Lektsia_15_dlya_studenta_ON (1184625)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 15Процесс ортогонализации. Симметричные матрицы и их свойства.Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы1. Процесс ортогонализации. Матрица ГрамаПусть – конечномерное евклидово пространство,Теорема 1. В конечномерном евклидовом пространстве существуетортонормированный базис.Доказательство. Пусть- базис в пространстве Е.Строим ортогональную систему.Берем, вектор ищем в виде(*),где- некоторое вещественное число. Должно быть выполнено условие(). Фиксируем коэффициент α1 так, чтобы было выполненопоследнее условие.

Для этого умножим обе части равенства (*) на ,получим()()↓()()Продолжаем процесс ортогонализации следующим образом. Пусть векторыуже построены, выполнены условия (при,).Строим векторв виде(**)где величиныподбираем так, чтобы векторыобразовывалиортогональную систему:()(),.(Необходимо отметить, что не может оказаться, чтоДействительно, в правой части равенства (**) выписана линейная).комбинация векторов. Но система векторовявляетсяЛНС (т.к. она является базисом в пространстве E), поэтому линейнаякомбинация только с нулевыми коэффициентами может быть равна нулевомувектору.

Коэффициент при⃗(k=0,..,n-1).равен 1, поэтому не может оказаться так, что-2-Построена ортогональная системa(она является линейнонезависимой системой), которая является ортогональным базисом впространстве E.Нормализуем систему‖ ‖Построен, положивгде ‖ ‖,√(),- ортонормированный базис в пространстве E.▲Пример 1.( + ,Система векторов(+,( + является базисом впространстве столбцов высоты 3. Ортогонализуем этот базис.( +Беремгде()()((Отсюда,+)( +(.,.,Строимгде()()()()Отсюда;⁄⁄⁄⁄( +( +(⁄ .,(,.-3-Определение 1.

Матрицей Грама системы векторовевклидова пространства E называется матрица(()(()())()+.Определитель матрицы Грама называется определителем ГрамаТеорема 2. Система векторовевклидова пространства Eлинейно зависима тогда и только тогда, когда det ().Доказательство1. Необходимость. Пусть системаявляется ЛЗС. Тогдасуществует нетривиальная линейная комбинация (т.е. не всекоэффициенты которой равны 0), равная нулевому вектору:⃗.Домножим скалярно обе части равенства последовательно на,получим однородную систему из n уравнений относительно n неизвестных :{(())(()).(***)Матрица этой системы совпадает с матрицей ().

Мы предположили,что существует нетривиальное решение этой системы. Отсюда следует, чтоопределитель еѐ должен быть равен 0:det ()2.Достаточность. Пусть выполнено условие det (). Тогдасистема (***) имеет нулевые решения. Составим вектор b:∑Имеем:-4-()(∑)∑(В силу свойства 4 скалярного произведения b=⃗ .Отсюда получаем, что вещественные числа⃗.Следовательно, система):является линейно зависимой.▲Пример 2. Используя матрицу Грама, докажем линейную(независимость столбцовИмеем ()(+)((( +())()((+))(det ()Следовательно, в силу теоремы 2, система+;.является ЛНС.2. Самосопряженный оператор. го свойства.Симметричная матрицаРассмотрим евклидово пространство E: dim E = L.Определение 1.

Квадратная матрица A=‖симметрической, если(т.е. выполнено‖ называется).Утверждение. Если матрица линейного оператора симметрическаяв некотором ортонормированном базисе, то она являетсясимметрической и в любом другом ортонормированном базисе.-5-Доказательство. Обозначим- матрицы операторавбазисах e и f соответственно. По условию теоремы- симметрическаяматрица:( ) . Базисы e и f являются ортнормированными,следовательно, матрица перехода от базиса e к базису f должна бытьортогональна: ()Докажем, что матрица()(() .тоже симметрическая:)(Следовательно, матрица)()тоже симметрическая.▲Определение 2. Операторназывается самосопряженным, еслиего матрица является симметрической в ортонормированном базисе.Теорема (без доказательства). Пусть- самосопряженный оператор,- матрица операторав ортонормированном базисе.Справедливы следующие утверждения:1) Все характеристические числа матрицыдействительны;2) Собственные векторы, соответствующие различным собственнымчислам оператора , ортогональны между собой;3) В евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис изсобственных векторов самосопряженного оператора.▲Теорема.

Для любой симметрической матрицы A=‖ ‖ существуетортогональная матрица C, такая, что матрицаявляетсядиагональной.Доказательство. Рассмотрим линейный оператор , действующий впространстве столбцов высоты n следующим образом: X=AСоставим матрицу оператора в ортонормированном базисе( )Имеем:(+( ).(+-6-Следовательно, матрица оператора в ОНБ совпадает с симметрическойматрицей A. Оператор является самосопряженным.

В силу предыдущейтеоремы в линейном пространстве E существует ортонормированный базисиз собственных векторов оператора :(i=1,…,n; собственное число берется в спектре столько раз, какова егократность).Матрица переходаявляется ортогональной:()().В базисе из собственных векторовматрица оператора являетсядиагональной:(+ (среди чиселмогут быть совпадающие).Таким образом, верно соотношение:()(здесь C=).▲Определение 2. Матрицы A и B называются ортогональноподобными, если существует ортогональная матрица C (т.е.)такая, чтоA=.Таким образом, можно дать другую формулировку теоремы: любаясимметрическая матрица ортогонально подобна вещественной диагональнойматрице.Пример 3.Докажем, что оператор , действующий в пространстве строк () () являетсяследующим образом: (самосопряженным, и найдем ОНБ из его собственных векторов.(),():Составим матрицу операторав базисе()()*+.Матрица оператора симметрична в ОНБ, следовательно, операторявляется самосопряженным.)-7-Найдем собственные числа и собственные векторы:()Нормируем систему,:()(Система.*(*√√√√является искомым ОНБ из собственных векторов оператораПример 4.

Найдем диагональную матрицу, ортогонально подобнуюматрице ().Используем результаты примера 3, получим√√(√√ )↑↑- ортогональная матрица перехода от базиса e к базису E. Отсюда, в силутеоремы, подобная матрица Λ такова:()(√√√√)() (√√√√)..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций