Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Однако, набор этих случайных значений позволит найти закон распределения и среднее значение величины, которые могут быть предсказаны а ~рг(ог(. В воз~можности подобных предсказаний и выражается существование причинной связи между потециально .возможными событиями. Приведем пример. Пусть в состоянии <а~ измеряются величины р-набора. Проведя множество индентичных измерений, наблюдатель получит совокупность значений Рь р,, рз, ... Набрав й1 значений, он может определить среднее значение: (12.1) Предположим, что на следующий день (или в следующем году) наблюдатель решил повторить свои измерения.
При этом он получит некоторую совокупность значений Р~', рз', рз', ... Новая совокупность значений будет отлична от старой, однако определяемое по формуле типа (12.1) новое среднее значение окажется близким к среднему значению < р>, полученному ранее (при условии, разумеется, что У достаточно велико). Это означает, что наблюдатель мог бы во второй день вообще не трудиться; среднее значение <р> могло быть предсказано на основании измерений предыдущего дня. Более того, значение <р> могло быть заранее вычислено без выполнения каких-либо измерений.
Для этого, паравда, наблюдатель должен был бы знать амплитуды (а~~!> в суперпозиции: ( а ( = ~~р~ ( а ) р, ) ( р, ). 112.2) Для,вычисления <р> надо воспользоваться соотноше- нием 112.3) Полагаем, что читатель уже да~вне понял суть проблемы. Эта суть состоит в том, что причинная связь между потенциально возможными событиями означает причинную связь между вероятностям~и реализации событий. Короче говоря, предсказания в квантовой механике имеют вероятностный характер! Чтобы предсказать величину <р> в состоянии <а), надо знать вероятности ~ (а! р!> )',реализации значений р! .в данном состоянии. Если же эти вероятности заранее,не известны, то необходимо набрать соответствующую статистику измерений р-величин, позволяющую найти упомянутые вероятности.
Суммируя сделанные выше замечания, приведем слова Фока (1): «Вероятность того или иного поведения объекта в данных внешних условиях определяется внут,ренними свойствами данного объекта и этими внешними условиями. Это есть численная оценка потенциальных возможностей того или иного поведения объекта. Проявляется же эта вероятность в относительном числе осуществившихся случаев данного поведения объекта; это число и является мерой. Таким образолц вероятность относится к отдельному объекту и характеризует его потенциальные возможности; вместе с тем для определения ее численного значения необходима статистика осуществления этих возможностей, т. е.
многократное повторение опытак Причинность в статистических теориях. Уже в ф 6 в овяз~и с обсуждением проблемы необходимого и случайного в микроявлениях было отмечено, что квантовая механика является статистической теорией. Поэтому вопрос о причинности в квантовой механике может быть рассмотрен прежде всего с точки зрения проявления причинности вообще в статистических теориях (включающих, в частности, и,такие классические теории, как статистиче- ская механика, физическая кинетика, микроскопическая электродинамика). В любой статистической теории необходимость ,и случайность выступают как диалектические категории; вон~рос о соотношении между ними есть вопрос о единст- ве и борьбе противоположностей.
Скорости молекул в газе случайны (любое мгновенное распределение моле- кул по скоростям случайно), но средняя скорость моле- кулы необходима. Факт попадания того или иного элек- трона, прошедшего через экран с щелями, в ту или иную точку экрана-детектора случаен,,но результирующая интерференционная ка~ртина необходима. Как и случай- ность, необходимость пр~исутствует во всякой статистиче- ской теории. Она-то и выражает причинные связи. Следовательно, вопрос о проявлении причинности в статистических теориях сводится к~вопросу о проявлении необходимости в этих теориях.
Если в теориях динамического типа необходимость господствует безраздельно, благодаря чему всегда воз- можны точные .предсказания значений физических вели- чин, то в статистических теориях, необходимость прояв- ляется через законы распределения, дающ~ие лишь веро- ятности тех или иных значений физических величин. Как дополнительное (весьма важное) п~роввление необходимости в статистических теориях укажем законы сохранения. Известно, что законы сохранения могут рас- сматриваться как некие принципы запрета.
С этой точки зрения ~роль законов сохранения в статистических теори- ях весьма наглядна: законы сохранения играют роль ус- ловий, обращающих в нуль вероятность определенных процессов, Статистический характер квантовой механики. Отно- ся квантовую механику к статистическим теориям, следу- ет иметь в виду, что она занимает среди этих теорий особое место. В рамках классической физики статисти- ческими являются законы поведения больших совокуп- ностей объектов; законы же поведения отдельного объ- екта являются динамическими. Рассматривая случай- ность в поведении уже отдельного ~микрообъекта, квантовая механика ставит себя в особое положение— как статистическая теория отдельного объекта.
Именно поэтому мы называли выше квантовую механику прин- ципиально статистической теорией. ~за Отмеченное обстоятельство предопределяет специфику статистических коллективов в квантовой механике. Как писал Фок (1), «элементами статистических коллективов, рассматриваемых в квантовой механике, являются не самые микрообъекты, а результатеч опытов над ними, причем определенная постановка опыта соответствует одному определенному коллективу~.
Выше рассматривался пример, когда над микрообъектом в состоянии <а) производились измерения величин б-.набора; многократное повторение измерений позволяло получить некую совокупность чисел рь рь рм ... Эта совокупность чисел и есть пр|имер статистического коллектива в квантовой механике. Глядя на выражение (12.3), можно заключить„что ) <а) б;> )з играет роль функции распределения для указанного статистического коллектива.
Видо- изменив опыт (на~пример, перейдя к измерению величин у-набора), наблюдатель будет иметь дело с иным статистическим коллективом: уь уь уз, ... Отсюда следует, что с одним микрообъектом можно сопоставить фактически несколько статистических коллективов. Классические и квантовомеханические коллективы имеют, как легко видеть, разную природу. В классической физике статистический коллектив образован совокупностью многих объектов, а в квантовой механике— совокупностью многих потенциально возможных способов реализации свойств микрообъекта, находящегося в заданных ~внешних условиях, причем всякое изменение условий приводит к новому коллективу.
Указанное различие проявляется, в частности, в том, что если в классической физике усреднения выполняются по различным состояниям системы, то в квантовой механике речь идет о средних значениях в данном состоянии системы (так,в приводившемся выше примере шла речь о средней величине <б> ~в состоянии <а) ). Разумеется, и в квантовой теории приходится выполнять усреднения по разным состояниям и |рассматривать статистические коллективы, образованные совокупностью ~микрообъектов.
Однако подобные задачи уже выходят за рамки собственно квантовой механики, составляя вредмет квантовой статистики. Квантовая статистика вмеет дело с двумя типами статистических коллективов. В этом смысле она оказывается дважды статистической теорией. 133 Квантовомеканическое уравнение, выражающее принцип причинности. Рассмотрим следующую амплитуду состояния: Ст(1)=<. з(1)(у). (12.4) (в правой части сумма ~по всем базисным состояниям).
Поскольку при Л(-!-О коэффициенты разложения 1!!! превращаются в бм (бм — символ Кронекера), то при достаточно малых И можно представить этн коэффициенты в виде 1УМ(1, ~1)=Вы+ — Н,!(1) а!. Ъ, (12.6) Подставляя (12.6) в (12.5), получаем ИС! (г+ д!) с! Я вЂ” У Нц®С Я (12 7) Переходя к пределу при И-+6, находим отсюда искомое уравнение: (12.8) Мы нашли фундаментальное квантовомеханическое уравнение, выражающее принцип причинности. Здесь Нм — элементы некой матрицы, описывающей физику рассматриваемой задачи. Отметим, что линейность уравнения (12.8) есть фактически следствие принципа супер- позиции состояний.
1З4 Это есть амплитуда вероятности обнаружить в базисном )ьсостоянии микрообъект, находившийся к моменту 1 в з-состоянии (в момент 1 срабатывает детектор и тем самым обнаруживает микрообъект в том,или ином состоянии). Характерная для квантовой механики причинная связь, между вероятностями реализации событий должна проявляться в существовании взаимосвязи между амплитудами, рассматриваемыми в моменты времени 1 и 1+И.
Учитывая принцип суперпозиции, выразим связь между амплитуда~ми в виде линейного уравнения С, (У+ Ф = 2, и„~У, М) С, (т) (12.5) т н„=н,' (12.9) Это соотношение связано с тем, что вероятность п!ребывания микрообъекта хотя бы в каком-то из базисных состояний (вероятность ~г„С!С!*) не может, очевидно, меняться со временем. Чтобы показать эту связь, будем исходить из равенства — ' 'Ч с!с!=о. вт,, ! (12.10) Учтем, что и воспользуемся выражением (12.8). В итоге равенство (12.10) примет вид ;г ~(н„— и,!) с,с',=о, (12.11) откуда немедленно следует результат (12.9). Наконец, заметим, что из (12.9) можно заключить о вещественности диагональных элементов гам~ильтоновой матрицы.
Это обстоятельство согласуется с отмечавшей- * Это замечание будет обосновано позднее (си. $13). !зб Гамильтоиова матрица. Матрицу О!! называют гамильтоновой зтатрицей. Сделаем относительно нее следующие замечания: 1. Зависимость гамильтоновой матрицы от времени отражает зависимость от времен|и физических условий (например, ~ми!орообъект находится в меняющемся со временем магнитном поле). Если же условия не .меняются, то,матрица от ~времени не зависит.
2. Если гамильтонова матрица диагонализирована (отличны от нуля только ее диагональные элементы), то в этом случае элементы матрицы имеют простой физический смысл: они представляют собой возможные значения энергии микрообъекта*. По этой причине гамнльтонову матрицу можно было бы назвать энергетической л!атрицеи 3. Элементы гам~ильтоновой матрицы удовлетворяют соотношению ся выше ролью диагональных элементов как знацений энергии микрообъекта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
