vector (1184634), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда395cos 215cos 2 250cos 21 cos 2 / 5, cos 1/ 5,cos 0. ■ПРИМЕР 2.4.10. Даны проекции силыFна координатные оси:F {4, 4, 4 2} . Найти величину силы F и направление ее действия.Решение. Величина силы F есть| F | 42 42 (4 2)2 16 16 32 8 .Направление вектора задают его направляющие косинусы, которыеопределим по формулам (13):4 8cos , 4 8cos , 4 2 8cos .Откудаcos 1/ 2, cos 1/ 2 , cos 2 / 2 .Следовательно, вектор силы F образует с координатными осями Ох, Оу, Оzуглы 60, 60 , 135 соответственно. ■ПРИМЕР 2.4.11. Проверить коллинеарность векторов a {2, 6, 8} иb {1, 3, 4}. Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, какони направлены – в одну или в противоположные стороны.Решение.
Проверяем условие коллинеарности (8):2 6 8 2 ,1 34следовательно, векторы а и b коллинеарны, причем a 2b , значит, вектор адлиннее вектора b в два раза, направлены эти векторы противоположно( 2 0 ). ■40ПРИМЕР 2.4.12. Найтиортвектораa AB ,еслиA(1, 2, 3) ,B(0, 1, 2) .Решение. Для решения задачи применим формулу (1). Предварительнонаходим координаты вектора a AB {0 1, 1 2, 2 3} {1, 1, 5} и егомодуль | a | | AB | 12 (1)2 (5)2 27 3 3 .Тогда орт вектора а есть векторa a {1, 1, 5} 115 33 5 3,,, ,.
■|a|9993 3333333 ПРИМЕР 2.4.13. а) Данывекторыa 2i 3 j k , b j k , c i ,представленные в виде разложения по базису i, j, k. Записать каждый извекторов в координатной форме.б) Данывекторыa {1, 2, 1/ 2}, b {0, 1, 2}, c {1, 0, 0} ,d {0, 0, 1}. Найти разложение каждого из этих векторов по координатномубазису i, j, k.Решение. а) Коэффициентыприi, j, kиестькоординатысоответствующего вектора (формулы (3-4)):a {2, 3, 1}, b {0, 1, 1}, c {1, 0, 0} .б) На основании формул (3-4) имеемa i 2 j k / 2, b j 2k , c i , d k .
■ПРИМЕР 2.4.14. Данывекторыa1 {4, 0}, a2 {0, 2},a3 {4, 1} на плоскости. Какие из них параллельны координатным осям?Решение. Вторая координата вектора а1 равна нулю; это означает, чтокоординаты по оси Оу его начала и конца совпадают (см. рис. 20а), т.е. вектора1перпендикуляреносиОу и, следовательно, параллелен оси Ох.Параллельность вектора а1 оси Ох следует и из его коллинеарности базисному41вектору i {1, 0}, т.к. а1 = –4i (см. формулу (7)). Вектор а2 = 2j, следовательно,а2 и j коллинеарны, т.е.
вектор а2 параллелен оси Оу (см. рис. 20б). Вектор а3не имеет нулевых координат, т.е. не перпендикулярен ни оси Ох, ни оси Оу,значит, и не параллелен ни одной из осей координат (см. рис. 20в). ■уМNуМ , yNjа1О i 1 xNxMa1xхРис. 20а.ууyQLyLа2a2ya3yyKyPKjО i 1QxK , xLPjО i 1 xPхРис. 20б.а3a3xxQхРис. 20в.ПРИМЕР 2.4.15. Даны векторы в пространствеb1 {2, 0, 0}, b2 {0, 4, 0}, b3 {4, 0, 1}, b4 {0, 1, 3}.Какие из них параллельны координатным осям; координатным плоскостям?Решение. Вектор b1 и вектор i {1, 0, 0} коллинеарны, т.к.
b1 = –2i (см. формулу (7)) т.е. вектор b1 параллелен оси Ох; вектор b2 = 4j,следовательно, b2 и j коллинеарны, и вектор b2 параллелен оси Оу. Далее,вторая координата вектора b3 равна нулю, т.е. он перпендикулярен оси Оу, ипотому параллелен плоскости хOz. Аналогично вектор b4 перпендикулярен осиОх и параллелен плоскости уOz. ■42Выводы из примеров 2.4.14-2.4.15:1) Еслиоднаизкоординатвектораравнанулю,товекторперпендикулярен соответствующей оси.2) Если вектор имеет только одну отличную от нуля координату, то онпараллелен соответствующей координатной оси.ПРИМЕР 2.4.16. Пусть p и q – любые неколлинеарные векторы.Представить любой третий вектор а, лежащий в плоскости векторов p и q, ввиде a p q .Решение.
