Lektsia_komplexnye_chisla (1184629)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

-1-ЛекцияКомплексные числаП. 1. Комплексные числаОпределение комплексного числа.Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числаОпределение 1. Комплексным числом называется упорядоченная пара двухвещественных чисел , : = (, ).Пусть 1 = (1 , 1 ), 2 = (2 , 2 ) – два комплексных числа.Определение 2. Комплексные числа 1 , 2 называются равными, если1 = 2 , 1 = 2 .Заметим, что понятия «больше», «меньше» для комплексных чисел неопределены.Введем операции сложения и умножения комплексных чисел.Определение 3.1. Суммой комплексных чисел 1 , 2 называется комплексное число z: = 1 + 2 = (1 + 2 , 1 + 2 );2. Произведением комплексных чисел 1 , 2 называется число : = 1 2 = (1 2 − 1 2 , 1 2 + 2 1 ).Определение 4. Действительные числа , называются соответственновещественной и мнимой частями комплексного числа = (, ).Обозначать вещественную и мнимую части комплексного числа будемследующим образом:Справедливо равенствомы можем записать = , = .(, ) = (, 0) + (0,1) ∙ (, 0), = + .(*)-2-Здесь через обозначено комплексное число (0, 1).

Очевидно, верно 2 = −1.Форма (*) записи комплексного числа называется алгебраической формой записи.Обозначим множество всех комплексных чисел через ℂ. Справедливыследующие 5 свойств операций сложения и умножения комплексных чисел..1. 1 + 2 = 2 + 1∀1 , 2 ℂ ;2. (1 + 2 )+ 3 = 1 + (2 + 3 )3. 1 2 = 2 1∀1 , 2 ℂ ;4. (1 2 )3 = 1 (2 3 )∀1 , 2 ℂ ;∀1 , 2 ℂ ;5. 1 + (2 + 3 ) = (1 + 2 ) + 3∀1 , 2 ℂ .Определение 5. Комплексное число называется разностью комплексныхчисел 1 и 2 , если 1 = 2 + .Обозначим в этом случае = 1 − 2 .Определение 6. Комплексное число называется частным комплексныхчисел 1 и 2 , если 1 = 2 ∙ .Обозначим в этом случае = 1 /2 .Определение 7.

Комплексное число ̅ = − называется комплексносопряженным к числу = + .Имеют место следующие свойства операции комплексного сопряжения.����) = ;1. (̅2. ∙ ̅ = 2 + 2 = ||2 = |̅|2 ;3. ���������1 + 2 = �1 + �2 ;4. ������1 2 = �1 + �2 ; );������5. (̅) = (��������6. � 1� = ���1 .22Имеет место следующая формула для вычисления частного двух комплексных чисел:1 1 ∙ �2=.|2 |22-3-Рассмотрим декартову систему координат на плоскости.

Поставим каждомукомплексному числу = + в соответствие точку (, ) на плоскости.Плоскость, на которой нанесены таким образом комплексные числа, называетсякомплексной плоскостью. Ось называется вещественной осью, ось OY называетсямнимой осью ( см. рисунок).Число || = � 2 + 2 называется модулем комплексного числа . Модулькомплексного числа равен расстоянию от точки = + комплекснойплоскости до точки (0,0).

Угол, который составляет радиус-вектор точки (, ) сположительным направлением оси , называется аргументом комплексногочисла . Если поворот от оси до радиус-вектора совершается в отрицательномнаправлении ( то есть по часовой стрелке ), то считаем, что аргументкомплексного числа отрицателен. Обозначим аргумент комплексного числа как . Очевидно, что аргумент комплексного числа определяется с точностьюдо кратных 2. Значение аргумента, удовлетворяющее условию − < ≤ ,называется главным значением аргумента и обозначается :− < ≤ .Из геометрических соображений получим = ||cos, = ||sin,следовательно, = ||(cos + sin).Правая часть последнего равенства называется тригонометрической формойзаписи комплексного числа.Свойства модуля комплексного числа1.

|1 2 | = |1 | ∙ |2 |;| |2. | 1 | = |1| ;22-4-3. |1 + 2 | ≤ |1 | + |2 | (неравенство треугольника);4. |1 − 2 | ≥ ||1 | − |2 || .Геометрически величина |1 − 2 | равна расстоянию между точками 1 и 2комплексной плоскости.Свойства аргумента комплексного числа1. 1 + 2 = 1 2 ;2. 12= 1 − 2 .Комплексное число cos + sin обозначим как . Получимпоказательную форму записи комплексного числаОчевидно, справедливы формулы = || .

+ − =,2 − − =.2Эти формулы называются формулами Эйлера.П. 2. Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра.Извлечение корня из комплексного числаПусть 1 = |1 |(cos1 + sin1 ), 2 = |2 |(cos2 + sin2 ) . Используемсвойства аргумента комплексного числа, получим, что1 2 = |1 | ∙ |2 | ∙ �cos(1 + 2 ) + sin(1 + 2 )�,1 |1 |=∙ �cos(1 − 2 ) + sin(1 − 2 )�.2 |2 |Отсюда получаем формулу Муавра: = || (cos + sin).Пусть = ||(cos + sin) – некоторое комплексное число. Тогдасуществует ровно () комплексных чисел 0 , … , −1 таких, что( ) = ( = 0, … , − 1)-5-( то есть числа 0 , … , −1 представляют собой значений корня − нойстепени из комплексного числа ). Используя формулу Муавра, получимследующие выражения для значений корня -ной степени из комплексного числа, = ||(cos + sin)):√ = �|| ∙ � � + 2 + 2� + sin ��� = ( = 0, … , − 1).Заметим, что модули чисел равны между собой ( и равны �||), а аргументыобразуют арифметическую прогрессию со знаменателем2.

Отсюда можносделать вывод, что комплексные числа ( корни − й степени из комплексногочисла ) на комплексной плоскости лежат на окружности радиуса = �|| иделят эту окружность на равных частей ( см. рисунок )..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций