vector (1184634), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Вычислить площадь треугольника, построенногона векторах a 2b, 3a 2b .823. Определить,какойявляетсятройкавекторов(правой,левойиликомпланарной), если a i 6 j 5k , b 3i 2 j 4k , c 7i k .Вариант №21. | a | | b | 1. При каком значении векторы a b и a b будут взаимноперпендикулярны?2. Найтиединичныйвектор,одновременноперпендикулярныйвекторуa{3, 6, 8} и оси Оу, и составляющий с осью Oz тупой угол.3. При каком система векторов a, b, c : a{1, 3, }, b{5, 1, 2} , c{1, 5, 4}будет линейно зависима? Найти разложение вектора а по векторам b и с.Факультет инженерной механикиВариант №11. Даны векторы p{2, 1, 3} , q{4, 2, 1}, r{3, 4, 5} , a{1, 3, 2}. Показать,что векторы p, q, r линейно независимы. Разложить вектор а по базису p, q, r .2.
Даны координаты вершин треугольника АВС: A(1, 2, 2); B(5, 0, 2); C (3, 2, 1) .Средствами векторной алгебры найти:1) длину и направление вектораAM , совпадающего с медианойтреугольника;2) угол между медианой АМ и стороной АВ;3) площадь треугольника и длину его высоты АК;4) проекцию вектора ОА на направление вектора S AB AC (О –начало координат);5) объем тетраэдра ОАВС и h0 – высоту, опущенную из точки О наоснование АВС.83Вариант №21. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2 , A3 , A4 и еговысоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .A1(1, 3, 6);A2 (2, 2,1);A3 (1, 0,1);A4 (4, 6, 3) .2. Найти косинус угла между диагоналями параллелограмма, построенного навекторах а и b, причем a p 2q, b 3 p q , | p | 1, | q | 2 , ( p , q) / 4 .3.
Найти проекцию ПрB A , если A a 2b, B a b , причем a p 2q ,b 3 p q , | p | 2 , | q | 1, ( p , q) / 3 .4. Найти разложение вектора a{3, 3, 1} по базису p, q, r : p{3, 1, 0}, q{1, 2,1} ,r{1, 0, 2}.5. Найти векторное произведение AB AC , если заданы декартовы координатыначал и концов векторов: A(5, 2, 0); B(2, 5, 0); C(4, 1, 1) .Вариант №3 7 x 2 y z 4,1.
Решить систему уравнений 3x 5 y 3z 1, 2 x 5 y z 3.2. Векторы а и b образуют угол / 6 , причем | a | 3, | b | 1. Найти уголмежду векторами p и q, если p a 2b, q a b .3. Определить, при каких значениях и вектор i 3 j k коллинеаренвектору a b , если a{3, 1, 1} , b{1, 2, 0} .4. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если OA 3i 4 j , OB 3 j k ,OC 2 j 5k .84Факультет химической технологии и экологииВариант №1 2 x 3 y 6 z 3,1. Решить систему уравнений 5 x 2 y 9 z 7,3x 2 y 5 z 1.2. Даны векторы a{2, 3, 4}, b{1, 2, 3} , c{1, 2, 3} . Найти Прc (a b) .3. Найти вектор а, если он перпендикулярен векторам c{2, 3, 4} и d{1, 2, 3},| a | 4 и он составляет с осью Oy острый угол.4.
Определить,какойкомпланарной), еслиявляетсятройкавекторов(правой,левойилиa 3i j 2k , b 4i 3k , c i 5 j k .Вариант №21. Найти координаты единичного вектора m , перпендикулярного оси Ох ивектору b{5, 3, 4} .2. Найти значение параметра , при котором векторыa i j 2k ,b i j k , c i 3k компланарны.3.
Вычислить косинус угла между диагоналями параллелограмма, три вершиныкоторого находятся в точках A(3, 5, 7); B(7, 4, 2); C (1, 1, 5) .Факультет автоматики и вычислительной техникиВариант №11. Найти разложение вектора a{2, 7, 0} по базису из векторов p{2, 3, 1} ,q{1, 2, 2} , r{1, 2, 1} . Коэффициенты разложения найти методом ЖорданаГаусса.2. Даны вершины треугольника A(3, 2, 3); B(5,1, 1); C (1, 2,1) . Найтиразложение векторов, совпадающих с его сторонами, по ортам декартовой85прямоугольной системы координат. Определить площадь этого треугольника,внутренний угол при вершине А и длину медианы BN.3.
Определить,какойявляетсятройкавекторов(правой,левойиликомпланарной), если a 2i j 2k , b i 2 j 3k , c 3i 4 j 7k . Если этовозможно, найти объем параллелепипеда, построенного на данных векторах.4. Даны векторыa 2i 3 j k ,b 3i j 2k , c i 2 j 3k . Найти[[b c] a] .5. Найти косинус угла между векторами AB и AC , если A(2, 2, 3) ;B(1, 1, 2) ; C (4, 4, 5) .6. Даны векторыa i 3 j 4k , b 3i 4 j 2k , c i j 4k .
Найтипроекцию вектора 3b 2c на ось вектора a .Вариант №21. При каком значении векторы a{2, 5} и b{3, } коллинеарны?2. При каком значении векторы a{3, 1, } и b{2, 4, 3} перпендикулярны?3. a{1, 2, 1} , b{2, 3, 4} , c{0, 1, 2} . Найти Прc (a b) .4. Образуют ли базис векторы а, b и с из задачи №3?5.
Найти углы между осями координат и радиус-вектором точки M (2, 3, 1) .Факультет экономики и управленияВариант №11. Могут ли векторы a{2, 1, 2} , b{2, 4, 4} , c{4, 3, 2} быть сторонамитреугольника?2. В разложении вектора c 1a 2b по двум неколлинеарным векторам а и bмогут ли оба коэффициента 1 и 2 или один из них равняться нулю?863. Коллинеарны ли векторы а и b, если коллинеарны векторы a b и a b ?4.
Изменится ли сумму компланарных векторов, если все слагаемые векторыбудут повернуты в одном и том же направлении на один и тот же угол?Вариант №21. Даны векторы a{3, 1, 0} , b{1, 3, 1} , c{2,1, 2} . Найти Прa (b 2c) .2. Даны точки A(2, 3, 1); B(1, 1, 2); C (2,1, 0); D(3,1, 2) . Найтиа) SBCD ; hD ;б) VABCD ; H ABD .3. Найти площадь треугольника, отсекаемого от координатного угла прямойy 5x 12 .87ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГОРЕШЕНИЯ1.
а) 11; б) cos( ) ; в) 29; г) (a 1)3 . 2. а) 0; б) 2sin ; в) 0.3. а) 0 и 0; 2 и –2; б) 5 и 5; –3 и 3; 4 и –4; 2 и 2.4. а) / 3 2 n, n ; б) x ; в) x1 10, x2 2 ; г) 2 x 0 .5. – 3. 6. а) sin 2 ; б) 0; в) 1800. 8. а) x 1, y 1; б) x 2, y 0, z 1;в) x1 1, x2 2, x3 1. 9. а) AB {1, 5, 4}, BA {1, 5, 4} ; б)в) cos 1/ 42, cos 5/ 42, cos 4 / 42 ;42 ;г) C (1, 7, 4) ;д) OA {1, 2, 3}, | OA | 14 , cos 1/ 14, cos 2 / 14, cos 3/ 14 .10. arccos(2 / 3), arccos(1/ 3), arccos(2 / 3) .11. а) 1) нет; 2) да; 3) да, например, вектор i; 4) да; 5) нет; б) / 2 .12. а) M1 ( 3,3,и3)M 2 ( 3, 3, 3) ;б) M (4, 4, 4 2) ;в) 1 45, 2 135 ; г) F {3, 3, 3 2} .14.
а) да; б) нет; в) да. 15. а) AK p q / 2; BL (q p) / 2; CM q p / 2.16. а) нет;б) нет,да.17. AC p q; AC ' p q r ; D ' B ' p q ;B ' C q r ; D ' B p q r ; DB ' p q r .19. а) 13a b c ; б) 5a /12 7c / 6 .20. 22.Указание: использовать теорему геометрии: сумма квадратов длиндиагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.21. a b .22. | a b | 34 15 2 , | a b | 34 15 2 .Указание:использовать теорему косинусов.23.
а) a i 2 j 3k , b j 2k , c 3i ; б) a 3i 5 j , b j , c 4i .8824. а) c {3, 1, 1}, d {1, 3, 7}, p {7, 4, 1}, q {3, 14, 31};б) | a b | 11, | 5a 4b | 1166 ;в) cos 1/ 14, cos 2 / 14, cos 3/ 14 . 25. а) 15 Н.26. a1 || a2 , противоположно направлены, a1 || a3 , одинаково направлены,a2 || a3 , противоположно направлены; а4 || оси Ох, а5 || оси Оу, а6 || оси Оz,а7 || плоскости Оуz, а8 || плоскости Охz, а9 || плоскости Оху.27. а) линейно зависимы: a b c ;б) линейно независимы;зависимы: c 0 b 2a ; г) линейно зависимы.в) линейно28. c 2 p 3q r .29.
p 2a 3b . 30. | a | 70 , cos 2 / 7, cos 3/ 7, cos 6 / 7 .31. | a | m2 m 1.Указание:использоватьформулуалгебры(a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2ac 2bc .32. | a | 3/ 5 , cos 1/ 3, cos 2 / 3, cos 2 / 3 . 33. D(4, 0, 10) .11 13 513 11 435. C ( , , ), D( , , ) .33 333 336. а) Число; б) вектор; в) число; г) вектор; д) число; е) вектор; ж) число.37.
1) а) a d 1,б) (2a b) c 30 ,a d {2, 7, 4} ,| a d | 1,(2a b) c {9, 15, 18} ,| (2a b) c | 3 70 ;| a d | 69 ;| (2a b) c | 30 ,в) (a, b, d ) 11,(a, b, c) 0 ;д) 1 arccos(1/ 70) ,г) (a d ) c {21, 30, 42} ; 2 arccos( 10 /17); е) {2 / 5, 0, 1/ 5}, 30 / 34 , 0 .2) S 69 , S 69 / 2 . 3) a || c, a b .
4) да. 5) да, тройка a, b, d правая,V = 11; тройка b, d , c левая, V = 33.38. а) левая; б) ни правая, ни левая, векторы компланарны; в) правая; г) левая.39. б) S 7,5hB 5 ; в) V 7,5;HC 3 .41. а) 14 7 3 ; б) 5; в) 8 4 3 ; г) 0 . 42. а) 7; б) 24.8943. а) –8; {6, 4, 6} ; б) –8; {12, 8, 12} ; в) 0, компланарны. 45. 5.46.
4 / 3 , 26 / 10 , {136 / 3, 68/ 3, 136 / 3} . 48. 19. 49. x {1, 0, 1} .50. a b 28 , a b 8i 32 j 16k . 51. а) 40 10 2 и 22 2 ; б) 17 2 2и 9 3 . 54. | BA F | 15 , cos 2 / 3, cos 2 / 3, cos 1/ 3 .90.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
