lektsia_12_doc_variant_dlya_studentov_ON _PDF (1184633)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 12Переход к новому базису. Матрица перехода.Оператор в линейном пространстве. Матрица оператора1.Переход к новому базису. Преобразование координатРассмотрим n  мерное линейное пространство L. Пусть e1,..., en и f1,..., f n базисы в пространстве L. Условно назовем e1 ,..., en  «старый базис», f1 ,..., f n «новый базис».Разложим векторы нового базиса по элементам старого базиса:f1  c11e1  ...  cn1en ;f n  c1n e1  ...  cnn en .Составим квадратную матрицу C || cij ||, c11C  c n1i, j  1,..., n :c1n cnn Определение. Матрица C называется матрицей перехода от базиса e кбазису f. Обозначаем матрицу перехода Ce f .Замечание.

Матрица перехода Ce f заполняется по столбцам:Ce  f c11c n1координатыв базисе ec1n cnn f1координатыfnв базисе eПример. Заполним матрицу перехода от базиса e к базису f1 , если f1  e1  2e21 3:Ce f  . 2 f 2  3e1  e2Если ввести обозначения f  ( f1... f n );e  (e1...en ) , то можно записать формально:f  e  Ce fУтверждение 1.Матрица перехода не вырождена.Доказательство. Имеем:f  e  Ce f  f  C f e  Ce f .Но f1,..., f n  базис, следовательно, система f1,..., f n является ЛНС.

Отсюдаравенство () возможно лишь при условии C f e  Ce f  E.()-2-Следовательно, матрицы С f e и Ce f являются взаимно обратными:Ce f  (C f e )1.Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она не вырождена:detCe f  0detC f e  0.Утверждение 2.Пусть X e , X f  столбцы координат вектора x в базисах e, f соответственно.1Тогда справедливо равенство X f  C X e .e fДоказательство. Рассмотрим произвольный элемент x  L .

Разложимего по базисам e, f :x  x1e1  ...  xnen  x '1  ...  xn ' fn.Можно написать: x  e  X e  f  X fНо e  f  C f e , отсюда f  X f  f  C f e  X e .Но f1,..., f n  базис, следовательно, система f1,..., f n является ЛНС. Отсюдапоследнее равенство возможно лишь еслиX f  C f e X eXf C1e fX e.Пример.Найдем координаты вектора x  e1  2e2 в новом базисе f1 , f 2 , еслиf1  e1  e2 , f 2  3e1  e2 .Заполняем матрицу перехода и находим обратную к ней:113 1   1 Ce f  C e f1  11   4  511    41Отсюда X f  C e f  X e     .4  11   2   3  4 53Ответ. x   f1  f 2 .4412.

Операторы в линейном пространстве. Примеры-3-Рассмотрим линейное пространство L.Определение 1. Пусть любому элементу x линейного пространства L понекоторому закону ставится в соответствие элемент y, y  L . Тогда говорят, чтов линейном пространстве L определен оператор A  .Обозначение : ; элемент x называется прообразом элемента y, элемент yназывается образом элемента x.Определение 2.

Оператор A  называется линейным, если выполненыследующие условия:1)A ( x  y )  Ax  Ayx, y  L;2)A ( x )   Axx  L,  R.Замечания.1.Условия 1), 2) можно заменить на одно общее условиеA ( x   y )  Ax   Ayx, y  L, ,  , R2.Мы рассматриваем только операторы, переводящие элементылинейного пространства L в элементы этого же линейного пространства. Этоограничение не является принципиальным.Утверждение.Линейный оператор переводит нулевой элемент сам в себя: A 0  0.Доказательство.Ax  A ( x  0)  Ax  A 0A 0  0.Примеры.1.Нулевой оператор  : x  0x  L.2.Тождественный оператор I: Ix  xx  L.3.Оператор поворота плоскости на угол  против часовой стрелки:Aaφ4.

Оператор – проектор на плоскость OXY:ZaYXAaa-4-5. Оператор дифференцирования D :Df  f '.3.Матрица линейного оператора.Вычисление координат образа вектораРассмотрим n-мерное линейное пространство L, в котором действуетлинейный оператор A  , переводящий элементы линейного пространства L вэлементы этого же линейного пространства.Пусть e1,..., en - базис в L. Разложим образы базисных векторов по базису e,получимAe1  a11e1  an1en ,(*),Aen  a1n e1  ann en .Заполним матрицу Ae : a11Ae  aij   a n1Ae1a1n .ann AenМатрица Ae называется матрицей оператора A  в базисе e.Замечания. 1. Матрица оператора зависит от базиса.2.

Матрица оператора заполняется по столбцам.Равенства (*) можно формально записать в видеAe  e  Aeгде e  (e1 en ),Ae  (Ae1 Aen ).-5-Примеры. 1. Матрица тождественного оператора I в любом базисе равнаединичной матрице E.2. Матрица оператора поворота плоскости на угол  против часовойстрелки в базисе i, j имеет видcos   sin  Ae  . sin  cos  Действительно, применим, например, оператор A  , например, к вектору i (см.,рисунок):jAisin φicosУтверждение.

Пусть оператор A  имеет в базисе e матрицу Ae ,x L, y  Ax.Пусть X e ,Ye - столбцы координат векторов x, y в базисе e. Тогдасправедлива формулаYe  Ae  X e .Доказательство. Имеем:y  Ax  A ( x1e1  x1Ae1  x1 ( a11e1  ( e1 ( e1 xn en )  xn Aen  an1en )  xn ( a1n e1  ann en )  a11  a1n  en )  x1  (ee)x1nna a  n1  nn  a1n xn  a11 x1   (een )  en )  Ae  X e .1a x  ann xn  n1 1С другой стороны, верно равенство y  (e1(e1en )Ye  (e1en )Ye . Получили:en ) Ae X e .Но e1 ,..., en  базис, следовательно, система e1,..., en является ЛНС.

Но тогдапоследнее равенство возможно лишь при Ye  Ae  X e .-6-Примеры. Заполним матрицу оператора A  , действующего в линейномпространстве строк длины три следующим образом:A ( x1x2 x3 )  ( x2  x3x1  x2 ).Рассмотрим базис e1  (1e2  (010),e3   . Имеем:Ae1  (0Ae2  (1),Ae3   Отсюда0 1 0 Ae  0 0 1 .1 1 0 Ae1Ae2 Ae3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций