Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Но всему свое время, а поэтому пака мы будем оперировать с понятием «амплитуда состояния» как с неким самосгоятельньгм понятием, 'пе уточняя практического смысла такой, например, фразы, как «микрообъект, находящийся в состоянии <а), может быть обнаружен также и в состоянии <р)». 108 Как уже отмечалось, принцип суперпозиции как бы «дополняет» соотно)рения неопределенностей: его позитивное содержание «Компенсирует» известное негативное содержание этих соотцошений.
Образно говоря, соотношения неопределенностей указывают,на то «старое», от чего следует отказаться при переходе от макроявлений к микроявлениям; они требуют, в частности, отказаться от одновременной измеримости всех физических величин, характеризующих данный объект. В то же время принцип суперпозиции указывает,на то «новое», чем следует пользоваться прн рассмотрении микроявленнй: суперпозиция (10.2) означает, что если микрообъект находится в состоянии, в котором измеримы величины а-набора, то значения величин р-набора могут быть предсказаны вероятностно — с,вероятностью, равной ~ (а~ р) ~~.
Суперпозиция в классической физике и квантовой механике. Суперпозиция довольно часто встречается в классической физике; это ~прежде всего хорошо известная суперпозиция классических волн. С математической точки зрения классическая суперпозиция и суперпозиция в квантовой механике аналогичны.
Именно это обстоятельство немало стимулировало в свое в~реми развитие квантовой теории. В то же время упомянутое обстоятельство, безусловно, затрудняло осмысливание физического содержания получаемых в теории результатов, поскольку порождало соблазн проводить неоправданные аналогии с классическими волнами. Как писал Дирак (9), «допущение суперпозиционных связей между состояниями приводит к математической теории, в которой уравнения движения, определяющие состояния, линейны по отношеншо к неизвестным, Ввиду этого многие пытались установить аналогии с системами классической механики, такими, как колеблющиеся струны или мембраны, которые подчиняются линейным уравнениям, а следовательно, и принципу еуперпозиции (напомним приводившуюся в 5 5 критику попыток представлять движение связаннсго мнкрообъекта при помощи классической волны в некоем резонаторе. — Прим. авт.).
Важно помнить, однако, что суперпозиция, которая встречается в квантовой механике, существенным образом отличается от еуперпозиции, встречающейся в любой классической теории. Это видно из того факта, что квантовый принцип супер- позиции требует неопределенности результатов измерений», 107 Говоря об отличии квантовой сунерпозиции от классической, напомним, что суперпозиц!зя двух классических волн приводит к возникновению нрвой волны, обладающей, естественно, и новыми хара~(теристиками. Суперпозиция же двух состояний (р1~ ~и (рз), характеризующихся соответственно значениями р1 н рз величин р-набора, отнюдь не приводит к состоянию, характеризующемуся каким-либо новым значением р.
В качестве примера рассмотрим некое суперпозиционное состояние < )р,><р,!+<.!р,><р,! Будем измерять в этом состоянии р-величину. В результате всякий раз будет реализоваться одно из прежних значений — либо рь либо рм При этом нельзя точно предсказать, какое именно нз этих двух значений будет реализовано в конкретном измерении, а можно лишь указать вероятность получения р~ либо рм Указанные вероятности равны соответственно ~ (а~ р1> !' и ) <а)рз> !'. Вот эта-то специфическая неопределенность результатов измерений н определяет принципиальное отличие квантовой суперпозицни от классической.
Принимая во внимание квантовомеханический принцип суперпозиции, вернемся к вопросу о квантовых переходах, обсуждавшемуся в й 2. Предположим, что, как и прежде, рассматриваются два энергетических уровня микрообъекта: Е1 и Еь Обозначим соответственно через <1! или <2) состояния мнкрообъекта, в которых он имеет энергию Е1 или Ез (т. е. находится на первом либо втором энергетическом уровне). Согласно принципу суперпозиции, наряду с состояниями < 1( и <2) возможно также состояние <У)=< г!1><1!+< г(2><2!. (!0З) Измерение энергии микрообъекта в этом состоянии приводит либо к результату Еь либо к результату Ез (как если бы микрообъект находился и на уровне Еь и на уровне Е2). Первый результат реализуется с вероятностью ! <! 11> !э, а второй — с вероятностью ) <1!2> Р. Возможность существования такой специфически квантовомеханической ситуации немедленно снимает основное противоречие квантовых переходов, отмечавшееся в 5 2.
