Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Как оказывается, этого довольно естественного предположения достаточно для того, чтобы перейти от (14.5) к следующим выражениям: Нн = — нВ;, Нзз=рВ', Нм=Нмь= — р(В +4В„). Таким образом, гамильтонова матрица электрона в магнитном поле имеет в общем случае вид где, напоминаем, <1( и <2( — состояния, в которых проекции спина электрона на ось г равны соответственно Й/2 н — Я/2, а коэффициенты а~ и Ь| определяются соотношениями (13.16): а,/Ь,=Н„/(Е1 — Ни), ) а.,)'+ ) Ь,)'=1. (14.9) Используя (14.6), представим: Н1,— — рВ,= — рВ соз 9, Н11 — — -р(Вк — 1В„)=-рВ8!и 9ехр(-19). Подставляя (14.10) в (14.9), на. ходим а1/Ь,= ейп 0 ехр(- 19)/(1- соз О).
Учитывая, что 1а~ (к+ ) Ьа)' 1. приходим отсюда к следующему окончательному результату: а,= соз (9/2) ехр( — 19/2); (14.11) Ь, = з(п (9/2) ехр (/т/2). к' к Рис. 14.1 (9, 91 =сон(0/2) ехр( — 19/2)(г ( + + 8(и (9/2) ехр (1 р/2) <" — г 1 . (14.12) 148 Итак, определены амплитуды вероятностей электрону иметь спин направленным вдоль (амплитуда а1) и против (амплитуда 91) оси г, если известно, что спин электрона направлен по полю (т.
е. имеет направление, определяемое углами О и у). Примечательно, что в (14.11) магнитная индукция В не входит. Очевидно, что результат (14.11) должен сохраниться в пределе  — ~-О. Иначе говоря, можно вообще исключить поле из рассмотрения и интерпретировать результат (14.11) следующим образом. Известно, что направление спина электрона определено углами О и ~р; в этом случае амплитуда вероятности электрону иметь спин вдоль оси г есть аь а амплитуда вероятности иметь спин против оси г есть Ьь Выражение (14.8) надо рассматривать в данном случае как разложение спинового состояния <О, ~р~ по спиновым состояниям <г~ и < — г(; Входящие в (14.12) амплитуды состояний , О, э 1 а» = соз (О/2) ехр ( — /э/2); (14.13) ( О, э 1 — а» = з1п (О/2) ехр (/э/2) называют проекционными амплитудами. Пользуясь проекционными амплитудами, можно предсказать результат следующего опыта. Пусть поляризованный в направлении, задаваемом углами О и ~р, пучок электронов проходит через некий «фильтр», пропускающий только электроны со спином вдоль оси г.
В этом случае амплитуда вероятности прохождения электрона через прибор (через «фильтр») есть <О, у)г>. Проекционная амплитуда выполняет здесь роль ампли. туды перехода электрона из состояния <О, ~р~ в состояние <г(. Прецессия апина электрона. Пусть направление спина электрона определяется углами О и у (электрон находится в состоянии <О, ~р~). Это состояние может быть представлено в виде суперпозиции (14.12) состояний <г( и < — з(. Предположим, что в момент времени 1=0 включено магнитное поле В, направленное вдоль оси г. Теперь состояния <г~ и < — г) становятся стационарными состояниями. Учитывая это, запишем (см.
(13.4)): «" О, р ( а.»=С,(0)ехр( — цаВ,1/й), (14.14) (О, ~р / — в»=С,(0)ехр(цьВ,С/й). Сравнивая (14.14) с (14.13), заключаем: С, (О) = соз (О/2) ехр ( — 1<р/2); (14.15) С, (О) = з)п (О/2) ехр (/э/2). Отсюда следует, что через время 1 после включения магнитного поля проекционные амплитуды принимают внд <О, э(1) ! з)=сов(О/2)ехр ~ — — (О+2рВ,М/й)1, (14.16) (О, ср(1) / — а)=сбп (О/2) ехр) — («+2рВ,Ф/й)~ . 12 Таким образом, включение магнитного поля, направленного по оси г, не меняет полярного угла О, но изменяет г49 азимутальный угол ~р, причем величина изменения щ пропорциональна промежутку времени 1 от момента включения поля до данного момента. Это означает, что спин электрона лрецессирует вокруг оси г (вокруг направления магнитного поля) с постоянной угловой скоростью. Легко видеть, что угловая скорость прецессии спина определяется соотношением а=иВ,/й.
(14.17) Сделаем еще один шаг: отвлечемся от координатных осей. Пусть в момент времени 1=0 направление спина электрона и магнитного поля образуют угол О. С течением времени этот угол будет сохраняться, но при этом спин электрона будет прецессировать вокруг направления поля с угловой скоростью а=2Р,В/й.з (14.17а) Предположим далее, что магнитное поле изменяется со временем (изменяются в общем случае и направление, и величина вектора В). Изменение поля приведет к соответствующему изменению картины прецессии электронного спина: изменение величины магнитной индукции приведет к изменению величины угловой скорости прецессии, а изменение направления поля приведет к изменению того направления, вокруг которого совершается прецессия. Знание картины прецессии позволяет предсказать изменение состояния электрона в течение заданного времени.
