vector (1184634), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

■ПРИМЕР 2.5.12. Показать,чтовекторыab2a  (3a  5b)иколлинеарны.Решение. Используя свойства ,  векторного произведения, раскроемскобки во втором векторном произведении:2a  (3a  5b)  6a  a  10(a  b)  10(a  b) , т.к.a  a  0.Векторы a  b и 10(a  b) коллинеарны по определению умножения векторана число. ■ПРИМЕР 2.5.13. Векторы a, b, c удовлетворяют условиюa b  bc  ca  0.(*)Доказать, что эти векторы компланарны.Решение. Умножим скалярно равенство (*) на вектор а:a  (a  b  b  c  c  a )  a  0 .Раскрывая скобки по свойству  скалярного произведения и учитывая, чтоa  0  0 , а также a  (a  b)  (a, a, b)  0 и a  (c  a)  (a, c, a)  0 (по свойству смешанного произведения), получим:a  (a  b)  a  (b  c)  a  (c  a )  (a, b, c)  0 .Равенство нулю смешанного произведения векторов a, b, c и означает ихкомпланарность по условию (31), что и требовалось доказать.

■ПРИМЕР 2.5.14. Вычислить,какуюработупроизводитсилаF  {2,  1,  4}, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно,перемещается из положения M (1,  2, 3) в положение N (5,  6, 1) .Решение. При прямолинейном движении работу А силы F можно найтипо формуле74A FS,где S - вектор перемещения.Находим вектор S  MN  {5  1,  6  (2), 1  3}  {4,  4,  2} .По формуле (21) находим скалярное произведение:A  F  S  2  4  (1)  (4)  (4)  (2)  20 (ед. энергии) . ■ПРИМЕР 2.5.15. Вычислить площадь параллелограмма, построенного навекторах a  3b и 3a  b , если | a |  | b |  1, (a, b)  30 .Решение.

Используя свойства - векторного произведения, находим(a  3b)  (3a  b)  (a  3a )  (3b)  (3a )  (a  b)  (3b  b)  0  9(b  a )  (b  a )  0  8(b  a ),т.к. a  a  b  b  0, a  b   (b  a ) .Тогда площадь параллелограмма по формуле (26)S  | (a  3b)  (3a  b) |  8 | b  a |  8 | b |  | a |  sin(a , b)  8  1 1 sin 30  8  1/ 2  4 . ■ПРИМЕР 2.5.16. Вычислить (a  b)  (b  c)  (c  a) .Решение.

Т.к.(a  b)  (b  c)  (c  a)  a  b  b  c  c  a  0 ,товекторы a  b, b  c, c  a линейно зависимы и, следовательно, компланарныпо теореме о линейной зависимости систем векторов (пункт 2). А по условию(31) смешанное произведение компланарных векторов равно нулю. ■ПРИМЕР 2.5.17. При каких условиях на α, β векторыа) a   b и a   b перпендикулярны, если | a |  1, | b |  2 ;б) a  i   j  2k и b  i  2 j   k коллинеарны;в) a  k  j, b   i  2k и c   k компланарны;г) a   i  j   kиb  a  c коллинеарны.Решение. а) Из условия (19) перпендикулярности векторов следует, что75(a   b)  (a   b)  0  | a |2  2 | b |2  0   2 | a |211.242|b|б) Т.к.

векторы a  i   j  2k и b  i  2 j   k коллинеарны, то изусловия (8) имеем:1 2 , откуда получаем два уравнения для1 2 определения α и β: 1 и22 1. Решаем их относительно α и β:  2,   2 .в) Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю(формула (31)):0 1 1(a, b, c )  0 2  0 .0 0 1Раскрывая определитель по третьей строке, получим1г) По0 1 0   1  (0   )  0    0 . 0определениювекторногопроизведениявекторb  acперпендикулярен обоим векторам-сомножителям, в частности, b  a и поэтомуне может быть ему коллинеарен ни при каких α и β. ■Задачи для самостоятельного решения№36. Что выражают собой представленные ниже произведения: число иливектор?а) a  (b  c ) ;б) a  (b  c ) ;в) | (a  (b  c))  (c) | , где λ – скаляр;г)  (a  b)  (a  b)   c , λ – скаляр;е) a   (a  b)  c  ;ж)д) |  (a  b)  (a  b)   a | ;  (a  b)  (a  c)   (b)  | a | , λ – скаляр.76№37.

