Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(9.34) 10! Предположим, что все М ядер кристалла одинаковы, не имеют спина и находятся строго в узлах решетки. В этом случае принципиально невозможно указать, на каком именно ядре произошло рассеяние нейтрона — альтернативы, отвечающие рассеянию на ядрах с разными «номерами», неразличимы. Поэтому следует учесть интерференцию амплитуд: Ф М (у'(в)='~~(у')з),.=')" ( у'(ю)~(с (з).
(9.35) 4 4 С учетом (9.35) вероятность рассеяния нейтрона имеет вид 1(У! з) Р=!т!Ч,')',(У1~)(г'! ) Р. Вследствие сложения амплитуд рассеяния на ядрах, определенным образо~м расположенных в пространстве, возможно взаимное «гашение» амплитуд для одних направлений и взаимное усиление для друпих — этот |интерференционный эффект проявляется в виде острых максимумов для определенных углов рассеяния. Предположим далее, что ядра кристалла имеют спин (пусть, как и у нейтрона, он равен '/«). В этом случае следует различать амплитуды рассеяния на ядре с переворачиванием спина ядра (согласно закону сохранения момента, при этом должен перевернуться также н спин нейтрона) и без переворачивания спина ядра и нейтрона — соответственно т и ~р. Если пр~и рассеянии происходит переворачивание спинов сталкивающихся микро- объектов, то соответствующая альтернатива оказывается различимой; ясно, что в данном акте рассеяния участвовало,именно то ядро, спин которого перевернулся.
Теперь надо складывать уже не амплитуды, а сами вероятности. С учетом амплитуд ~Г н Х представим вероятность рассеяния нейтрона из в-состояния в )-состояние в виде ~(у~в)р ~, и) т~~(у~«), «~в)р + 1 Х Г,'~ (( У! ~ ) ( г ! в ) Р. (9.3У) 1ов )С У') >( =~(ч" у')7>< ') >(з, (9.38) а в случае б промежуточные Бсостояння не фнксифуются н, следовательно, отвечающие вгм альтернативы неразличимы; поэтому у(з э)з ) ~яр~< у(г >с г) з>)з (9.39) фейнмановскне интегралы по траекториям. В заключение укажем возможность одной несколько необычной формулировки квантовой механики, опирающейся на амплитудные представленяя. В начале данного параграфа рассматривался ннтерферометр в виде экрана с двумя щелями; имелись две неразличимые альтернатнвы, которым соответствовали две ннтерферярующяс амплитуды Прсдположям теперь, что вместо экрана с двумя щелямн нспользуют экран с и щелямп; число альтернатив (н соответственно азшлятуд) станет равным и.
Далее поместим параллельно упомянутому экрану еще один экран с и щелями; число альтернатив (амплятуд) возрастет до и'. Будем продолзкать этот процесс, постепевно заполняя пространство между ясточняком мякрообъектов н экраном-детектором все новыми н новымя экранами, причем одновременно будем увслячнвать число щелей в каждом экране. В пределе бесконечно большого 103 Первый член в правой частя (9.37) дает на рнс. 9.3 характернгяе интерференцнонныс максимумы, а второй член обусловливает плавный фон. Принято говорить, что первый член описывает вероятность когеренгного, а второй — некоггргнгного Рассеяния нейтронов.
Пучок иголгов в неоднородных полях. Предположим, что пучок атомов, находящихся в определенном начальном з-состоянии (это есть определенное спнновое состоящие), проходит сначала через одну область неоднородного магнитного поля (В,), затем через другую область (В,) н, наконец, регистрируется в конечном спинозом )-состоянии. Неоднородные магнитные поля используются здесь как факторы, способные изменить спиновое состояние атомов пучка.
Опыт показывает, что вероятность перехода з-~-) различна в случаях, когда а) производится наблюдение, выясняющее состояние атомов пучка между полями Вз н Вз, 6) подобное наблюдение не производится. Различие вероятностей (<))з>(з в двух указанных случаях легко объяснимо, если учесть, что в случае а промежуточные спнновые Бсостояния всякий раз фиксируются н, следовательно, отвечающие им альтернативы различимы; поэтому числа экранов с бесконечно большим числом щелей придем к ситуации, когда все пространство между источником и экраномдстектором окажется «заполненным» различными возможными траекториями» микрообьекта, каждой из которых отвечает определенная алщернатнва и соответственно определенная амплитуда (представление об одной из таких траекторий дает рцс.
9.4, а). Полная амплитуда перехода з-»х есть сумма (точнее, интеграл) по всевозможным амплитудам. Наконец, представим !! себе, что система экранов с шеля- 1 х ми была введена лишь мысленно; в з 1 действительности же никаких экра- 1 ! нов нет, а просто все пространство 1 1 1 1 1 между точками з и х «заполнено» и) всевозможвымн траекториями. Если мы можем записать для каждой такой траектории амплитуду перехода, то вероятность перехода з-»х может быть найдена как квадрат модуля г интеграла, суммирующего все указанные амплитуды (так называемого интеграла по траекториям). В этом ф смысле квантовомеханнческос движение из з в х есть не что нное, как суперпозиция множества классических движений (классвческнх траекторий) — примерко так, как это пок-зало на рис. 9 4, б.
