Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Что требуется для причинного описания явлений в квантовой теории? Ответ на поставленный вопрос можно дать, рассматривая выражение (12.8) для основного квантовомеханического у~равнения. Суть ответа сводится к следующему. Во-первых, надо выбрать совокупность базисных состояний ((11); во вторых, надо найти вид гамильтоновой матрицы, рассматриваемой в системе выбранных базисных состояний. После этого можно делать определенные предсказания, используя уравнение (12.8). Особенно просто рассматриваются случаи, когда число базисных состояний равно двум.
Еще большее упрощение достигается прн этом в предположении, что гамильтонова матрица не зависит от времени. В $13 и 14 рассматриваются подобные случаи; иа колмретных примерах демонстрируется использование уравнения (12.8), лежащего в основе причинного описания мнкроя~влений. $13. МИКРООБЪЕКТЫ С ДВУМЯ БАЗИСНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ Примеры микрообъектов с двумя базисными состояниями. Число базисных состояний микрообъекта обычно больше двух. Однако существуют ситуации, когда возможно ограничиться рассмотрением только двух базисных состояний. В качестве примера, уже знакомого читателю, укажем прохождение фотона через поляризатор.
Фотон находится в состоянии с определенным импульсом йй (и определенной энергией ййс); в этом случае рассматриваются возможные изменения только поляризации фотона, поэтому можно говорить о наличии всего двух базисных состояний фотона, имея в виду его поляризационные состояния.
Итак, всякий раз, когда идет речь о микрообъекте с двумя базисными состояниями, предполагается, что во внимание принимают возможные изменения только какого-то определенного «параметра» микрообъекта (например, его поляризации); при этом остальные «параметры> считаются заданными.
Укажем несколько прмме. ров, когда можно говорить о мнкрообъекте с двумя 1за базисными состояниями. Эти состояния будем обозначать через <! ! и <2!. Молекула аммиака состоит из одного атома азота и трех атомов водорода, причем атом азота находится вне плоскости, проходящей через атомы водорода (для краткости будем называть эту плоскость Н-плоскостью). Состояние <1! соответствует положению атома азота с одной стороны от Н-плоскости, а состояние <2! — положению этого атома с другой стороны от Н-плоскости.
Молекулярный ион водорода состоит из двух протонов и одного электрона. Состояние <1! соответствует локализации электрона вблизи одного протона, а состояние <2! — локализации вблизи другого протона. Молекула водорода состоит из двух протонов и двух электронов, причем спвновые состояния электронов различны. Мысленно выделим одно из этих спиновых состояний. Тогда базисное состояние < 1! можно определить как состояние молекулы, отвечающее локализации электрона с выделенным спином вблизи одного протона, а состояние <2! — как состояние с локализацией этого электрона вблизи другого протона.
При этом второй электрон всякий раз локализуется вблизи соответствующего «вакантного» п~ротона (возможность локализации обоих электронов .вблизи одного протона можно не рассматривать из-за сильного кулоновского расталкивания электронов) Роль недиагональных элементов гамильтоновой матрицы. Произвольное состояние <з! мнкрообъекта представим в виде суперпознции базисных состояний < 1! и <2!: (з(=(',а~1)'(!1 )+(1з',!2)(2), или с учетом (12.4) (з !=С,'(~1!+Сз(2!. (1З.1) Амплитуды С~ и Сз удовлетворяют, согласно (12.8), си- стеме уравнений: — И вЂ” С,=Ннс,+Н, С, ег (13. 2) — зй — С»=Н»,С, +Нз»С». Е1 137 Рассмотрим два случая.
ПеРвый слУчаи: неДиагональные элементы Нм и Нм равны нулю (гамильтонова матрица диагонализирована). В этом случае система уравнений (!3.2) распадается на два взаимно независимых уравнения: в — Рй — С,=НпСь — 1й — С =Н„,См и ' и (13.3) Из (13.3) следует, что если в данный момент микрообьект находится, например, в состоянии <1(, то он никогда не окажется ~в состоянии <2(. Здесь базисные состояния <1~ и <2) суть стационарные состояния микрообьекта, характеризующиеся соответственно значениями энергии Нп и Ны. Второй случай недиагональные элементы Ны и Нм отличны от нуля. В этом случае имеем.
систему из двух взаимно связанных уравнений (система (13.2)). Поэтому если в данный момент времени мимрообъект находится, например, в базисном состоянии <1 ~, то в другой момент времени может оказаться уже в состоянии <2(. Наличие недиагональных элементов в гамильтоновой матрице означает существование переходов микрообъекта между различными базисными состояниями. Обращаясь к конкретным, примерам микрообъектов с двумя базисными состояниями, отметим, что в молекуле аммиака атом азота совершает переходы, изменяя свое «юложение относительно Н-плоскости. В молекулярном ионе водорода происходят переходы электрона от одного протона к другому. Протоны в молекуле водорода «обмениваются» электронами.
