Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Базисные состояния. Различные состояния, соответствующие одному и тому же полному набору величин, принято называть базисными. Амплитуды базисных состояний удовлетворяют условию ( а1 ( а1 ) = 3 11 (10.8) (10.9) (бм — так называемый символ Кронекера; он равен нулю при 1М/ и единице при 1=1).
Условие (10.8) называют условием ортонор ~правки базисных состояний. Оно получается, если учесть (10.5) и тот факт, что вероятность получить значение а; в состоянии <а;( равна, очевидно, единице. Важное свойство системы базисных состояний — ее полнота: любое состояние может быть разложено по системе базисных состояний. Базисные состояния могут быть выбраны различным образом в зависимости от рассматриваемого полного набора.
Так, можно использовать различные системы базисных состояний: (<а;~), (<р,Д и т. д, Как говорят, возможны различные представления. Прн более общем подходе принцип суперпозиции состояний означает тот факт, что любое состояние <)~ микрообъскта может быть разложено по любой системе базисных состояний: Суперпозиция состояний и прохождение фотонов через поляризаторы. Принцип суперпозиции позволяет объяснить результаты опыта 3 из ~ 7. Рассмотрим, используя этот принцип, прохождение отдельных фотонов через систему из трех поляризаторов, изображенную па рис.
7.6. Обозначим состояние поляризации фотона после первого поляризатора через <в~. Согласно принципу суперпозиции, состояние <в~ можно рассматривать как суперпозицию базисных состояний <1( и <2~, отвечаю- 111 щнх двум независимым полярпзаци1па фотона — соответственно вдоль и поперек осп второго поляризатора: (з(=(з!1)(1!+(з(2, (2) (10.10) (заметнм, что в данном примере' система базисных состояний включает всего два состояния). Амплитуды состояний могут быть записаны в данном случае в анде <з ~! > =сов а и <з!2> = з!и а. Таким образом, (з)=сова(1!+з!и а(2).
Второй поляризатор, пропускает фотоны только в состоянии < 1(. Поскольку, согласно (10.11), состояние < 1) «представлено» в состоянии <з( с,вероятностью соз'а, то поэтому из й! фотонов через второй поляризатор .пройдут Усов» а фотонов, причем все прошедшие фотоны окажутся в состоянии <1! (т. е. будут поляризованы вдоль оси второго поляризатора). Итак, перед вторым поляризатором фотон находился как бы частично в состоянии < 1), а частично в состоянии <2~.
В момент прохождения фотона через поляризатор указанная «двойственность» исчезает, причем в одних случаях фотон реализуется в состоянии <2~ и тогда он не проходит через, поляризатор, а в других случаях реализуется состояние < 1! и тогда фотон проходит через поляризатор. При этом для каждого конкретного фотона невозмов1по предсказать, какое именно состояние будет реализовано (поэтому нельзя предсказать, пройдет .нлн не пройдет через поляризатор данный фотон). При рассмотрении, прохождения фотонов через третий поляризатор рассуждаем аналогичным образом. Состояние <1!;раскладывается по системе базисных состояний <1'~ и <2'~, отвечающих поляризации фотона вдоль и поперек оси третьего поляризатора: (1!=з!па(1'!+сова(2'!.
(10.12) Третий, поляризатор пропускает фотоны только в состоянии < !'!. Это состояние «представлено» в состоянии <1( с вероятностью з!пэа. Поэтому из А!соз'а фотонов через третий поляризатор пройдут асов' а з!и» а фотонов, причем все прошедшие фотоны окажутся в состоянии <1 ~. Если теперь убрать второй поляризатор, то вместо (!0.1!) и (10.12) будем иметь (з)=(з) 1')(1'(+(з)2')(2'), (10.13) 112 где, как легко со~0разить, <г(1'>О и <з)2'> =1, так что <з) =<2'(. Ес1ественно, что в этом случае на выходе системы поляр)1заторов фотоны вообще не наблюдаются.
Принцип суперпозиция состояний и интерференция амплитуд переходов. Пусть переход из состояния <з~ в состояние <~~ происходит через некоторые промежуточные о-состояния. Предположим, что микрообъскт в промежуточном состоянии нс фиксируется, так что имеет место случай физически неразличимых альтернатив. В этом случае, как известно, амплитуда перехода <~(з> описывается выражением (У~а>=Х<У~ )< ~з). (10.14) где <1(сч> н <о,~з> — амплитуды соответствующих переходов. Промежуточные о-состояния должны быть полностью различимыми, поскольку в противном случае нет смысла вводить понятия различимых или неразличимых альтернатив, так как фактически теряет смысл само понятие альтернативы.
Следовательно, и-состояния должны образовывать систему, взаимно ортогональных базисных состояний. Учитывая это обстоятельство, воспользуемся принципом суперпозицни и представим состояние <(~ в виде (10.15) СУ (з)=Х(У~ в~) <~~ ~з). (10.16) Сравнивая (10.16) с (10.14), заключаем: <Л г>=(У! ). ыз (10.17) где амплитуды <~~о;> суть амплитуды состояний (черта сверху использована здесь для того, чтобы отличать амплитуду состояния от амплитуды перехода <1~ с;>).
При наличии суперпозиции (10.15) уже нет фактически необходимости совершать переход из <з~ в <~~. Поскольку состояние <)~ есть суперпозиция состояний <о;(, то достаточно совершить переходы из состояния <з~ в каждое из состояний <о;(. Это означает, что амплитуда перехода <~~з> есть суперпозиция амплитуд переходов <о,(з>: Предположим далее, что некое устройство превращаез состояние (з> в некоторое состояние (з'>.
Запишем это в общем виде так: А)з>= )з' (10.19) Будем говорить, что на состояние )з> подействовал оператор А, в результате чего возникло состояние 1з'>. Подействуем оператором А на обе части равенства (10.18). С учетом (10.19) запишем ) з' ) = ~з~ А ) и, ) <' з, ( з ). (10.20) Далее вместо вычеркнутого ранее состояния <~~ восста- новим принадлежащее к системе базисных состояний со- стояние <о,~: ( пг ( з' ) =.~~ з; ) А ) и, ) < о, ) з,> ! (10.21) 114 Это означает, что на уровне математического аппарата мы уже осуществили сведение амплитуд состояний к амплитудам переходов.
Иными словами, в аппарате квантовой механики амплитуды состояний играют фактически ту же роль, что и амплитуды переходов. Попутно мы убеждаемся в том, что соотношения (10.14) и (10.15) органически связаны друг с другом, а следовательно, органически взаимосвязаны эффект интерференции амплитуд переходов и принцип суперпозиции состояний. В заключение отметим один важный прием, широко используемый в аппарате квантовой механики. Легко видеть, что если в выражении для интерференции амплитуд зачеркнуть знак начального или конечного состояния, то автоматически получается суперпозиционное выражение для незачеркнутого состояния.
Так, если в (10.14) зачеркнуть ~з> в левой и правой частях равенства, то получится суперпозиционное выражение (10.11) для состояния <Ц (заметим, что знак ~> используется для обозначения состояния наряду со знаком <)). «ййеханика квантовой механики».
Продемонстрируем основные приемы, отражающие, по выражению Фейнмана, «механику квантовой механики». Вычеркнем из левой и правой частей равенства (10.14) состояние <(~. Получим ~з'>=Х~п,)- ~,~з'>. (10.18) 4 (запись <о;) А(о1> надо понимать, как <о,~о';>, где !о'>=А)о1>). Наконец, перепишем (10.14), заменив в нем )з> па ~ь'>: (у (з' > = ~" ( у!оз) ( о;(з'). (10.22) ! Подставляя (10.21) в (!0.22), получаем (~(А(з)= = 5, '~ч", (у ( о; ) ( о; ) А (о1 ) (о1 ( з ).
(10.23) Суммируя продемонстрированные приемы, выпишем уже без каких-либо пояснений последовательно преобразующиеся равенства и предоставим читателю самостоятельно почувствовать логику и определенную красоту выполняемых преобразований: (У ! >=( У(з » (у ~а>=Х(~~.1>( гх>. 1з) =Х1о; >(о;! ) А (з)=~ А)о1)(о1)з), 1 (о,! А (з)=~чз~-. о,(А(п1)(о1)з), 1 ~~з~( У(о )(о,.(А(з)= =~Х(У).1>(.,(А!.1>(.,) ), (г" (А )з)= =ХХ(.у!.,>(.,) А~ей>(. ~з). Наконец, предположим, что на состояние (з> действует сначала о~ператор А, а затем оператор В. Если читатель усвоил логику «механики квантовой механики» (точнее было бы„по-видимому, говорить об «алгебре 1!5 квантовой механики»), то он сразу же напишет (у [ВА[а >= =.)г~ ~~р„~ч.", «-. У ) па» «. юа ( В [ о! > ( и; [ А [ о, ) Х 2 )( ( ю, ) з ).
(10.24) (запись <1'[ВА[з> надо понимать как <1'[з">, где [зо>=В[а'>, а [з'>=А[а>). Такова формальная структура характерных для квантовой механики математических «манипуляций». Ниже эта структура обретет на конкретных примерах конкретное содержание. Здесь же она дана в наиболее общем виде, позволяющем понять ее внутреннюю логику.
Подчеркнем, что в основе рассмотренной структуры лежит идея квантовомеханической интерференции (супер- позиции) и использование некоторой системы базисных состояний,,по которой производятся разложения. 5 11. ИЗМЕРЕНИЕ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Вопрос о проведении измерений в квантовомсханических системах и интерпретации получаемых при этом результатов по праву считается весьма сложным, нуждающимся и по сей день в дальнейшем исследовании. Здесь не дается сколь-либо обстоятельного анализа проблемы квантовомеханических измерений, но предпринята попытка изложить ряд получивших достаточную ясность принципиальных положений и продемонстрировать их на некоторых примерах '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