Приведем простой пример (рис. 14.2). Пусть в момент времени 1=0 поле направлено вдоль оси г (вектор В(0)), а спин электрона находится в плоскости гу, образуя с направлением поля угол Оа. Таким образом, начальное состояние электрона (9(0), <р(0) ) определяется углами 9(0) =О, и ~р(0) =я!2. Будем полагать, что величина поля со временем не меняется, но меняется направление поля. Пусть спустя время 1~ =яй/2рВ поле оказалось направленным вдоль оси у (вектор В(1~) на рис. 14.2). Каково будет состояние электрона в момент времени 1~? Ясно, что если бы направление поля не изменилось, то конец вектора спина электрона, прецессируя, описал бы за время яй/21гВ половину окружности и переместился бы из точки з~ в точку зэ С учетом же изменения направления поля он перемещается не в точку зм а в точ- (14.18) Чтобы найти углы 0(0) и ~р(0), надо разложить состояние <з(0) [ по базисным состояниям <1] и <2[ и использовать для коэффициентов разложения выражения (14.13) для проекционных амплитуд.
Указанное разложение имеет внд (з(0) ] =соз]0(0)/2]ехр[ — 1е(0)/2](1 ] + + з)п [О (О)/2] ехр [1 ь (0))2]( 2 ] . (14.19) Далее обратимся к гамильтоновой матрице микро- объекта. Прежде всего сдвинем начало отсчета энергии таким образом, чтобы нуль оказался точно посередине между энергетическими уровнями, т. е. чтобы выполнялось условие (14.4). В этом случае ~Ум+ О„=о. (14.20) 161 ку зм Следовательно, искомое состояние электрона <0(1~), ~р(1~) ] будет определяться углами 0(1~) =и/2 — Оь и у(1,) =и/2, Обоб1цение задачи об электроне в магнитном поле на произвольные двухуровневые системы.
Как писал Фейнман [3], «проведя математическую аналогию с вращающимся электроном, можно при помощи чисто геометрических рассуждений решить любую задачу для двухуровневой системы... Если мы в состоянии решить в общем случае задачу об электроне, мы уже решили все задачи о двух состоянияхм Поясним эти замечания. Предположим, что рассмат- з7з1 ' ривается некая двухуровневая система, базисные состояния которой суть < 1];и <2]. Условимся сопоставлять с каждым состояни- ~и ем микрообъекта некоторый вектор. Выбор базисных состояний <1[ и <2] эквивалентен,в этом Рис 142 случае выбору оси г (как если бы эти состояния соответствовали двум г-проекциям спина электрона).
Пусть в начальный момент времени микро- объект находится в состоянии <з(0) [; сопоставим с этим состоянием вектор, направление которого определяется углами 0(0) и у(0): (з(0) ) (0(0), ~(0) (. Затем введем формально вектор рВ (он отнюдь не связан с каким-либо магнитным полем!) таким образом, чтобы его проекции на оси координат (напоминаем, что оси определяются выбором базисных состояний) удовлетворяли соотношениям Нп= — вВ„Н,з= — в („— /В„).
(14.21) Используя (14.21), найдем а=2~ь(В~+Ва+ В~))'~/М. (14.22) Чтобы решить рассматриваемую двухуровневую задачу, т. е. чтобы выявить изменение состояния <з] за некоторое время (, надо рассмотреть картину прецессии вектора <О, ф] вокруг направления В с угловой скоростью гз. Если гамильтонова матрица зависит от времени, то будут изменяться соответствующим образом как направление В, так и величина угловой скорости прецессии. По истечении времени ( микрообъект окажется в состоянии <з(!) ], определяемом углами О(() и ф(!), которые можно выявить, зная начальные углы О(0) и ф(0) и картину прецессии (точно таким образом, как это было проделано в примере, приведенном в конце предыдущего пункта). Переход от углов О(!) и ф(!) к искомому конечному состоянию <з(() ] основан на использовании уже хорошо знакомой суперпознции: (з(Х) ] =сов[8(Ф)/2]ехр[ — (р(Ф)/2](1 ] + +з!и'[О(г)/2]ехр[11 (1)/2](2 ! .
(14.23) Применяя сделанные замечания к рассмотренному в 5 13 примеру с молекулой аммиака, следует сместить начало отсчета энергии на величину Е, и, кроме того, перейти (удобства ради) от базисных состояний < 1] и <2] к базисным состояниям <1] и <П], В результате вместо системы уравнений (13.18) будем иметь систему (14.24) л — И вЂ” С» — — РИС~ — АСн. М Эта система удобна для проведения аналогии с электроном в магнитном поле. Сравнивая (14.24) с (14.7), за- 152 ключаем, что величина А соответствует величине — )тВ„ а величина д'с( —.величине — )тВ„. Следовательно, надо рассматривать картину прецессии вектора состояния <з ~ молекулы в «магнитном воле», которое образовано двумя составляющими: во-первых, постоянной составляющей вдоль осн з, связанной с эффектом «переброса» атома азота через Н-плоскость, и, во-вторых, составляющей вдоль оси х, связанной с электрическим полем.
Последняя составляющая может, очевидно, изменяться во времени. Спиновые матрицы Паули. В заключение укажем широко ис- пользуемые в квантовой механике двухуровневых систем сли- ноеые матрицы Паули. Вид матриц таков: а =[ 1;а"=[ '1;а =[ (14.25) Используя эти матрицы, перепишем выражение для элементов гамильтоиовой матрицы электрона в магнитном поле (14.6) в следующем виде: НН = — р(а",.~В»+ ат Ву+ а*, В ), Рассматривая о", оа, о', как компонента некой матрицы-век- тора о, можем записать результат (14.26) в виде, не зависящем от выбора координатных осей: НВ = — ра;тВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
