Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Позвольте вашу ножку, сударыня! Он усадил Золушку и кресло и, надев хрустальный башмачок на ее маленькую ножку, сразу увидел, что больше мерить ему не придется: башмачок был точь-а-точь по ножке, а ножка — по башмачку. В эту самую минуту дверь отаорилась и и комнату вошла фея — Золушкина крестная. Она дотронулась своей аолшебной палочкой до бедного платья Золушки, и оно стало еше пыш. нее и красивее, чем было накануне...
АВТОР: Итак, свершилось— фея нсе-таки сделала Золушку нарядной теперь уже навсегда. Виртуальные переходы закончились реальным переходом Золушки «аа новый уронень». Принц, хрустальный башмачок, придворный кавалер — нее они сыграли роль того самого фотона, который, взаимодействуя с квантовой системой, совершаюшей виртуальные переходы, приводит к реальному переходу. Разумеется, нельзя всерьез рассматринать сказку «Золушка» как иллюстрацию идеи ииртуальных переходов, как объяснение квантовых скачков.
Точно так же нельзя всерьез рассматривать роман «Обламон» как иллюстрацию принципа суперпозиции состояний, как пояснение проблемы разрушения суперпозиции и измерительном акте. Однако вполне празомерно усмотреть и приведенных сопоставлениях обшность внутренней логики. БОР: Не будет непочтительным заметить, что даже на вершине саоего творчества художник полагается на общечеловеческий фундамент, на котором строим и мы. АВТОР: Этой полусерьезной беседой мы заканчиваем обсуждение физических оспоа каантоаой механики. Конечно, идеи киантоаой механики зо многих отношениях непривычны и зссма своеобразны.
Но они выросли не на пустом месте, а на том основательном фундаменте представлений и понятий, который был создан всем предьшушим опытом человечества. Поэтому неслучайны, а напротив, закономерны духовные аналогии между физическими моделгми и литературными образами И не так уж, оказывается, непонятны «непонятные» кааитозомеханические идеи. Тот же, кто иа собстяенном опыте еше не успел убедиться а справедливости этого замечания, пусть помнит мудрные слова Козьмы Пруткова: «Многие вещи иам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий».
Ш Некоторые замечания общего характера. Всякая физическая теория представляет собой синтез определенных физических ндсй (выдвигаемых на основе опыта) и определенного математического аппарата. Построение теории — достаточно сложный ~и противоречивый процесс, развивающийся по схеме последовательных приближений. Однако в этом противоречивом, процессе, по крайней мсре,в.начальной его стадии, просматривается вполне определенная логическая структура, включающая в себя трн логически последовательных этапа: !) этап, на котором формулируются ~и осмысливаются основополагающие идеи и закладывается физический фундамент теории, ее физичсске основы; 2) этап, па котором ищется адекватный физическим идеям математический аппарат и производится «сшивание» физических идей и математического аппарата, т.
е. постулируется, какое;именно физическое содержание надлежит вкладывать.в те или иные математические символы (в результате математические соотношвн~ия приобретают смысл физических закономерностей); 3) этап,,на котором «офизиченный» математический аппарат «запускается в работу»; получаемые при этом,новыс результаты проверяются, когда это возможно, экспериментом, вследствие чего происходит дальнейшее осмысливание физического содержания теории и дальнейшее разв|итие ее аппарата. В период создания теории адекватный физическим идеям математический аппарат либо уже существует, я~ибо ме существует. Когда Ньютон создавал свою механику, ему пришлось разрабатывать и соответствующий математический аппарат — метод флюксий, превратившийся впоследствии в дифференциальное и интегральное исчисление.
Когда же создавалась квантовая механика, то подходящий математический аппарат фактически уже существовал. Он существовал как теория линейных операторов. В работе «Квантовая физика и философия» (см, (61) Бор писал: «В аппарате квантовой механики на. месте величин, характеризующих в обычной механике состояние физической системы, выступают символические операторы, подчиненные некоммутативному правилу умножения, содержащему постоянную Планка. Эта формулировка предотвращает фиксирование такого рода величин с точностью, потребной для детерминистического описания, принятого в классической физике, но вместе с тем 179 позволяет находить спектральное распределение этих величин в соответствии с данными об атомных процессах.
Сообразно его немодельному характеру, физическое толкование математического аппарата находит свое выражение в законах существенно статистического тапа». В работе (ЗЗ) Бор подчеркивал: «Адекватным инструментом для дополнительного способа описания является формализм, в котором канонические уравнения классической механики сохраняют свой вид, но физические переменные заменяются символическими операторами, подчиняющимися правилам некоммутативной алгебры».
Переходя к математической стороне квантовой теории, мы рассмотрим виже, как квантовомехан~ическис идеи «вживляются» в аппарат линейных операторов, и на ряде специально отобранных примеров и задач продемонстрируем работу этого аппарата. $ |7. ЭКСКУРС В ТЕОРИЮ ЛИНЕЙИЪ|Х ОПЕРАТОРОВ Данный па~раграф имеет сугубо математический характер.
