Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если сталкивающиеся электроны находятся в разных спиновых состояниях (пятый пример в опыте 4), то альтернативы различимы; в этом случае вероятность срабатывания счетчиков описывается (как и положено для различимых объектов) выражением (9.17), которое при О=л/2 приводит к уже известному результату 2)гр(л!О) ~з. В случае неполяризованных электронных пучков (четвертый пример в опыте 4),надо учесть, что вероятность столкновения двух электронов в одинаковых спнновых состояниях равна г(з; отсюда, учитывая (9.20) и (9.16), получаем следующее выражение для вероятности срабатывания счетчиков: то, = — ) р(0) — р(л — 0) (з+ — [) гр(0) (з+(гр(л — О) Д. (9.21) Результат (9.21) включает как сложение амплитуд (для случаев, характеризующихся неразличимыми альтернативами), так и сложение .вероятностей (для случаев, характеризующихся различимыми альтернативами). Для О=л!2 получаем из (9.21) вероятность ю,= (гр(л!2) )а.
Это есть половина «классической вероятности» (т. е. вероятности, имеющей место в случае неразличимых альтернатив) в полном соответствии с результатами опытов, рассматривавшихся в 9 7. Интерференция амплитуд и разбиение микрообъектов на бозоны и фермионы. Итак, мы убедились, чтоописанные в 9 7 опыты по рассеянию мцкрообъектов дают хорошее экспериментальное обоснование представлению об интерференции амплитуд.
Кроме того, эти опыты указывают на необходимость использования не одного, а двух разных правил интерференции — (9.17) и (9.20). Обсудим смысл этих двух правил, полагая О=л/2. Согласно (9.!7), " Ниже будем опускать слово «полностьютч подразумевая его всяиий раз, когда речь идет о различимых или неразличимых альтернативах.
Частичная разли гимость будет оговариваться особо. 4 — 2819 имеем для а-частиц те =- 4 ) т (л /2) 1з (9.22) а согласно (9.20) имеем для электронов в одинаковых спиновых состояниях (9.23) Использование угла О=п/2 делает схему рассеяния симметричной. Если при этом учесть также, что электроны находятся в одинаковых спиновых состояниях (у а-частиц спина нет), то можно заключить, что выражения (9.22) и (9.23) описывают вероятности оказаться в одном и том же состоянии соответственно для пары а-частиц и для пары электронов. Сравнивая эти,выражения с «классической вероятностью» 21зр(л/2)1з, можно прийти к заключению, что одни микрообъекты (в данном случае а-частицы) проявляют тенденцию плотнее «заселять» одно и то жс состояние, тогда как другие микрообъекты (в данном случае электроны), напротив, могут «заселять» состояния только поодиночке.
Тот факт, что все микрообъекты в природе,по характеру поведения в коллективе себе подобных разбиваются на две группы — бозоны (тенденция плотнее «заселять» одно и то же состояние) и фермионы («заселение» состояний только поодичноке), — отмечался уже в 9 Е Теперь мы видим, что этот фундаментальный факт связан с существованием двух разных правил интерференции амплитуд. В случае бозонов амплитуды интсрферируют с одинаковыми знаками, а в случае фсрмионов — с разными зна~ками.
Бозонность фотонов н процессы спонтанного и индуцированного испускания света. Рассмотрим пример: имеются три испускающих фотоны атома (зь зз, з,) и трои счетчика фотонов () ь )з, )з). Лмплитуда вероятности того, что произойдут одновременно три перехода: з, — )ь зз— »Ь зз"з-(з, — есть <)~ (з~ > <1з) зз> <~з1зз>.
Предположим, что регистрируются фотоны в одном и том же состоянии. В этом случае имеем 3!=6 неразличимых альтернатив; нм соответствуют, кроме указанной выше, следующие пягь амплитуд: (Л|зз)<Л~зз)<Уз~аз) <Л1зз)<Уз!зз)<Уз!зз) СУз)зг)(Л~зз)(Л~зз) (Л!зз)<Л(зз)(Уз)эг), <Л)'з)<Л!зг>(Уз!зз). Полагая, что амплитуда каждого перехода эг-+ф, одна и та же (обозначим ее через а) и учитывая неразличимость альтернатив, получим для амплитуды перехода с испусканием трех фотонов выражение 3!а', а для вероятности перехода (31)з(аз(з. Если бы альтернативы были различимы (испускались бы раз,тичимые мнкрообъекты), то вероятность описывалась бы выражением 31)аз)з.
Обобщая эти результаты на случай с гг микрообъвктами, получим для вероятностей испускания соответственно (п()з(ал)з и п~ ~аи)з Пусть ш„— вероятность испускания и бозонов (в данном случае фотонов) в одном и том же состоянии, а И' — вероятность испускания гг различимых микрообъектов в одном и том же состоянии. Легко видеть, что (9.24) тв„=п! )р'„. Следовательно, вероятность совместного счета и бозонов в п) раз больше вероятности совместного счета п разл~ичимых микрообъектов. Перепишем результат (9,24), заменив и на и+1: (9.25) тв„+г —— (и+1)1 )Р', Поделггв (9.25) на (9.24), получим тзг„гг(та„=(п+ 1) гР'„„г)Г„.
(9.26) Это означает, что вероятность получить еще один бозон в состоянии, где уже есть и бозонов, в и+1 раз ~больше вероятности получить еще один различимый микро- объект в состоянии, где уже есть и таких микрообъектов, Отметим далее, что для различимых микрообъектов несущественна степень предварительной «заселенности» состояния. В применении ~к бозонам это а~налогично ситуации, когда бозон появлястся в состоянии, которое до этого было не занято. Поэтому результат (9.26) может быть истолкован и несколько иначе: вероятность получить еше один бозон в состоянии, где уже есть и бозонов, в и + 1 раз болыне вероятности появления бозонов в ранее незанятом состоянии. В соответствии с таким толкованием 99 целесообразно переписать результат (9.26) в виде ((п+1(п))'=(п+1)((1) О)!'.
(9.27) Здесь рассматривается определенное состояние, причем <1(0> есть ампл|итуда перехода: (состояние незанято)-~-(в состоянии один бозон), а <и+1(и> есть амплитуда перехода: (в состоянии и бозонов) (в состоянии и+1 бозонов).В применении не к вероятностям, а к амплитудам результат (9.27) означает (и+1(и) =3~ п+1(1) О). (9.28) Обсудим результат (9.27), рассматривая испускание фотонов (~испусканне света). Легко видеть, что вероятность испускания разбивается на два слагаемых: ((п+1) з)),=1(1)0)(~, (9.29) ! ( п+ 1 ! п ) ), = п ( ( 1 (О ) (» (9.30) Слагаемое (9.29) описывает вероятность спонтанного, а слагаемое (9.30) — индуцированного испускания света.
В случае спонтанного испускания переходы в веществе (точнее, в атомах-излучателях) самопроизвольны; они взаимно не связаны ~и не зависят от внешнего .излучения. В отличие от спонтанного индуцнрованное непускание зависит от наличия уже имеющихся вблизи излучателя фотонов — чем больше этих фотонов, тем более вероятно индуцнрованное испускание. Получается, что в силу своей бозонности фотоны как бы «вытягивают» из вещества новые фотоны, а точнее: стимулируют в веществе переходы, приводящие к испусканию новых фотонов.
Подчеркнем, что «стимулированный» фотон рождается в том же состоянии, в каком находился «стимулирующий» фотон. Поглощение света и связь между амплитудами прямого и обратного переходов. Опыт показывает, что вероятность поглощения света веществом тем больше, чем больше число имеющихся в излучении фотонов.
В этом смысле процесс поглощения света — индуцированный процесс. Используя аналогию с (9.30), можем записать следующее выражение для вероятности уничтожения одного фотона в состоянии, где имелось и фотонов: ) <п — 1)и> Р=и)<0(1>!'.
Перепишем этот результат, заменив и на и+1: ((и(и+1)(з=(и+1)((0(1) ~». 1оо (9.31) Сравнивая (9.3!) с (9.27), заключаем, что вероятности прямого и обратного перехода равны друг другу: ! <и+ +1(п> !'= ! <и!и+1>~'. Та~кнм образом, на конкретном примере мы продсмонстрнровалн так называемый принцип микроскопической обратимости: (<у)з>!з=!< !у>(з (9.32) В применении к амплитудам переходов этот принцип означает (9.33) <У! >=< !У>*.
Результат (9.33) дополняет рассмотренную в 5 8 систему четырех правил работы с амплитудами переходов; он может рассматриваться как дополнительное, пятое правило. Дополнительные примеры. Рассмотрим два полезных приме- ра, хорошо демонстрирующих ампл|итудные представления. Рассеяние нейтронов на кри- в сталле. Будем рассматривать рассеяние очень медленных нейтронов (с энергиями порядка рвс. э.з О,! эВ и,ниже) на атомных ядрах. Известно, что при столь низких энергиях амплитуда рассеяния ~р, рассматриваемая в системе центра масс нейтрона ~и ядра, не зависит от угла рассеяния.
Поэтому, казалось бы, должна быть изотроппой и вероятность рассеяния. Однако опыты по ~рассеянию очень медленных нейтронов на кристаллах обнаруживают сильную угловую зависимость вероятности рассеяния; характерная кривая показана на рис. 9.3:~на плавном фоне наблюдаются острые максимумы. Эти максимумы являются наглядной демонстрацией эффекта интерференции амплитуд. Убедимся в этом. Пусть нейтрон выходит ~из начального з-состояния и регистрируется в конечном 7-состоянии. Промежуточное ~-состояние соответствует (-му ядру кристаллической решетки рассеивателя. Согласно третьему правилу из 5 8, <'.И з'>,=<У! ~'>Ю «! з >.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
