Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Решения последней системы имеют вид С,+С,=аехр[1(Ео — А) 1/й]; Сг — С,= Ь ехр [т (Е, + А) г/й]. Отсюда получаем: С (1)= —" Р[1(Ео — А)т/й]+ — Р[1(Ео+А)1/й], 2 2 (13.9а) Сг(1)= ~ ехр[с'(Ео — А)т/й] — — ехр[1(Е,+А)1/й] 2 2 (13.9б) Предположим, что при 1=0 микрообъект находится в состоянии <1). Тогда Сг(0) =1 и Сг(0) =О, откуда следует а=Ь=!. В этом случае выражения (13.9) принимают вид С, (г) = ехр (/Ео//й) соэ (А1/й), (13.10а) С,(1) = — техр(1Ео1/й) з(п (А1/й). (13.10б) Из этих выражений видно, что вероятность микрообъекту остаться к моменту времени 1 в состоянии <1] равна ] С, (1) ]о=сонг(А//й), (13.11а) 141 а вероятность ему оказаться в момент времени 1 в состоянии <2) равна ~ С (!))з=з(пи(А!!6).
(13.11б) Полезно сравнить (13.5) и (13.11). Если в первом случае вероятности )С~)и и ) Си(и не меняются со временем, то во втором случае налицо определенная зависимость этих вероятностей от времени. Определяемые соотношениями (13.11) вероятности !и 131г ) С~ (!) (' и / Сз(!) ) и .поЙг113 казаны в зависимости от,временн на рис. ! 3.1. Диагонализация га- 4~/~ мильтоновой матрицы.
и тГ Полученные :в предыРис. 13.1 душем пункте выражения для С~+ Сз и С~ — Си сравним с (13А). Сравнение позволяет заключить, что амплитуды С~+Си и С~ — Си описывают стациона~рные состояния микрообъекта с энергиямм, равными соответственно Е,— А и Е,+А, Далее ~введем новую пару базисных состояний: <1! ==(<1 ~ — <2 ~ ) 'г' 2 (13.12) <П! = — (<1(+<2!) )/2 (13.13) Отсюда видно, что переход от базисных состояний <1~ и <2( к базисным состояниям <!( и <П( соответствует переходу от амплитуд С~ и Си к амплитудам (С~ — Си) Е2 и (С,+Си)/~2, Поскольку последние описывают стационарные состояния микрообъекта, то, следовательно, рассматриваемый переход связан с диагонализацией гамиль- 142 1легко убедиться, что если состояния <1( и <2~ удовлетворяют условию ортонормировкн (10.8), то и состояния <! ~ и <П~ удовлетворяют этому условию).
Используя (13.12), перепишем (13.1) в виде С,— С,, 1~ + С1+С, <11 ( )~ 2 г'2 тоновой матрицы: Ео — А Ео+А О Итак, пусть имеется некий микрообъект в неких определенных внешних условиях. Выбирается некоторая система базисных состояний. При этом обычно стараются выбрать такие базисные состояния, которые имеют наглядный физический смысл (как это делалось, например, в случаях с молекулой аммиака, молекулярным ионом водорода, молекулой водорода).
Выбранные на основе таких соображений базисные состояния в общем случае приводят к гамильтоповой матрице с отличными от нуля недиагональными элементами (микрообъект совершает переходы между базисиыми состояниями). Далее можно перейти к новой системе базисных состояний, для которых гамильтонова матрица будет диагональной. Новые базисные состояния описывают стационарные состояния микрообъекта; элементы диагонализированной гамильтоновой матрицы суть значения энергии этих состояний. Общий случай. В общем случае недиагональные элементы гамильтоновой матрицы отличны от нуля и при этом сняты упрощающие условия (13.6) и (13.7). В этом случае необходимо решать не упрощенную систему уравнений (13.8), а наиболее общую для микрообъектов с двумя базнсными состояниями систему уравнений (13.2). Предоставляем читателю самому при желании выполнить решение системы (13.2), предположив для простоты, что гамильтонова матрица не зависит от времени*.
Здесь же ограничимся указанием на некоторые результаты. Энергия стационарных состояний микрообъекта определяется выражением Е~ и= " вт 1 1 " тт) +О 77ы(1314) Отвечающие этим значениям энергии базисные состояния <1( и <П~ выражаются через определяющие систему (13.2) базисные состояния <1( и <2) следующим об- * Такое решение выполняется, в частности, в [31. 143 разом; < 1| =а,<1 ! +Ь,(2 1, <.11 ~ =аз С 1 ~ +Ьг<.
2 ~, причем (а, (г+) Ь, (г=) аг1г+(Ьг(»=1, а,(Ь,=Н, ((Е~ — Нп), аг/Ьг= НггЯЕп — Нгг). (13.15) (13.16) Легко видеть, что если Нн=Н„=Ег и Н1г=Нг1= = — А, то результат (13.14) дает Еь в=Ее-+А, суперпозиции (13.15) превращаются в (13.12) — одним словом, мы приходим к подробно обсуждавшемуся упрощенному случаю недиагональной гамильтоновой матрицы.
Если же Нм= Нгг=0, то результат (13.14) дает Ег=Нн, Еа=Нгг— мы приходим к случаю диагональной гамильтоновой матрицы (<1)=<1), <П)=<2)). Пример с молекулой аммиака. Напомним, что базисные состояния <1) и <2( молекулы аммиака выбирались из наглядных физических соображений: они отвечают положениям атома азота соответственно с одной и с другой стороны от Н-плоскости.
Поскольку эти положения симметричны, то можно принять Ни= Нгг=Еа Полагая, кроме того, что элементы Нгг и Н„вещественны (Нм=Нм=— — А), что, как оказывается, не нарушает в данном случае общности рассмотрения, приходим к ситуации, которой отвечает упрощенная система уравнений (13.8). Отсюда видно, что энергетические уровни молекулы суть Е,+А и Ег — А. Подчеркнем, что если бы между состояниями <1( и <2) не происходили переходы, то тогда бы вместо уровней Е,+А и Е,— А существовал один единственный уровень Ео.
Он был бы двукратно вырожден, поскольку ему отвечали бы два состояния. Можно сказать, что переходам между состояниями <1! н <2) (связанным с «проталкиванием» атома азота сквозь Н-плоскость) соответствует снятие вырождения, иначе говоря, «расщепление» уровня Ег на два уровня: Ег+А и Ео — А Далее предположим, что молекула аммиака помещена в статическое электрическое поле, напряженность которого Ю направлена перпендикулярно Н-плоскости. Обозначая через г( величину электрического дипольного !44 момента молекулы, представим Ни= Ео+ ~го Нм = Ею (13.171 Теперь положения атома азота с разных сторон от Н-плоскости уже не являются физически симметричными (НОФНоо). Полагая по-прежнему Н„=Н„= — А, запишем систему уравнений (13.2) для рассматриваемого случая: Рй Со =(Ео+М) С, — АСо, Ж (13.18) — 1й — С,= — АС,+ (Е, — Ао() Со.
Ж гоы Рис. 13.2 Используя (13.14), получаем следующие выражения для уровней энергии молекулы в статическом электрическом поле: Е1=Ео+~/Аз+8'<Р Ем=Ею — УАо+8~гР (13 19) На рис. 13.2 приведен качественный вид зависимости уровней энергии молекулы аммиака от величины напряженности поля. Легко видеть, что эффект «переброса» атома азота через Н-плоскость важен при относительно малых напряженностях поля; в сильных полях, когда уровни расходятся значительно, этот эффект становится несущественным. й 14. ЭЛЕКТРОН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Проекция электронного спинового момента на произвольное направление может, как известно, принимать только два значения ( — й/2 и й/2).
Это позволяет рас- 145 — 1'й — = — Рв,со — И вЂ” =1ьв,см (14.1) лс, . Фс, ч'1 Ж Гамильтонова матрица электрона имеет вид [ — ~а, ч] (14.2) Второй случай: магнитное поле имеет произвольное направление. Прежде всего отметим, что независимо от направления поля (иначе говоря, независимо от выбора направления координатных осей) уровни энергии электрона определяются выражениями — рВ и иВ. Если в предыдущем случае мы должны были принять В=В„ то теперь надо принять В= (В '+В„э+В,т) В. Таким образом, Е, — р, )Г В„+ Вр + В„Е„= ~4 В„+ Вк+ В,.
(14.3) 146 сматривать электрон как микрообъект с двумя базисными состояниями. Задача об электроне в магнитном поле представляет большой ~практический интерес. Кроме того, эта задача весьма интересна и в методическом отношении: анализ ее дает возможность на физически наглядном примере познакомиться с общей спецификой систем с двумя базисными,состояниями,,или, иначе говоря, двухуровневых систем, а также с общим подходом к рассмотрению таких систем. Гамильтонова матрица для электрона в магнитном поле.
Зафиксируем направления координатных осей (в частности, направление оси г). В качестве базисных состояний <1) и <2! выберем состояния, в которых проекции спина электрона на ось з равны соответственно 612 и — й/2. Включим статическое магнитное поле (величину магнитной индукции обозначим через В) и рассмотрим два случая. Первый случай: магнитное поле направлено по оси г (В,= Вч ††О). В этом случае базисные состояния < 1~ и <2) являются стационарными; состоянию <1~ соответствУет энеРгиЯ вЂ” 1гВь а состоапию <2) — энеРгиа пВ, (через р обозначена величина магнитного момента электрона).
Амплитуды С, и Сз удовлетворяют двум взаимно независимым уравнениям типа (13.3): Отметим, что Е~ = — Еп. (14.4) Далее воспользуемся соотношением (13.14). Учитывая (14.4), можем полагать Ни+На,— — О. В результате, используя (14.3) и (12.9), получаем 1" -"-)'+]Н, [з=Р(В.+В„+В.). (14.5) (14.6) Легко видеть, что при В„=В„=О матрица (14.6) превращается, как и следовало ожидать, в матрицу (14.2).
Используя (14.6), выпишем систему уравнений (13.2) для рассматриваемого случая: — 1л — С, = — р [В,С, +( — 1В„) С,], (14.7) — гй — Сз= — р[(В„+~В„) С,— В,Сз]. М В заключение отметим, что хотя все рассуждения относились к случаю, когда гамильтонова матрица не зависит от времени, однако результаты (14.6) и (14.7) справедливы и тогда, когда магнитное поле изменяется со временем. Проекционные амплитуды. Пусть направление магнитного поля определяется полярным углом 0 и азимутальным углом у (рис.
14.1). Предположим, что спин электрона направлен по полю; следовательно, электрон ~находится в стационарном состоянии <1[ с энергией Е~= — нВ. Согласно (13.15), состояние <1~ представим в виде суперпозиции: <'1! =а,<. 1 ) +Ь,<. 2 ), 147 (14.8) Будем полагать, что элементы гамильтоновой матрицы линейны по полю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