Здесь собраны отдельные, вопросы теории линейных операторов. Иначе говоря, здесь изложены основы того математического аппарата, который оказался весьма удобным для создания квантовой теории. Подчеркнем, что в рамках данного параграфа ни один из математических символов не «нагружен» каким-либо физическим содержанием. Линейные операторы (основные определения). Оператором называют математический символ, который, действуя на некоторую функцию, дает новую функцию, Запись Еф (х) = т (х) (17.
1) означает, что оператор 1. действует на функцию ф(х), в результате чего получается функция ~Р(х). Оператор Х называют линейным, если он удовлетворяет условиям 1, (ф, +(«7) = Еф, + Уф~; Е(а(~) =аХф, (17.2) где а — некоторое число. Ниже будут использоваться только линейные операторы. |ав Действие оператора на функцию можно представить в виде, использующем определенный ~или несобственный интеграл: Аф (х) = ) Е (х, у) ф (у) сну.
Величину Ь(х, р) называют ядром оператора. Если пе- ременная изменяется дискретно, то вместо (17.3) будем иметь (17.4) (17.5) ) !Р(х) Еф(х) с(х =) ф(х) А%'(х) а!х. (17.6) Ядро транспонированного оператора удовлетворяет ус- ловию Е(х, у)=Е(у, х), а матрица — условию (17.7) (17.8) Рассмотрим некий ли~нейный оператор Ь.
Найдем для него комплексно-сопряженный оператор Ь *. Далее для оператора Х* найдем транспонированный оператор Х*. Последний оператор обозначают через 1.+ и,называют сопряженным с оператором Х 1а! Совокупность коэффициентов 7.„называют матричей оператора Х .и говорят о матричном представлении оператора. Матричное представление возможно всегда, так как ядро 7.(х, у) в (17.3) можно, очевидно, трактовать как непрерывную матрицу.
Пусть К~=!р. Оператор Т* называют комплексно-сопряженным по отношению к оператору с., если при действии этого оператора на функцию ф*,получается функция ф*: У.*ф' (х) = ф' (х). Оператор Х называют транспонированным по отношенню к оператору 1., если выполнено условие Пользуясь понятием сопряженного оператора, определяют д~ва весьма важных типа линейных операторов: эрмитовские операторы и унитарные операторы, Если Е= 7.+, (17.
9) то оператор 1. называют зрмиговским (самосопряженным). Если 7. Е+ =У.+А =1, (17.1О) то оператор Ь называют унитарным. Заметим, что обычно унитарные операторы обозначают символом О. Матрица унитарного оператора удовлетворяет условию Х(7„„(7+ =-в„,. (17.11) Отметим важное свойство унитарных операторов. Пусть е.() ф =~р . Легко убедиться, что Х ~:т.= Х АФ. (17.12) Основное уравнение теории л~инейных операторов имеет вид .ц =лр. (17.13) Числа Х, при которых уравнение (!7.13) имеет конечные решения, образуют спектр собственных значений оператора 7..
Спектр собственных значений оператора может быть непрерывным, дискретным, смешанным. Решения ф(х) уравнения (!7.13) мазывают собственными функииями оператора Х. Данному собственному значению могут соответствовать либо одна, либо несколько собственных .функций. Если некоторому значению Х~ соответствуют в линейно независимых собственных функций, то говорят, что собственное значение Х, з-кратно вырождено. Свойства эрмитовских операторов. Укажем три тео~ремы, отражающие основные свойства эрмитовских операторов (теоремы приводятся без доказательства). Первая теорема: Оператор имеет вещественные собственные значения тогда ~и только тогда, когда он является эрмлтавским.
182 Вторая теорема: Собственные функции эрмитовского оператора, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны. Пусть Т.ф„=Л„ф„. Теорема означает, что при Л ФЛ ) ф (х) ф„(х) ~Ух = О. (17,14) Поскольку уравнение (17.13) однородно, то собственные функции определены с точностью до произвольного постоянного множителя. Будем выбирать этот множитель так, чтобы выполнялось условие нормировки ') ф„(х) ф„(х) ах= 1. (17.15) Объединяя (17.14) и (17.15), получим условие ортонормировки собственных функций эрмитовского оператора ) ф (х) ф„(х) 4х= 8 „. (17.16) Если спектр оператора непрерывен, то вместо (17.16) имеем ) фх (х) фх(х) дх=-Ь(Л вЂ” Л').
(17. 17) Отметим случай з-кратного вырожден~ия некоторого собственного значения. Собственные функции, отвечающие этому собственному значению, вообще говоря, не ортонормированы. Однако можно составить з линейных комбинаций,из указанных функций, удовлетворяющих условию ортонормировкн. Третья теорема: Всякая огращгчеяная функция может быть разложена в ряд (~интеграл) по собственным функциям эрмитовского оператора. Иначе говоря, система собственных функций эрмитовского оператора является замкнутой (полной) Пользуясь последней теоремой, представим некоторую функцию Ф(х) в виде ряда по собственным функциям ф„(х): Ф=~~.",с„ф„. Чтобы найти с„, умножим это я равенство на ф„*(х) и проинтегрируем по х: ) ф (х)Ф(х)дх=~~~с„~ф (х)ф,(х)Ых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
