Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В этом случа~ результирующая амплитуда перехода з <11з> есть сумма амплитуд, соответствующих разным способам перехода: г 8 Мсье лраеа~ю ( Т ~з ) = ~ч.", ( ~ ~ з ), (8.2) ° О (индекс 1 фиксирует Рй способ перехода). чгремье,ребель Второе правило. Предположим (рис. 8.1, б), что имеется несколько конечных состояний (~ь ~м -. ~' ".) и рассматривается вероятность перехода Е в любое из этих состояний, безразлично какое. В этом случае результирую- УчеаееежепФ""' щая вероятность перехода 1<11з>1' есть сумма вероятностей переходов в различные конечные состояния: 1(У ~ )~ =Х((У ~ з)~Р.
(8.3) Третье правило. Предположим (рис. 8.1, в), что переход з-э-~ совершается через некоторое промежуточное состояние (о-состояние). В этом случае вводят в рассмотрение амплитуды последовательных переходов з-+-о и о-+1 (соответственно амплитуды <о1з> и <1!о>); результирующая амплитуда есть произведение указанных амплитуд: (з ~ з)=(з' (о)( 18). (8.4) Иначе говоря, если переход разбивается па последова- 85 тельные этапы, то амплитуда перехода выражается через произведение ам~плитуд отдельных этапов. Заметггы, что в (8.4) следует чптагь запись справа налево — тогда обозначения состояний окажутся в правильной последовательности: сначала начальное состояние, затем промежуточнос и наконец конечное. Четвертое ггравило, Предположим (рис. 8.1,г), что имеются два независимых мнкрообъекта.
Пусть один микрообъскт совершает переход з — 1" и одновременно другой микрообъект совершает переход 5 — »-г. В этом случае результирующая амплитуда перехода для системы микрообъектов выражается через произведение амплитуд перехода для отдельных микрообъектов: (у'Р)з5')=(у' ) з) с'15).
(8.8) Отметим, что второе, третье и чствертос правила представляются вполне естествсннымн, поскольку с учетом (8.1) онн выражают хорошо известные в теории вероятностей теоремы сложения (второе правило) и умножения (третье и четвертое правила) вероятностей. Необычным представляется здесь первое правило, которое может, быть названо правилом сложения амплитуд. В известном смысле именно на правиле сложения амплитуд строится вся система квантовомеханических представлений. Различимые и неразличимые альтернативы; интерференция амплитуд.
Предположим, что переход микрообьекта из начального состояния в конечное (переход з-»1) совершается всякий раз через одно из промежуточных состояний (о, ом ..., оь ...) (рис. 8.1, д). В этом случае тот или иной способ перехода з-»1 (та нли иная альтернатива) определяется «участием» в переходе соответствующего промежуточного состояния. Рассмотрим два разных случая. Пусть в первом случае известно, через какое именно промежуточное состояние произошел копкретньш переход. Это есть случай физически различимых альтернатив. Для его описания надо объединить второе и третье правила.
В итоге результирующая вероятность перехода будет иметь вид 1(у ( з >1г т, ( (у'1е.)(ог 1 з >1». (8 б) Может возникнуть вопрос: причем здесь второе правило, коль скоро в нем шла речь о разных конечных состоя- 86 ««««ях7 Дело в тоы, что если известно, в каком именно промежуточном состоянии побывал микрообъект, то указанное состояпне может рассматриваться как конечное по отношению к первому этапу перехода. Мы фиксируем микрообъект в этом состоянии и тем самь«м как бы временно прекращаем опыт.
Один микрообъект будет зафиксирован в одном состоянии, другие — в других состояниях, так что фактически имеет место ситуация с разными конечными состояниями. Подчеркнем, что различимость альтернатив связана с существованием именно разнь«х конечных состояний (даже если в данном опыте они играют роль промежуточных состояний). Во втором случае пам неизвестно, через какое именно промежуточное состояние произошел конкретный переход.
Это есть случай физически неразличимых альтернатив. Для описания данного случая следует объединить первое и третье правила. В итоге результирующая ампли гуда перехода будет иметь вид (8.7) Результат (8.7) является специфически квацтовомеханическим. !(огда оп имеет место, говорят об интерференции ал«плитуд переходов через разные промежуточные состояния. Подчеркнем, что интерференция амплитуд возможна лишь при условии физической неразличимости отвечающих данно;лу опыту альтернатив (микрообъект не фиксируется в промежуточном состоянии, поэтому мы имеем здесь дело фактически только с однил«конечным состоянием).
Переходя в (8.7) от амплитуды к вероятности перехода, получаем ~ <7' ~ >Р=Х~<У!о,><о« ~ з>Р. (8.8) Различие между случаями физически различимых и ««еразличимых альтернатив хорошо видно из сравнения вС- роятностей (8.6) и (8.8). Вели в первом случае складываются вероятности альтернатив, то во втором — амплптуды вероятностей альтернатив. Переходы с участием двух микрообъектов. Представляет интерес несколько расширить четвертое правило, относящееся к одновременным переходам двух микро- объектов.
Предположим (рис. 8.2,а), что один микро- 87 МииКроОбъек, совершающий переход з — »1', назовем для краткости з-обьсктом, а микрообъскт, совершающий пере: од 5 — +1', - -5-объектом. Предположим, что 5-обьекпя используются для того, чтобы «проконтролировать» («подсмотреть»), через какое именно промсгкуточнос состояние происходит в каждом конкретном случае переход э-объекта. Для осунгествления такого «контроля» следует ввсстп столько конечных Р-состояний, сколько имеется «контролируемых» промежуточных о-состояний (обозначим Рь Гм ...
!и ...), и устроить так, чтобы 5-объект, проходящий, например, через о,-состояние, переходил именно в Гг-состояние. Схематически это изображено на рис. 8.2,г. Здесь каждое промежуточное состояние оказыгается как бы «привязанным» к определенному коне щому Г-состоянию. Остается лишь проследить за тем, в каком конечном состоянии будет обнаружен в том или ином случае осуществляющий «контроль» 5-объект. Если ранее (в отсутствие 5-обьектов) альтернативы были нсразличимыхщ, так что было неизвестно, через какое именно промежуточное состояние произошел в каждом конкретном случае переход з-объекта, то теперь разные альтернативы становятся физически различимыми: обнаруженный в том лли ином Р-состоянии 5-объскт однозначно указывает, через какое именно промежуточнос состояние совершился данный переход. Согласно сделанным ранее замечаниям, использование 5-обьсктов для различения промежуточных состояний должно приводить к разрушению ннтсрфсренцин амплитуд.
Убедимся в этом. Если в Р;состояние попадает только тот 5-объект, который проходит через промежуточное о;-состояние, то, следовательно, <Р;1гм> =0 при й»ьй Используя (8.11), получаем отсюда < уР,)85'>= =<.У!в .- <' !!з <~',~~, ° <е;!5 . (8.12) Поскольку Госостояпия — это разли шые конечные состояния, то согласно второму правилу получаем для результпруюцГей вероятности перехода «контролнруемого» а-объскта выражение 89 Гели далее допустить, что для всех ( амплитуда <Р;~5> одинакова (что на практике часто имеет место), то, обозначив эту амплитуду для краткости через а, перепишем результат (8.13) в виде ( у ! з )з=(а)з ~чз~! у !р.) р.)з !«.
(8 14) 1 Итак, если в отсутствис 5-объектов (в отсутствие «контроля») имел место результат (8.8), то теперь имеет место результат (8.14), Легко видеть, что он соответствует результату (8.6) — налицо разрушение интерференции амплитуд при установлении «контроля» за промежуточными состояниями, т. е. при превращении физически неразличимых альтернатив в различимые альтернативы. й 9. АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ (ДЕМОНСТРАЦИЯ ОСНОВНЫХ ПРИНЦИПОВ) Поведение микрообъекта в интерферометре и интерференция амплитуд. Используя понятие амплитуды перехода и правила работы с амплитудами, вернемся к обсуждавшемуся в й 7 опыту !. Электрон выходит из начального з-состояния, проходит через экран с щелями А и В, каждой нз которых отвечает свое промежуточное состояние (А-состояние и В-состоянне соответственно) и, наконец, регистрируется в конечном х-состоянии, т.
е. в точке с координатой х на экране-детекторе. Пусть щель А открыта, а щель В закрыта. В этом случае <х!з>л=-<х!А><А)а>. Вероятность перехода з -х, т. е. вероятность регистрации электрона в точке х экрана-дстектора, имеет вид ! л! ) !з=)(х)А)(А(з !з, (8.1) Обозначим эту вероятность через 7~(х); напомним, что именно так мы обозначали распределение попаданий электронов на экране-детекторе в опыте ! из ч 7 прн условия, что щель А открыта, а щель В закрыта.
Для вероятности регистрации электрона в точке х в случае от- 90 крытой щели В и закрытой щели А можем записать аналогичное выражение: )(х(з)в)»= )(х(В)(В!з))»=1»(х). (92) Теперь откроем обе щели. 11оскольку невозможно указать, черсз какую именно щель прошел тот или иной электрон (альтернативы неразличимы), то, следовательно, (х!з)=(х(А)(А(з)+(х!В) 'В!з). (9.3) Обозначая вероятность перехода )(х)з>!' через 1(х) (именно так обозначалась в 5 7 наблюдаемая при обеих открытых щелях интерференциопная кривая,на экране- детекторе) и учитывая (9.!) и (9.2), получаем отсюда 1 (х) =- ) ( х ) А ) ( А ) з ) + ( х ! В ) ( В ! з ) !'= =!~(х)+1»(х)+(х)ю)л х~5)в+ + ( х ~ з ) л ( х ! з )в. (9.4) Легко видеть, что результирующая вероятность перехода нс равна сумме вероятностей переходов через щели А и В(1(х) Ф!,(х)+1з(х)!; кроме слагаемых 1~(х) и 1»(х) в правой части выражения (9.4) содержатся два дополнительных слагаемых, обусловленные интерференцией амплитуд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
