Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(14.27) Полезность спиновых матриц Паули состоит в том, что любая двумерная матрица (в частности, гамильтонова матрица любого микрообъекта с двумя базисными состояниями) может быть выражена через суперпозицию этих матриц. Будучи введены для электрона в магнитном поле, спиновые матрицы Паули оказалась весьма удобными прн рассмотрении самых различных двухуровневых задач.
Это и неудивительно, если принять во внимание только что обсуждавшуюся возможность обобщения задачи об электроне в магнитном поле на произвольные двухуровневые системы. й 15. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦНЯ 153 Начиная этот параграф, сразу подчеркнем: он не прибавит практически ничего нового к рассмотренным в данной главе физическим основам квантовой механики. Фактически можно уже подводить итоги физической стороне теории и переходить к ее математической сто- роне, основанной на использовании линейных операторов.
Однако, прежде чем это будет сделано, целесообразно ввести понятие волновой функции. Волновая функция широко применяется в существующей литературе по квантовой механике; поэтому важно, чтобы читатель понимал «место» волновой функции в описанной выше картине амплитудных представлений. До сих пор волновая функция, являющаяся по существу амплитудой состояния, присутствовала в этой картине, так сказать, в неявном виде; сделаем это присутствие явным. Кроме того, необходимо иметь в виду, что при переходе к математическому аппарату квантовой механики более удобно использовать именно волновую функцию, а не амплитуду состояния.
Волновая функция как амплитуда состояния. Пусть <х~ — состояние мнкрообъекта, соответствующее локализации его в точке пространства с координатой х (для простоты используется одномерная ситуация). Тогда <з(х) может рассматриваться как амплитуда вероятности того, что микрообъект, находящийся в состоянии <з), имеет координату х. Надо, однако, сделать небольшое уточнение. При рассмотрении вероятности той или иной пространственной локализации мнкрообъекта следует учитывать непрерывность изменения пространственной координаты. Поэтому вместо вероятности найти микробъект точно в точке х надо рассматривать вероятность найти его в интервале от х до х+йх.
Обозначая эту вероятность через ~йо, (х), запишем йте»(х)= ! (з ( х) ('йх. Следовательно, величина <з~х), строго говоря, не есть амплитуда вероятности; она является амплитудой плотности вероятности. В литературе величину <з~х) принято называть волновой функцией и обозначать, например, через ф,(х). Итак, (15.2) ),(х)=-(з ~ х). С учетом (15.2) перепишем (15.1) в виде ате,(х)= ~ р,(х) (зйх. (15.3) Из (15.3) видно, что ~ ф,(х)~' есть плотность вероятности 154 обнаружить в точке х микрообъект, находящийся в состоянии <з~.
С математической точки зрения, волновая функция ф,(х) есть параметрическая фунниия, причем роль параметра играют значения тех величин, которые точно определены в состоянии <з(. Учитывая сделанные ранее замечания о структуре амплитуд состояний, можем сказать, что аргументом волновой функции служат величины одного полного набора, а ее параметром — величины другого набора. Принято говорить, что волновая функция ф,(х) есть собственная функция величии з-набора, заданная в представлении, определяемом величинами х-набора (или проще: в х-представлении).
Обобщение понятия волновой функции. На практике часто используют волновые функции именно в х-представлении (в координатном представлении). Однако наряду с х-представлением возможны, очевидно, и другие представления. В связи с этим следует обобщить понятие волновой функции: р„(р) = "а ) (~). (15.4) Функция ф„(б) есть собственная функция величин а-набора, заданная в р-представлении. Если величины й-набора изменяются дискретно, то ф„(р) есть амплитуда вероятности того, что состояние <5~ представлено в состоянии <а(.
В случае непрерывно изменяющихся величин р-набора ф (р) есть амплитуда плотности указанной вероятности. Задание волновой функции ф„(р) означает точное задание величин а-набора и вероятностное задание величин р-набора. Соответственно задание функции ф (у) означает точное задание величин а-набора и вероятностное — величин у-набора. Говорят, что функция ф (5) описывает состояние <а( в р-представлении, а функция <р„(у) опясывает то же состояние, но в у-представлеиии. Тот факт, что разные функции ф„(р) и р (у) используются для описания одного и того же состояния <а(, говорит о необходимости существования некоей связи между ними. Эту связь как раз и выражает принцип суперпозиции состояний.
В предположении дискретного изменения з-величин имеем Легко видеть, что (15.5) есть выражение для суперпозиции амплитуд состояний: < )~>=1< )у,><у,(~>. (15.5а) Если же величины изменяются непрерывно, то вместо (15.7) будем иметь 1р, (а)=о(а — а').' (15.8) Здесь б(а — а') — так называемая дельта- функция Дирака, представляющая собой обобщение символа Кронекера на случай непрерывно изменяющихся величин е. Дельта-функция определяется следующим образом: о(а — а)=0 при а фа', ) о(а — а)сУа=1.