По следствию теоремы о линейной зависимости системвекторов (пункт 2)) векторы p и q образуют базис на задаваемой имиплоскости. Числа α и β называются координатами вектора а в этом базисе.Приведем векторы а, р, q к общему началу О (рис. 21). Через конецвектора а (точка А) проведем две прямые ААq параллельно вектору р и ААрпараллельно вектору q.По правилу параллелограмма получимa OA OAp OAq .(14)Векторы р и ОАр коллинеарны (лежат на одной прямой), поэтомуААрOAp p .аpОсуществует число α такое, что(15)АqqАналогичноOAq q .(16)Из равенств (14-16) имеем a p q .Требуемое разложение получено.Рис.
21.Дополнительно покажем, что числа α и β определяются однозначно.43Пустьсуществуютдваразличныхразложения:a p qиa ' p ' q , причем, например, ' . Вычитая почленно одно равенствоиз другого, получим:0 ( ') p ( ')q , откудаp 'q при ' . 'Последнее равенство означает, что векторы p и q коллинеарны (см. условие(7)), что противоречит условию задачи, и потому неравенство 'невозможно. Таким же образом доказывается невозможность неравенства ' .
Следовательно, ' и ' , т.е. один и тот же вектор не можетиметь двух разных разложений по одному и тому же базису. ■ПРИМЕР 2.4.17. На плоскости даны три вектора a {3, 2} ,p {2, 1}, q {7, 4} . Найти разложение вектора а по базису p, q.Решение. Векторы p и q не коллинеарны, т.к. не выполнено условие (8):2 1. Поэтому вектор а может быть разложен по векторам p и q как по7 4базису (пример 2.4.16): a p q .
Это векторное равенство можно записатьв координатной форме на основании формул (5), (6), (9):3 (2) 7, 2 1 (4).Решать эту систему уравнений можно по-разному. Например, умножимвтороеуравнениена2исложимспервымуравнением:3 2 (2) (7 2 (4)) , откуда 1. Подставив полученное значение βво второе уравнение системы, находим 2 4 2 .Таким образом, a 2 p q . ■ПРИМЕР 2.4.18. Можно ли разложить каждый из следующих векторовa {1, 15} , b {1,15} , c {3, 4} , принимая в качестве базиса дваостальных?44Решение.
Согласно следствию из теоремы о линейной зависимостисистем векторов (пункт 2)) любые два неколлинеарных вектора могут служитьбазисом на плоскости, и тогда всякий третий вектор, лежащий в плоскостипервых двух, однозначно может быть представлен в виде их линейнойкомбинации.1) Векторы b и c не коллинеарны (проверьте!), следовательно, вектор аможет быть разложен по векторам b и c.2) Векторы а и c не коллинеарны (проверьте!), следовательно, вектор bможет быть представлен в виде линейной комбинации векторов а и c.3) Вектор а коллинеарен вектору b, при любых α и β вектор a bколлинеарен векторам а и b. Поэтому равенство c a b невозможно нипри каких значениях α и β.
■ПРИМЕР 2.4.19. Даны три вектора p {3, 2, 4} , q {2, 1, 3} ,r {7, 4, 1}. Рассматривая их как базисные, найти разложение вектораa {25, 15, 14} этому базису.Решение. То, что векторы p, q и r можно рассматривать как базисные,дано в условии, но вообще это не очевидно. Сталкиваясь с задачами подобногорода, следует проверять, являются ли векторы линейно независимыми, т.е.могут ли быть использованы в качестве базиса. В двумерном случае это сделатьлегко: надо лишь убедиться в том, что два вектора не коллинеарны, как этобыло сделано в примере 2.4.17. В трехмерном случае следует проверятькомпланарность трех векторов. О том, как это легко можно сделать, будетрассказано в §2.5.
В данном же примере можно сразу записать векторноеравенство a p q r . Представив его в координатной форме наосновании формул (5), (6), (9), получим: 25 3 2 7 , 15 2 4 ,14 4 3 .45Решим эту систему уравнений при помощи правила Крамера.Найдем определитель матрицы системы3 2 7 2 1 4 4 3 1 3 (1 12) 2 (2 16) 7 (6 4) 39 28 70 3.То, что 0 , по правилу Крамера означает существование единственногорешения системы, т.е. однозначного разложения вектора а по системе векторовp, q, r. А это в свою очередь является подтверждением того, что систему p, q, rможно считать базисом.Далее найдем25 2 71 15 1 4 143 1 25 (1 12) 2 (15 56) 7 (45 14) 325 82 413 6;3 25 7 2 2 15 4 4 141 3 (15 56) 25 (2 16) 7 (28 60) 123 350 224 3;3 2 253 2 1 15 4 3 14 3 (14 45) 2 (28 60) 25 (6 4) 177 64 250 9.Теперь 1 2; 2 1; 3 3.Таким образом, a 2 p q 3r .
■ПРИМЕР 2.4.20. Установить(независимость) векторов:б) c i jиа) a {2, 3}d i 2 j ;46линейнуюиb {1, 3/ 2};зависимостьв) a {0, 1, 3},b {1, 1, 3} иc i 2 j 6k ;г) векторы а, b и с из примера 2.4.18;д) a {0, 1, 3},b {1, 1, 3} ,c i 2 j 6kиd {0, 1, 0} ;е) a i 3 j, b 2i 2k , c j 4k .Решение. а) Т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