Данывекторыa  {2, 0, 1},b  {1,  3, 2} ,c  {6, 0,  3},d  {1, 2,  3} .1) Найти: а) a  d и a  d , | a  d | и | a  d | ;б) (2a  b)  c и (2a  b)  c , | (2a  b)  c | и | (2a  b)  c | ;в) (a, b, d ) и (a, b, c ) ;г) (a  d )  c ;д) углы 1  (a , d )е) Прa d ,иПр2a  b c ,2  ((2a  b) , c) ;Прa (a  d ) .2) Используя результат пункта 1), найти площадь параллелограмма ( S )и треугольника ( S ), построенных на векторах а и d.3) Есть ли среди данных векторов коллинеарные, перпендикулярные?4) Компланарны ли векторы a, b, c ?5) Есть ли среди данных векторов некомпланарная тройка? В случаеположительного ответа указать, какую тройку образуют эти векторы (правуюили левую) и найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.№38.

Какую тройку, правую или левую, образуют векторы:а) a  {1, 1, 2} , b  {2, 1, 1}, c  {1,  2, 3} ;б) a  {1, 2,  2} , b  {1,  2, 1}, c  {5,  2,  1} ;c  2i  3 j  4k ;в) a  i  j  k , b  i  j  k ,г) a  k  j , b   i , c  j ?№39. Даны точки A(0,  2, 5), B(6, 6, 0), C (3,  3, 6), D(2,  1, 3) .а) Показать, что они не лежат в одной плоскости.б) Найти площадь Sтреугольника ABD и длину его высоты hB,проведенной из вершины В.в) Найти объем V пирамиды ABCD и длину ее высоты НС, проведеннойиз вершины С.77№40. Показать, что точки A(3,  4, 1), B(2,  3, 7), C (1,  4, 3), D(4,  3, 5)лежат в одной плоскости.№41.

Дано: | a | 2, | b | 1,   (a, b)   / 6 . Раскрыть скобки в следующихвыражениях и вычислить их:а) (3a  b)  (a  2b) ;б) | (3a  b)  (a  2b) | ;в) (a  2b)2 ;г) (a  2b)  (a  2b) .№42. Векторы а и b перпендикулярны. Зная, что | a |  3, | b |  4 , вычислить:а) | (a  b)  (a  b) | ;б) | (a  b)  (a  b) | .№43. Даны точки A(2,  1, 2), B(1, 2,  1), C(3, 2, 1) . Найти:а) AB  BCиAB  BC ;б) ( BC  2CA) CBи( BC  2CA)  CB ;в) AB AC BC ; компланарны ли векторы AB, AC , BC ?№44. Показать, что четырехугольник с вершинами A(5, 3, 4), B(1,  7, 5) ,C (6,  5,  3), D(2, 5,  4) есть квадрат.№45. При каком значении λ векторы a  4i   j  5k и b   i  2 j  6kперпендикулярны?№46.

Даны три вектора a  i  2 j  2k ,Найти Прa b ,Прa  b c ,b  2i  j  2k ,c  10i  4 j  2k .Прb (2a  3c) .№47. Доказать, что вектор p  c(b  a )  a (b  c) перпендикулярен вектору b.№48. ДанытрисилыF1  {2,  5, 1}, F2  {1, 2,  6}, F3  {4,  3, 3} ,приложенные в одной точке. Вычислить работу, которую производитравнодействующаяэтихсил,когдаточкаееприложения,двигаясьпрямолинейно, перемещается из точки M (4, 2,  8) в точку N (3,  2,  5) .78№49.

Даны два вектора a  {1,  2, 4} и b  {3, 1,  5} . Найти вектор х, зная,чтоонперпендикуляреносиОуиудовлетворяетусловиям:x  a  3, x  b  8 .№50. Раскрыть скобки в произведениях a  b и a  b , если a  2i  3 j  5k ,b  4i  2 j  6k .№51. Упростить выражения и вычислить:а) (2a  3b)  (a  4b) и | (2a  3b)  (a  4b) | ;б) (a  b  c)  (a  2c) и | (a  c)  (a  2c) | ,если | a |  | b |  2, | c |  3, (a , b)   / 4, (a , c)   / 3, b  c .№52. Векторы а, b, с удовлетворяют условию a  b  c  0 .

Доказать, чтоa b  b c  c  a .№53. Доказать, что [a, b]2  (a, b)2  a 2 b2 .№54. Три силы F1  {2, 4, 6}, F2  {1,  2, 3}, F3  {1, 1,  7} приложены вточке A(3,  4, 8) . Определить величину и направляющие косинусы моментаравнодействующей этих сил относительно точки B(4,  2, 6) .Указание: если сила F приложена в точке M, то ее момент относительно точкиN есть векторное произведение NM  F .№55. Доказать тождества:а) (a, b,(c   a   b))  (a, b, c) , где α и β - произвольные числа;б)  (a  b),(b  c),(c  a)   2(a, b, c) .№56.