(159) График функции б(а — а') нарисовать, строго говоря, невозможно: пришлось бы изображать бесконечно узкий и бесконечно высокий пик в точке а=а', «площадь» под которым конечна и равна единице. Одно из важнейших свойств дельта-функции, легко выводимое из ее определения (15.9), описывается выражением ) ус (а) В (а — а') с(а =7 (а'), (15.10) где ((а) — ограниченная функция, непрерывная в точке ос= а'. е достаточно понробно дельта-функция рассматривается, например, в 1!31. гза Если бы у-величины изменялись непрерывно, то вместо (15.5) мы имели бы Ея Р)=~ р.
(у) К,(р) А'. (15.6) Рассмотрим собственную функцию величин некоторого набора в представлении, определяемом величинами того же самого набора. Если величины изменяются дискретно, то согласно (10.8) 'ч",,(ау)=о, . (15.7) Условие ортонормировки собственных функций. Полагая а-величины дискретнымн, а р-величины непрерывно меняющимися, перепишем (15.6) в виде %,,(ау)=) (~„,(р) Фр(ау) Ц~. (15.11) Используя (9.33), представим Фр (ау)=~',, (р). (15.12) Учитывая (15.12) и (15.7), получаем из (15.11) условие ортонормировки для собственных функций фо,((1): ~Ф., РН.', Р) 11=0 Р (15.13) Если а-величины изменяются непрерывно, то вместо (15.7) надо использовать (15.8).
В этом случае условие ортонормировки собственных функций принимает вид ') (~, (р) ~. (р) др= о (а — а'). (15.14) Волновая функция свободно движущегося микро- объекта. В качестве примера отметим случай свободно движущегося микрообъекта, полагая для простоты, что спина у него нет. Волновая функция в координатном (трехмерном) представлении имеет вид * ф (г)=(ро ( г)=(2пй) "зехр (грег/й), (15.15) где Р,— импульс мнкрообъекта, а г — его пространствен- ная координата.
Функция ф (г) есть собственная функция ~о импульса, заданная в координатном представлении; она описывает состояние, в котором компоненты импульса микрообъекта имеют определенные значения, тогда как пространственные координаты могут быть указаны лишь вероятностно. Переходя от координатного к илтульсному представлению, воспользуемся результатом (9.33). Получим Т- (Р)=С го ~ Р)=(1Р ( го) = (2пй) "' ехр ( — Грго)й). (15.16) * Этот результат будет получен позднее (ем.
$20). гзт Функция гр. (р) есть собственная функция координаты ч микрообъекта, заданная в импульсном представлении. Из (15.15) ч (15.16) видно, что состояния свободно движущегося микрообъекта описываются волновыми функциями, имеющими вид плоских волн (либо в координатном, либо в импульсном пространстве). Функция тр (г) и |р (р) удовлетворяют условию ор- г, тонормировки 1!5.14).
В этом можно убедиться, если Рис. 15.1 воспользоваться интегральным представлением дельта- функции *; (15.17) о (а) = — 1 ехр ((ар) г(р 2м (под величинами а и р здесь следует понимать компоненты пространственной координаты и импульса микрообьекта). * Рассмотрим функцию а|п(ла)/па (рис. 15.1). Независимо от величины параметра йч ~ ла Мп(яа)лпх = 1. Будем увеличивать я. При этом точки А на расунке будут приближаться к а=О, а точка В будет подниматься по оси ординат. В пределе д-ьсе получим бесконечно узкий и высокий пик, интеграл от которого равен единице.
Эго и есть дельта-функция. Итак, 6(а) = !!в ип(иа ма. Отсюда легко (л- ) 1 придти к (18,17), если учесть, что а!п(да)/пп = — ехр(!ар)лр. 2и и 158 5 16. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА КАК КАЧЕСТВЕННЫИ СКАЧОК В ПРОЦЕССЕ ПОЗНАНИЯ ЧЕЛОВЕКОМ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ «Установить резкое различие между философией естествознания и человеческой культурой, конечно, невозможно. В само»с деле, физические науки являются неотъемлемой частью нашей цивилизации; это происходит не только потому, что наше все увеличивающееся овладение силами природы совершенно изменило ,яатериальньсе условия жизни, но также и потому, что изучение этих наук дало так лсного для выяснения того окружения, на фоне которого существуем мы сами.» О.
Бор Хотя квантовая механика имеет дело с микрообъектами, однако ее значение отнюдь не ограничивается рамками микроявлений. В никогда не прекращающемся процессе углубления и совершенствования наших представлений о законах природы появление квантовой механики есть важный качественный скачок. Без осмысливания важности, специфичности, радикальности (можно сказать, революционности) этого скачка невозможно понимание современной физической картины мира.
В данном параграфе предпринята попытка посмотреть на квантовую механику именно с такой точки зрения, что может служить, очевидно, логическим завершением главы, посвященной физическим основам этой удивительной теории. «Безумные идеи». Фразу о «безумной теории», о том, что она должна быть «достаточно безумной, чтобы быть правильной», обронил однажды Бор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
