Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Этн слагаемые и определяют отличие интерференциопнон кривой 1(х) от суммарной кривой 1»(х) = =1,(х) +1»(х). Таким образом, интсрференционнос распределение попаданий электронов на экране-детекторе, наблюдаемое при обеих открытых щелях в опыте 1 из 5 7, есть следствие результата (9.4), т. е. следствие интерференции амплитуд двух возможных переходов электрона нз заданного начального в заданное конечное состояние. Разрушение интерференции амплитуд при «контролировании» поведении микрообъекта в интерферометре. На рнс. 9.! схематически изображен рассматривавшийся в 5 7 прянципнальный опыт 2. Здесь з — источник электронов, 5 — источник фотонов, Г, и Р» — счетчики фотонов, фиксирующие два разных конечных состояния фотонов, рассеянных на электронах вблизи щелей А и В.
Вначале будем полагать, что фотоны, рассеянные вблизи любой ш из !целой, могут быть зарегистрированы как в г'!-состоянии, так и в т"г-состог!нии (что соответствует использованию излучения с достаточно большой длиной волны). В этом случаа фотоны, очевидно, не «контролируют» прохождение электронов чсрез экран с щелями. Обозначим амплитуды переходов: для электронов (х(А)(А)з)=то (х(В)(В(з)=9г,(9.5) для фотонов (с учетом симметрии фотонных переходов, хорошо видной из рис.
9.1) (тт,(А)(А!о >= тг ~ В>( В ~я>=Фг, (Р~) А )(А (о )= Г,(В >( В!'»>=Фг. (9.6) Используя эти обозначсния и результат (8.11), запишем Рис. 9.1 следующее выра!копие для амплитуды вероятности одно~времсгц!ой репистрацпн электрона в точке х и фотона в Р!-состоянии: (х~! (з8 >=~А+юг. (9.7) Соответственно для амплитуды вероятности одновременной регистрации электрона в точке х и фотона в Гг-состоянии запишем (ХРг (зЯ ) =тггг+тгфо (9.8) Вероятность регистрации электрона в точке х независимо от того, где при этом зарегистрирован' фотон, имест вид (согласно второму правилу нз 9 8) )(х) з) (г=)(хт', ! зо) (г+1( хг-г ! зо > )г.
(9.9) Подставляя сюда (9.7) и (9.8), находим ~ ( . ( з ) (г (( (г ( (», (г) (( Р !г+ /г,г Р)+ +(ляг+ 9грг) (Ч гуг+фгуг). (9.10) 92 Таким образом, результирующая вероятность электронного перехода з- х складывается нз двух слагаемых. Первое есть умноженная на (!ф1!'+ !ф !') сумма вероятностей переходов через щели А и В, рассматриваемых по отдельности. Второе слагаемое имеет интерференционну|о природу; опо обусловлено интерференцией амплитуд. Благодаря наличию этого слагаемого наблюдается интерференционное распределение попаданий электронов на экране-детекторе.
Итак, пока фотоны не «контролируют» прохождение электронов через экран с щелями, наблюдается эффект интерференции, описываемый выражением (9.10). Напомним, что в рассмотренном примере предполагалась достаточно большая длина волны излучения. Будем теперь уменьшать длину волны. При этом будет уменьшаться вероятность попадания рассеянного электроном фотона в «чужой» счетчик (например, вероятность попадания фотона, рассеянного вблизи щели А, в счетчик гз).
Это означает, что с уменьшением длины волны излучения должна уменьшаться амплитуда фь Уменьшение же амплитуды фэ понизит, как это видно из (9.10), относительный вклад интерференционного слагаемого. В результате наблюдаемая на эк|ране-детекторе пнтерференционная картина начнет смазываться. При достаточно малой длине волны излучения возможен точный «контроль» за прохождением электронов через экран с щелями.
В этом предельном случае фотон, рассеянный вбтизи той или иной щели, попадает только в «свой» счетчик. Это означает, что ф =О. Подставляя этот результат в (9.10), получаем )<л! )(э=!Ф )т(!т )э-!-! Р) (9. 11) Таким образом, «контроль э за прохождением электронов через экран с щелями приводит к разрушению интерференции амплитуд и, как следствие, к исчезновеншо интерферснционного распределения попаданий электронов на экране-детекторе. Результат (9.1!) полностью согласуется с (8.14).
«Контролирование» делает различимыми альтернативы, отвечающие прохождению электрона через разные щели. Рассматривая данный пример, мы убеждаемся, что в вопросе различимости альтернатив есть определенная тонкость: наряду с полной неразличимостью и полной различимоетью существует непрерывный спектр проме- жуточных ситуаций, которые следует соотносить с частичной различимоетью. Результат (9.1!) описывает предельный случай полной различимости ~рассматриваемых альтернатив (фа=-О).
Противоположный предельный случай полной неразличимости альтернатив предполагает одинаковую,вероятность фотону попасть как в «свой», так и в «чужой» счетчик: ф,=фа. В этом случае, как легко. убедиться, выражение (9.10) принимает вид [(х [э) [»=2 [Ф [з [т + р Г (9. 12) Результат (9.! 1) (складываются квадраты модулей электронных амплитуд) и результат (9.12) (складываются сами электронные амплитуды) получаются из (9.10) как частные (предельные) случаи.
Общее выражение (9.10) описывает промежуточные ситуации, отвечающие частичной различнмости рассматриваемых альтернатив и различающиеся друг от друга величиной интерференционного слагаемого. Чем меньше .ннтерференционное слагаемое, тем больше степень различимости альтернатив. Итак, различимость и неразличимость отнюдь не дискретны. Полная неразличимость непрерывно переходит в полную ~различимость через промежуточные ситуации, соответствующие частичной различизиости. В 9 10 мы вернемся к вопросу о частичной различнмостн с точки зрения принципа суперпозиции *.
Рассеяние микрообъектов и интерференция амплитуд. Обратимся копыту 4 из 57. Пусть з, и за — начальные состояния сталкивающнхся,микрообъектов, а 1, и [з — конечные ° состояния, регистрируемые соответствующими счетчиками. В 9 7 рассматривалось рассеяние на угол 90' в системе центра масс сталкивающихся частиц. Прп более общем подходе будем рассматривать рассеяние на угол 0; в этом случае счетчики располагаются на прямой линии, образующей угол 0 с первоначальным направлением сталкивающихся частиц — см.
рис. 9.2,а (рассмотрение по-прежнему, проводится в системе центра масс частиц). Если при рассеянии один микрообъект совершает переход з, †»1ь а другой — переход з, — 1» (рис. 9.2, б), то амплитуда рассеяния имеет вид р(0)=( 7', ) з!)( У',[зз). (9.13) ' Частичваа различимость альтернатив подробно рассматриваетсл в [3!1. 94 Возможна и другая альтернатива: один микрообъект совершает переход з,— 2-12, а другои — переход зз- 1, (рис.
9.2, в). В этом случае амплитуда рассеяния имеет вид т(п — 9) =(Л1з2) (Л1зз). (9.14) Предположим, что мнкрообъекты полностью различимы, Это может означать, например, что сталкиваются микрообъекты разного типа пли микрообъскты одного типа, но в разных спиновых состояниях. Сначала рассмотрим ситуацгпо, когда счетчик 1, регистрирует только ф l 2( В 'С /а ~. / 2 ( ~22 Рнс.
9.2 микрообъекты из зь а счетчик )з — только микрообъекты из зз (такая ситуация отвечает первому примеру в опыте 4 из 5 7). В этом случае вероятность одновременного срабатывания обоих счетчиков есть ( ~р (0) 1'=1( 7, ! з, ) ( т', ( з, ) ('. (9.15) Вторая ситуация: каждый счетчик регистрирует любой нз участвующих в столкновении микрообъектов (ситуация отвечает второму примеру в опыте 4 из 9 7). Теперь надо учитывать две возможные альтернативы.
Поскольку для полностью различимых мякрообъсктов эти альтернативы также полностью различимы, то вероятность одновременного срабатывания счетчиков будет определяться в данном случае выражением )т(9)Р+~ ( — еи'=~(Л( )(Л~")('+ +~(Уг~з )(Л(зз)Р (9.1б) При О=п/2 получаем отсюда вероятность 2/ср(п/2) ('— именно об этом удвоении вероятности и шла речь во втором примере в опыте 4 из э 7. Далее предположим, что микрообъскты полностью неразлалимоп Это означает, что рассматриваются мпкрообьскгы одного и того же >ппа, находящиеся в одинаковых состояниях. Заметим, что отмечавшаяся в ч б тождественность микрообъектов является неог>код»мь>з> условием полной неразличимости.
Если мпкрообъскты полностью неразличимы,тополпостью неразличимы н альтернативы, изображенные па рис. 9.2,б, в. В этом случае должны складываться пе вероятности альтернатив, а их амплитуды; вероятность одновременного срабатывания счетчиков должна определяться выражением (!Е17) «в.= ( ср(О]-(.ср(п — 0) (>. В применении к третьему примеру в опыте 4 пз 5 7 (когда рассматрипалось рассеяние а-частиц на а-частицах) результат (9.17) принимает вид тв = ( ~ Ф2) + О (и,'2) Г = 4 ~ ~ (и,'2) )з (9.18) Именно это учетверение вероятности (О>(п/2))з и пабл одалось в опыте.
Интерференция амплитуд рассеяния есть лишь одно из следствий полной неразличимости микрообъсктов. Другое следствие состоит в том, что вероятность ю одновременного срабатывания счетчиков не должна измениться, если поменять друг с другом з, и зъ илн, иными словами, если поменять друг с другом амплитуды рассеяния ч>(0) и гр(п- — О). Если исходить пз указанных следствий, то можно формально записать вероятность ш в виде (9.19) (9.20) Вариант со знаком «+» (амплитуды интерферируют с одинаковыми знаками) нам уже известен — это есть выражение (9.17).
ч>ормальпо возможен и другой вариант, когда амплитуды иптсрфсрируют с разными знаками. Примечатсльпс>, чтс> природа «использует» также и этот вариант, в чем можно убедиться, рассматривая результаты опытов по рассеянию электронов па электронах. Итак, прсдполо>ким, что амплитуды нвтерферируют с разными знаками; гв,=! 9(О) — Р(я — О) !2 и обратимся к результатам упомянутых опытов. В случае 0 =л!2 вероятность (9.20) обращается,в нуль, что как раз и соответствует шестому примеру в опыте 4 из 9 7. Иапомним, что указанный пример относился к столкновению электронов, находящихся в одном и том же спиновом состоянии. Именно в этом случае имеем для электроноа две полностью перазлпчимые альтернативы ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
