vector (1184634), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Даны векторы a  i  2 j  3k , b  2i  j  4k . Найти:а) векторы c = а + b;б) | a  b | ,d = а – b; р = 3а + 2b; q = 5а – 4b;| 5a  4b | ;в) направляющие косинусы вектора а.№25. Три силы M , N и P , приложенные в одной точке, имеют взаимноперпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующейQ , если известно, что | M |  2 H , | N |  10 H , | P |  11H .№26. Данывекторыa1  {2, 4,  6} ,a2  {1,  2, 3},a3  {4, 8,  12} ,a4  {6, 0, 0} , a5  {0,  5, 0} , a6  {0, 0, 2} , a7  {0, 1, 3}, a8  {2, 0,  1} ,a9  {3,  4, 0}. Какие из этих векторов коллинеарны (и как направлены: водну или в противоположные стороны); параллельны координатным осям;параллельны координатным плоскостям?№27. Установить линейную зависимость (независимость) следующих векторов:а) a  {1,  2, 3}, b  {0, 3, 4} , c  {1,  5,  1} ;б) a1  i , b1  i  j, c1  2k ;в) a2  {1, 2} , b2  {0, 3} , c2  {2,  4};г) a3  {1,  2, 3} , b3  {0, 2, 0} , c3  {0,  4, 0} , d3  {5, 1, 3} .№28.

Данытривектораp  {3,  2, 1},q  {1, 1,  2} ,Разложить вектор c  {11,  6, 5} по базису p, q, r.55r  {2, 1,  3} .№29. Даны три вектора a  {3,  1}, b  {1,  2} , c  {1, 7} . Определитьразложение вектора р = а + b + с по базису а, b.№30. Найти длину вектора a  20i  30 j  60k и его направляющие косинусы.№31. Найти длину вектора a  mi  (m  1) j  m(m  1)k .№32. Вычислить модуль вектора a  i  2 j  k 4(i  2 j )  3kи найти его5направляющие косинусы.№33. Даны вершины A(2, 2, 2) , B(6, 5, 0) , C (0, 3, 8) параллелограммаABCD.

Найти координаты вершины D.№34. Проверить, что четыре точки A(3,  1, 2) , B(1, 2,  1) , C (1, 1,  3) ,D(3,  5, 3) служат вершинами трапеции.№35. Отрезок АВ, где A(3,  5, 2) , B(5,  3, 1) точками С и D разделен на триравные части. Найти координаты точек С и D.56§2.5. Умножение векторовI.

Умножение двух векторовСуществует два различных способа умножения двух векторов: скалярноепроизведение и векторное. Результатом скалярного произведения являетсячисло, результатом векторного – вектор.Определение. Скалярным произведением векторов а и b называетсячисло, равное произведению их длин на косинус угла между ними.Обозначается a  b, (a b), (a, b) .a  b  | a |  | b | cos  ,(18)где   (a, b) – угол между векторами а и b.Свойства скалярного произведения (a, b)  (b, a) . (a ,(b  c))  (a, b)  (a, c) . (a, b)   (a, b)  (a, b) . (a, b)  0 , если векторы а и b перпендикулярны,в частности, (a, b)  0 , если хотя бы один векторов-сомножителей нулевой.Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов:a  b  (a, b)  0 .(19) Скалярный квадрат вектора:a 2  a  a  | a |2 .(20)Замечание 4. Полезно обратить внимание на любопытное свойствоквадрата вектора:a 2  | a |2  | a |57a 2  a,a 2  a .Если заданы координаты векторов a  {ax , a y , az } и b  {bx , by , bz } , тоих скалярное произведение можно вычислить по формуле:a  b  axbx  a y by  az bz .(21)В частности, a  a  ax2  a 2y  az2 , откуда с учетом формулы (20) получаетсяформула (11) для вычисления модуля вектора.Замечание 5.

Формула (21) верна только в прямоугольной декартовойсистеме координат. Если базисные векторы не являются единичными и взаимноперпендикулярными, запись скалярного произведения векторов через ихкоординаты будет выглядеть иначе.Угол между векторами а и b можно найти при помощи формулы (18),вычислив их модули и скалярное произведение по формулам (11) и (21):cos  a b|a ||b|  arccosa b.|a ||b|(22)Проекция вектора на осьС понятием скалярного произведения связано понятие ортогональнойпроекции вектора. Различают векторную и скалярную проекцию вектора навектор или на ось вектора.ВПусть дан вектор a  ABаи прямая l (рис.

27). ОпустимАперпендикуляры из точек А и Вна эту прямую. Получим точкиА' и В'. ВекторвекторнаяAB естьА'еортогональнаяпроекция вектора а на прямую илиB'Пре аlРис. 27.на вектор е, направленный вдоль этой прямой. Обозначается Пре a или Пре a .58Скалярной проекцией вектора a  AB на ось вектора е является длинавектора AB , взятая со знаком плюс, если его направление совпадает снаправлением вектора е, и со знаком минус в противном случае. ОбозначаетсяПре a . Из рис. 27 видно, чтоПре a  | a | cos  ,(23)где φ – угол наклона вектора а к оси вектора е.Если a e , то, очевидно, Пре a   | a | и Пре a  a ; если a  e , тоПре a  0 и Пре a  0 . В остальных случаях из формулы (23) получаемПре a (a , e )|e|иПрe a (a , e )| e |2e.(24)Простейшим примером скалярной проекции вектора на ось являютсякоординаты вектора в базисе; они не случайно называются проекциями накоординатные оси, т.к.

по построению полностью удовлетворяют определениюэтого понятия.Ниже будет использоваться понятие ориентированной тройки векторов.Определение. Три вектора образуют тройку, если указано, какой изних считается первым, какой – вторым и какой – третьим.Определение.векторовa, b, cТройкаcназываетсяправой, если из конца вектора спротив часовой стрелки, и левой –аbкратчайший поворот от вектора а квектору b виден совершающимсяcаправая тройкаесли по часовой стрелке (см.

рис. 28).bлевая тройкаРис. 28.59Замечание 6. Если ортыi , j, kосей прямоугольной декартовойсистемы координат образуют правую тройку, то эта система координатназывается правой, если i , j , k – левая тройка, то и система координат – левая.Определение. Векторным произведением векторов а и b называетсявектор с, который удовлетворяет следующим трем условиям:1) вектор с перпердикулярен каждому сомножителюc  a , c  b;2) вектор с имеет длину |c|  | a |  | b | sin  ,где   (a , b)  угол между векторами а и b;3) тройка векторов a, b, c  правая.(25)Обозначается a  b, [a b], [a, b] .Геометрическийсмыслвекторного[a, b]произведения. Модуль векторного произведениявекторов а и b равен площади параллелограмма,S = | a×b |bпостроенного на векторах а и b как на сторонах(рис.

29):SаРис. 29.S  ab .(26)Свойства векторного произведения Антикоммутативность: a  b  b  a . Дистрибутивность: a  (b  c)  a  b  a  c . Ассоциативность: [ a  b]   [a  b]  [a   b] . Если векторы а и b коллинеарны, то a  b  0 , в том числе:a  a  0.(27)Замечание 7. Обратите внимание: a  a  a 2 . (Почему?)60Если заданы координаты векторов a  {ax , a y , az } и b  {bx , by , bz } вдекартовой прямоугольной системе координат, то координаты их векторногопроизведения находятся по формуле:ijka  b  axbxayaz  ibybzayazbybzjaxazbxbzkaxaybxby,(28)где i , j , k – орты осей правой прямоугольной декартовой системы координат, аопределитель разложен по первой строке (см. гл.1).II.

Умножение трех векторовДля умножения трех векторов обычно рассматривают два наиболеераспространенных способа: смешанное произведение и двойное векторноепроизведение. Результат смешанного произведения – число, результатдвойного векторного – вектор.Определение. Смешанным произведением трех векторов а, b и сназывается число, составленное следующим образом: (a  b)  c .Обозначается a bc  (a, b, c) .Геометрическийпроизведения.смыслМодульсмешанногосмешанногопроизведения трех векторов а, b и с численносbравен объему параллелепипеда, построенногона этих векторах как на сторонах (рис. 30):Vпар  да  (a, b, с) .аРис. 30.(29)И, как следствие, объем пирамиды, образованной теми же векторами (рис.30),11Vпир  Vпар  да  (a, b, с) .6661(30)Свойства смешанного произведения (a, b, c)  (a  b)  c  a  (b  c) . (a, b, c)  (c, a, b)  (b, c, a) (циклические перестановки). (a, b, c)  (b, a, c)  (c, b, a)  (a, c, b) (два вектора меняются местами). (a, b, c)  0 , если векторы a, b, c компланарны,в частности, (a, b, c)  0 , если хотя бы один из сомножителей есть нулевойвектор или два из векторов-сомножителей коллинеарны;Необходимое и достаточное условие компланарности векторов a, b, c :(a, b, c)  0a, b, cкомпланарны.(31)Если заданы координаты векторов a  {ax , a y , az }, b  {bx , by , bz } иc  {cx , c y , cz } в декартовой прямоугольной системе координат, то ихсмешанное произведение можно вычислить по формуле:axayaz(a , b, c )  bxbybz .cxcycz(32)Знак смешанного произведения векторов связан с их ориентацией:(a, b, c)  0a, b, c – правая тройка,(a, b, c)  0a, b, c – левая тройка.Определение.