Отметим, что именно этот «обмен» парой электронов и лежит в основе химической связи. Как говорят, одна валентная связь между двумя атомами возникает в результате того, что каждый из этих атомов «предоставляет в общее пользование» по одному электрону; эти «обобществленные» электроны и ответственны за возникновение связи между атомами. ЧИТАТЕЛЬ; Ранее, в в 1О, утверждалось; чесли объект находится в одном базисном состоянии, он не может быть обнаружен в другом базисном состоянии». Не противоречит ли это утверждение отмеченной только что возможности переходов между базисными состояинямиу АВТОР: В $10 обсуждался принцип суперпозиции состояний.
При его обсуждении не принималась во внимание возможность протекающих во времени переходов между состояниями, образующими.суперпозицию. ЧИТАТЕЛЬ: Поясните, пожалуйста. АВТОР: Прежде всего перепищем (13.!) более подробно: <э Ф)=-С'г Ф< (1+ +Сз(1) <2~.
((З.)а) Краткая интермедия. „Что есть луншегор — Сравнив прошедшее, свести его с настоящим. Козьма Прутков Ыы имеем микрообъект в суперпозиционном состоянии <з(1). Если в момент 1 срабатывает детектор, то микрообьект обнаруживается в состоянии ( 1! илн в состоянии (2(, причем вероятность первого события есть (С1(1) )', а вероятность второго — (Сз(1])'. Существенно, что одно событие исключает другое — именно это и подразумевает приведенная Вами фраза. ЧИТАТЕЛЬ: Я понял, в чем тут дело. Если микрообъект обнаружен в момент й например, в состоянии ( 1), то тем самым исключено обнаружение его в тот же момент времени в состоянии ( 2). Однако мнкрообъект может быть обнаружен в состоянии ( 2) в другой момент времени. АВТОР: При этом важно, чтобы недиагональные элементы гамальтоиовой матрицы были отличны от нуля.
В противном случае, обнаружив микрообь- 139 Изменение амплитуд состояний во времени. Выявляя зависимость аееплитуд Сг и С,от,времени, рассмотрим два случаи. Первый случай неднагональныс элементы гамильтоновой матрицы равны нулю. Решая уравнения (!3.3), находим: Сг(г)=Сг(0)ехр(гНггг)а) ТСг(г)=Сг(0)ехр(гН ~)п). (13.4) Таков характер зависимости от времени амплитуд, описывающих стационарные состояния.
Из (13.4) видно, что вероятности обнаружить микро- объект в том или ином базисном состоянии не меняются со временем: ) С (г) )г=/ С (0) )г ) С (г) (г=) С (0))г (13.5) Если в момент 1=0 микрообъект находится в состоянии <1(, то ) С,(!) )г=1 и ) Сг(!) )г=0. Как и следовало ожидать, время жизни микрообъекта в стационарном состоянии оказывается неограниченно долгим. Второй случай: недиагональные элементы гамильтоновой матрицы отличны от нуля. Предположим, что можно положить" (13.6) Н„=Н =В. ' Это можно сделать, если рассматриваемая задача хзрвктеризуется определенной симметрией: тзк, в примере с молекулой зммнзкз состояниям <1) и <2( соответствуют положения атома азота, симметричные относительно Н-плоскости.
140 ект в состоянии ( !), Вы не обнаружите его в состоянии ( 2! не только в данный момент времени, но и вообще пик огдз. ЧИТАТЕЛЬ: Я понял, что суперпозиционное соотношение и переходы между бззисными состояниями — зто разные «предметы». АВТОР: Это твк, однако не забывайте, что при рассмотрении переходов надо учитывать не только недиагональность гамильтоновой матрицы, но и су. перпозиционное соотношение !!3.1а). При этом все опрсде. ляется характером ззвисимости змплнтуд С1 и С» от времени.
В одном случае оказывается, что )С1)» и )Сг)г не меняются со временем — и тогда перехо. дов между базисиыми состояниями нет. В другом случае )С1Р и )ѻРменяются со временем — и тогда переходы есть. Впрочем, вопрос о хзрвктере зависимостн амплитуд С~ и Сз от времени требует более де. тального рассмотрения, Кроме того, предположим вещественность недиагональных элементов гамильтоновой матрицы и с учетом (12.9) обозначим 7/н //м == '". (13.7) Используя (1З.б) и (13.7), перепишем (13.2) в виде л — гй — Сг=ЕоС1-АСг Лг (13.8) -1й — Со= ЕоСг-АС1 о о1 Эта система уравнений эквивалентна следующей системе: -1й -к- (С1+Сг) (Ео-А) (Сг+ Сг) Кг -гй — (С1-С,)=(Е,+А)(С,-С,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