Переход от квантовой механики к классической соответствует сведению указанной супсрпозицни траекторий к некоторой единственной траектории. Представление движения микрообьектов через интегралы по классическим траекториям (иначе говоря, через интерферснпи>о отвечающих классическим траекториям амплитуд) подробно рассмотрено в [5!. Рнс. 9.4 й 10. СУПЕРПОЗИЦИЯ СОСТОЯНИЙ 104 При рассмотрении в предыдущих параграфах вопроса о вероятности перехода микрообъекта из одного состояния в другое были введены и обсуждены специфические для квантовой механики представления об амплитуде вероятности перехода, различимых и неразличимых альтернативах перехода, интерференции амплитуд, отвечающих неразличимым альтернативам.
На ряде примеров читатель мог убедиться в важности представления об интерферирующих амплитудах, позволяющего объяснить результаты различных экспериментов с микрообъектамн, Интерференция амплитуд переходов органически связана с одним из наиболее фундаментальных принципов квантовой механики — принципом еуперпозиции состояний, отражающим специфику «взаимоотношеиий» состояний микрообъекта. Перейдем к рассмотрению этого принципа. Принцип суперпозиция состояний.
Ранее, в й 3, обсуждались соотношения неопределенностей. В связи с этим отмечалось, в частности, что состояния микрообъекта объединяются в группы, в каждой из которых определены значения какого-либо одного полного набора физических величин. Там же приводились примеры полных наборов величин для электрона и фотона. Продолжая разговор, начатый в ф 3, введем обозначения разных полных наборов; а-набор, б-набор, у-набор и т.
д, В связи с этим будем говорить о группе а-состояний, группе в-состояний и т. д. Предположим, что микро- объект находится в одном из а-состояний. Это означает, что имеют определенные значения величины а-набора. Л что можно сказать при этом о значениях величин какого- либо другого полного набора, например р-наборар Согласно соотношениям неопределенностей, величины р-набора не имеют определенных значений в рассматриваемом состоянии.
Читатель вправе воспринимать это обстоятельство как негативное. Однако, к счастью, оно вполне «компенсируется» позитивным обстоятельством — принципом суперпозиции состояний. Согласно принципу суперпозиции, между состояниями микрообъекта, отвечающими разным полным наборам, существует связь: любое состояние ~из одного набора может быть представлено в виде еуперпозииии состояний другого |набора. Так, например, данное а-состояние может быть представлено в виде суперпозиции р-состояний. Условимся ~использовать для обозначения состояния мнкрообъекта символ < ~. Тогда принцип суперпозиции может быть записан в виде 110.1) Выражение 110.1) выглядит как «разложение» данного состояния <а~ по совокупности р-состояний, при этом числа Ф,в играют роль коэффициентов разложения.
Более' конкретно: число Ф«в есть амплитуда вероятности того, что при ~измерении величин 11-набора в состоянии (а~ 105 будут получены значения, отвечающие состоянию <р(; Иными словами, это есть амплитуда вероятности того, что микрообъект, находящийся в состоянии <а~, может быть обнаружен также и в состоянии <р1. Обозначим эту амплитуду привычным символом <а)'р>, после чего выражение (10.1) примет вид ( а ( = ~~'„( а ~ ) ( е ь!.
В предыдущих параграфах рассматривались ампли-. туды вероятностей переходов (сокращенно: амплитуды переходов). На первый взгляд, принцип суперпозиции «вводит в игру» новый тип амплитуд вероятностей. Действительно, приводившаяся выше фраза: «<а~р> есть амплитуда вероятности того, что микрообъект, находящийся в состоянии <а~, может быть обнаружен также и в состоянии <р)» — допускает представляющуюся очевидной перефразировку: «<а) р> есть амплитуда вероятности пребывания микрообъекта в состоянии <р(, если известно, что данный микрообъект с достоверностыс находится в состоянии <а1». Коротко говоря, последнее утверждение означает, что <а! р> есть амплитуда вероятности, с какой в данном а-состоянии «представлено» то или иное 11-состояние.
Создается впечатление, что амплитуды <а) р> не имеют никакого отношения к каким-либо переходам, к каким-либо процессам. Учитывая это впечатление, введем для <а~ р> новый термин — амплитуда. вероятности состояния (сокрашенно: амплитуда состояния) . Необходимо сразу же предупредить читателя: упомянутое выше впечатление ошибочно. Однако, чтобы убедиться в этом, надо проанализировать измерительный акт. Измерение в квантовой механике будет обсуждаться в 5 11; это обсугкдение заставит внести в приведенные выше определения амплитуд <а~ р> некоторые уточнения и даст возможность фактически свести амплитуды состояний к уже знакомым читателю амплитудам переходов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