Двойное векторное произведение трех векторов а,b и с – это вектор, получаемый следующим образом: (a  b)  c или a  (b  c) .Двойное векторное произведение может быть записано в виде формул(a  b)  c  b(a  c)  a (b  c) ;a  (b  c)  b(a  c)  c(a  b) ,и раскрывается по правилу: средний вектор на скалярное произведениеоставшихся минус крайний вектор в скобке на скалярное произведениеоставшихся.62ПРИМЕР 2.5.1. Чтовыражаютсобойпредставленныенижепроизведения: число или вектор? (Скобки указывают обычную в элементарнойалгебре последовательность действий).а) a  (b  c ) ;б) (a  b)  c ;г) ((a  b)  c)  d ;в) a  (b  (c   )) , где γ – число;д) (((a  b)  c)  d )  m .Решение.

Из приведенных выше определений следует, что1) произведение числа на вектор или вектора на число есть вектор;2) скалярное произведение двух векторов есть число;3) векторное произведение двух векторов есть вектор;4) смешанное произведение трех векторов есть число;5) двойное векторное произведение трех векторов есть вектор.Эти высказывания и будут использованы ниже.а) Скалярное произведение b  c есть число; обозначим его  : b  c   ,тогда a   есть вектор, т.е. a  (b  c ) – вектор.б) Аналогично a  b   – число,   c – вектор, значит, (a  b)  c – вектор.в) c    p – вектор, b  p  q – вектор, a  q – число, т.е.

a  (b  (c   )) –число.г) a  b  p – вектор, p  c   – число,   d – вектор, т.е. ((a  b)  c)  d –вектор.д) a  b   – число,   c  p – вектор, p  d   – число,   m – вектор,следовательно, (((a  b)  c)  d )  m – вектор. ■ПРИМЕР 2.5.2. Даны векторыa  {1, 0,  3} ,b  {4,  3, 2} ,c  {0,  1, 0}. Найти:а) a  b ,| a  b |;г) (a  b)  c ,б) a  b ,| (a  b)  c | ;| a  b |;в) (a, b, c ) ,д) a  (b  c ) ,| (a, b, c) | ;| a  (b  c ) | .Решение. а) По формуле (21) находим скалярное произведениеa  b  1 4  0  (3)  (3)  2  10 ;63| a  b |  | 10 |  10 по определению модуля отрицательного числа.б) Чтобы найти векторное произведение, используем сначала формулу(28) и затем правило вычисления определителя второго порядка (формула (1)главы 1):ij k0 31 31 0a  b  1 0 3  ijk 9i  10 j  3k.3 24 24 34 3 2Модуль полученного вектора найдем по формуле (11):| a  b |  (9)2  (10)2  32  190 .в) Смешанное произведение находим по формуле (32), при этомопределитель вычисляем при помощи разложения по третьей строке:1 0 31 3(a, b, c )  4 3 2   (1) 10 ;4 20 1 0| (a, b, c) | 10 .г) Воспользовавшись уже найденным в б) векторным произведениемa  b , получаем:ijki k(a  b)  c  9 10 3   (1) 3i  9k9 301 0(здесь определитель третьего порядка разложен по третьей строке, как в в)).| (a  b)  c | 32  92  90  3 10 .д) Сначала найдем векторное произведениеij ki kb  c  4 3 2   (1) 2i  4k .4 20 1 0Затемi j k1 3a  ( b  c )  1 0 3   j 10 j2 42 0 464(здесь определитель вычислен путем разложения по второму столбцу).| a  (b  c) |  | 10 j |  | 10 |  | j |  10 .Совпадение значений | a  b | , | (a, b, c) | и | a  (b  c ) | случайно.NB! a  (b  c)  (a  b)  c , как видно из решения г) и д).

■ПРИМЕР 2.5.3. Даны векторыc  {0,  1, 0}. Найти:Решение. Чтобыа) (2a  b)  c ;найтиa  {1, 0,  3} ,б) c  (2a  b) ;требуемыеb  {4,  3, 2} ,в) (c,(2a  b), a) .произведения,определимпредварительно координаты вектора 2a  b :2a  b  2  {1, 0,  3}  {4,  3, 2}  {6, 3,  8} .а) Скалярное произведение находим по формуле (21):(2a  b)  c  6  0  3  (1)  (8)  0  3 .б) Векторное произведение находим по формуле (28):ij kikc  (2a  b)  0 1 0  (1) 8i  6 k .6 8 6 3 8(Определитель третьего порядка был разложен по второй строке).в) Смешанное произведение находим по формуле (32), при этомопределитель вычисляем при помощи разложения по первой строке:0 1 06 8(c,(2a  b), a )  6 3 8   (1) 10 . ■1 3 1 0 3ПРИМЕР 2.5.4.

Характеристики

Список файлов лекций