи. Роль операторов в квантовой механике. Говоря о роли линейных операторов в квантовой механике, необходимо отметить два обстоятельства. Во-первых, в квантовой механике каждой динамической переменной (пространственной координате, энергии, импульсу, моменту и т.
д.) ставится в соответствие определенный эрмнтовский оператор. Во-вгорьгх, не меняющий физического содержания задачи переход от одного представления к другому выполняется при помощи унитарных операторов. Остановимся подробнее на первом обстоятельстве. Оно означает, что наряду с оператором энергии О долж- 9 В классической механике В каантоаой механике и= — +(т Р2 2на ,о2 В= — +и 2йа (19.1) М = (т Х Р) М =(т Х,Р) (19.2) Следует, однако, иметь в виду, что полной формальной аналогии между аппаратами классической механики и квантовой механики все же нет. Здесь надо отметить (подробнее см. в 9 20), что алгебраические манипуляции с операторными соотношениями требуют учета того, что операторы могут не коммутировать.
Так, если А и В не коммутируют, то (А+В)2ФА2+2АВ+В', в этом случае (А+В)2=А2+АВ+ВА+Вй. Кроме того, надо учесть, что в квантовой механике существуют операторы, не имеющие классических аналогов (такие, например, как оператор спина, четности и др.). Отметим, что формально операторы могут быть сопоставлены со всеми классическими динамическими переменными, включая и те, которые ие имеют смысла в микромире. Так, можно ввести операторы скорости о, ускорения а, потенциальной энергии (т, кинетической энергии Т и т. д., хотя ни скорость, ни ускорение, ни ха- 199 ны быть введены другие <физические операторы»: оператор координаты т, оператор импульса р, оператор момента М и т.
д, При этом весьма существенно, что известные в классической механике динамические соотношения можно перенести в квантовую механику в том же самом виде, если вместо физических величин в этих соотношениях использовать соответствующие эрмитовские операторы. Иначе говоря, аппарат квантовой механики может быть построен по аналогии с аппаратом классической механики, если в последнем заменить динамические переменные отвечающими им эрмитовскими операторами.
В качестве примера сопоставим следующие выражения: рактерное для классической механики разбиение полной энергии на кинетическое и потенциальное слагаемые не имеют смысла для микрообъектов. Основные постулаты. Рассмотрим вопрос: каким именно образом осуществляется акт сопоставления физической величины с эрмитовским оператором? Иначе говоря, какое содержание вкладывается здесь в слово «сопоставляется»? Ответ на этот вопрос может быть сформулирован в виде следующих двух основных постулатов. Постулат 1. Если оператор Ь сопоставляется с физической величиной 1, то это означает, что собственные значения Л оператора отождествляются со значениями рассматриваемой физической величины, реализуемыми в измерительных актах.
Постулат 2. Если оператор Е сопоставляется с физической величиной (, то это означает, что собственные функции ф»(а) оператора отождествляются с собственными функциями величин Л-набора, заданными в а-представлении. С учетом замечаний, сделанных в $15, это означает, что собственные функции фх(а) оператора отождествляются с амплитудами состояний <Л~а>, часто называемыми волновыми функциями. Таким образом, исследование основного уравнения теории линейных операторов (см.
(17.!3)) (19.3) Е(а) <Л ( а»=Л(Л $ а) включает в себя такие физические задачи, как отыскание спектра возможных значений Х физической величины ! и отыскание амплитуд состояний <Л!а>, в которых реализуются соответствующие значения Л. В применении к оператору энергии уравнение (19.3) принимает вид (18.23). Исследование уравнения (!8.23) позволяет отыскать возможные значения энергии микро- объекта и отвечающие этим значениям амплитуды стационарных состояний.
Математические заключения и их физическое содержание. Сформулированные выше постулаты осуществляют «сшиванне» физического и математического аспектов рассмотрения; они «нагружают» математические символы и заключения определенным физическим содержанием. Продемонстрируем это при помощи ряда замечаний. 199 ). Собственные значения эрмитовского оператора вещественны. С физической точки зрения это означает вещественность значении величии, реализуемых в измерительных актах. 2. Спектр собственных значений эрмитовского оператора может быть дискретным либо непрерывным.
Это соответствует квантованию либо непрерывному изменению физических величии, характеризующих микрообьекты. 3. Собственные функции эрмитовского оператора удовлетворяют условию ортонормировки. Этот математический факт превращается в условие ортонормировки собственных функций физических величин и, в частности, в условие ортогональности базисных состояний микро- объекта.
Иначе говоря, математический результат (17.16) превращается в физические соотношения (15.13) и (10.8), а математический результат (17.17) — в физическое соотношение (15.14) . 4. Система собственных функций эрмитовского оператора является замкнутой (полной). С физической точки зрения это соответствует возможности разложения произвольной амплитуды по амплитудам, являющимся собственными функциями физической величины, т. е. по базисным амплитудам.
Иными словами, математический факт замкнутости (полноты) системы собственных функций эрмитовского оператора превращается в физический принцип суперпозиции состояний. 5. Собственные значения эрмитовского оператора могут быть вырожденными. Физически это означает, что одно и то же значение некой величины может быть реализовано в нескольких различных состояниях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