Достаточно предположить, что взаимодействие мнкрообъекта с излучением переводит его в суперпозиционное состояние типа (!0.3). Тогда вероятность обна- 108 ружить микрообъект на том или ином энергетическом уровне (на прежнеК( или,на новом) будет определяться просто квадратом модуля соответствующей амплитуды состояния. Взаимно ортогональные состояния; полная и частичная различимость состояний. Чтобы окончательно убедиться в том, что кваптовомеханичсский принцип супер- позиции не имеет по существу ничего общего с классической суперпозицией, вернемся к выражению (10.2) и рассмотрим, что должно с ним произойти при переходе к классической физике. Поскольку в классической физике все величины одновременно измеримы, то, следовательно, все они образуют некий единый «полный набор». Учитывая, что отражаемые соотношением (10.2) суперпозиционные связи действуют между разными полными наборами, заключаем отсюда, что в классическом пределе подобные связи попросту отсутствуют и, следовательно, все формально составленные амплитуды состояний должны быть приняты равными нулю: (а) р»=0.
(10.4) (10.5) ~оэ В квантовой механике условие (10.4) тоже имеет место, но лишь «в пределах» данного полного набора (для состояний, принадлежащих одному и тому же набору). Так, например, ( а, ) а; -=О, если (ф /. Амплитуда состояния равна нулю тогда и только тогда, когда соответствующие два состояния взаимно независимы (если обьект находится .в одном из этих состояний, он не может быть обнаружен в другом). 0 таких состояниях говорят как о взаимно ортогональных состояниях.
В этом смысле все состояния классического объекта взаимно ортогональны, тогда как в квантовой механике взаимно ортогональны лишь состояния, соответствующие одному и тому лсе полному набору, и .неортогональны состояния, соответствующие разным наборам. Последнее обстоятельство как раз и отражается принципом суперпозиции состояний. Представление о взаимно ортогональных состояниях позволяет уточнить понятие полной и частичной различимости. При этом удобно, воспользоваться уже рассматривавшимся ранее примером рассеяния друг на друге микрообъектов одного типа. Поскольку такие микрообь- екты тождественны, то вопрос о рааличимости определяется различимостью состояний (сцстояний <з, ) и <з,); см.
9 9), Напомним, что в 5 9 в ка~ествс полностью различимых микрообъектов указыва~)йсь, в частности, микрообъекты одного типа, но в равных спиновых состояниях. Тем самым молчаливо предполагалось, что разные спиновые состояния являются полностью различимыми. Теперь мы можем четко указать критерий полной н частичной различимости состояний: если <з,~за>=0, то состояния <з,~ и <з,) полностью различимы (между ними нет суперпозиционных связей); если же <з, ~з,>чь ФО, то рассматриваемые состояния частично различимы.
Иначе говоря, критерием полной различимости состояний является ортогональность этих состояний. Предположим, что рассматривается рассеяние двух бозонов одного типа. Результат (9.16) будет иметь место, если начальные состояния взаимно ортогональны (пусть это будут состояния <а~) л <аа~). Результат (9.!7) будет иметь место, если начальные состояния одинаковы (например, <а~) и <а~!). Оба этн результата представляют собой лишь два предельных случая, отвечающие полной различимости и полной неразличимости микро- объектов соответственно, Возможны, однако, различные промежуточные ситуации, отвечающие частичной различимости, когда начальные состояния микрообъектов представляют собой суперпозиции нескольких взаимно ортогональных состояний: <з,)=<а,(а,)<а,1+<а,(п,> аз~, (10.6) <з И=<зз1п <а)!+<аз!пе)<аз!.
Можно показать (см. (31)), что в этом случае вероятность одновременного срабатывания счетчиков определяется ,выражением ) ~ (81)з + ! ~ (и 8) (г + +)(з,)зз))з(ср(8)ср*(п — 8)+ср" (8)ср(п — 8)). (10.7) При ) <з~ )зз> )'-+О результат (10.7) превращается в (9.16) (мы приходим к предельному случаю полной различимости); при ! <з,)зг>)'-э1 результат (107) превращается в (9.17) (приходим к предельному случаю полной неразличимости). ыо Итак, мы убе мся, что вопрос о полной и частичной различимост~ тернатив в квантовой механике оказывается орта ки связанным с квантовомеханическим принципом ерпозиции, а точнее, со взаимной ортогональностью нли неортогональностью состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