Показать, что векторы a  i  j  mk , b  i  j  (m  1)k , c  i  j  mkни при каком значении m не будут компланарны.№57. Векторы a, b, c, d связаны соотношениями a  b  c  d и a  c  b  d .Доказать, что векторы a  d и b  c коллинеарны.79ТИПОВЫЕ ВАРИАНТЫ РЕЙТИНГОВЫХ РАБОТПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»Ниже приводятся примерные варианты тестов и контрольных работ,предлагаемых студентам разных специальностей РГУ нефти и газа им.И.М.Губкина. Все варианты были любезно предоставлены лекторами потоковсоответствующихфакультетов.Баллы,которымиоцениваетсякаждаярейтинговая работа, могут быть различными на разных потоках (ониопределяются лекторами потоков) и варьируются в пределах от 5 до 12 примаксимальном семестровом рейтинге 60 баллов.

В некоторых потоках тесты повекторной алгебре не проводятся отдельно, а включены в общую контрольнуюработу по аналитической геометрии.Факультет геологии и геофизики нефти и газаВариант №11. Даны точки A(5, 1,  3); B(7,  1, 5) и вектор a{4,  4,  2}. Найти уголмежду векторами 3a  AB и AB .2. Известно, что длины векторов а и с равны 3 и 2, а угол между ними равен / 3 . Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах 3a  5c и3a  c .3. Вычислитьобъемпараллелепипеда,построенногонавекторахa  3i  4 j  6k , b  9i  4 j  2k , c  8i  4 j  2k .4. Найти координаты вектора х, если известно, что он ортогонален векторамb  2i  3 j  4k и c  2i  4 j  3k , его длина равна 57, а с осью Оz он образуеттупой угол.80Вариант №21.

При каком значении  векторы a{3, 1} и b{2,  } коллинеарны?2. При каком значении  векторы a{2,  , 1} и b{3, 4, 2} перпендикулярны?3. Чему равна третья координата вектора [2a, 4a  b] , если a{2, 3, 1} ,b{1,  2, 8} ?4. Найти скалярное произведение векторов a{2, 4,  6} , b{3,  7, 6} .5. При каком значении векторы a{3,  ,  2} , b{5,  ,1} , c{4, 5,  1}компланарны?Вариант №31.

Даны векторы a  2m  n и b  m  n , где m и n – единичные векторы,угол между которыми равен 120º. Определить длину вектора c  a  3b .2. Даны вершины треугольника A(1, 2, 3); B(5,  3, 4); C (2, 1, 6) . Разложитьвекторы, совпадающие с его сторонами, по основным ортам i , j , k . Можно лирешить задачу обратную данной?3. Даны векторы p{3, 4, 5}, q{4,  2,  1}, r{2, 1, 3} . Найти Пр(q  r ) p .4. Данывекторыa  3i  2 j  k ,b  2i  j  2k ,c  3i  j  2k .Найти[[b  c]  a] .5. Определить,какойявляетсятройкавекторов(правой,левойиликомпланарной), если a  2i  3 j  k , b  i  j  3k , c  i  9 j  11k . Есливозможно, вычислить объем параллелепипеда, построенного на данныхвекторах.6. Написать разложение вектора r{1,  4,  3} по базису, составленному извекторов p{2, 1, 4} , q{3, 5,1} , a{2,  5,  4} .

Составить систему уравнений дляопределения коэффициентов разложения.81Факультет разработки нефтяных и газовых месторожденийВариант №11. ДанывершинытреугольникаA(3, 2,  3); B(5,1,  1); C (1,  2,1) .Определить его внешний угол при вершине А.2. Найти координаты вектора р, если он перпендикулярен векторам c{2,  3, 1}и d{1,  2, 3} и удовлетворяет условию p  (i  2 j  7k )  10 .3. Лежат ли точки A(1, 2,  13); B(2, 1, 4) ; C (1, 1, 0) ; D(0, 0, 1) в однойплоскости?Вариант №21. Лежат ли на одной прямой три точки A(9, 2, 2); B(1,  3, 6); C(1,  2, 4) ?Ответ поясните.2.

Даны два вектора a{3,  ,  5} и b{6, 4,  10}. Найти  , при котором:1) векторы а и b перпердикулярны;2) векторы а и b коллинеарны.3. Проверить компланарность векторов a{1,  1,  1} , b{2,  2,  3} , c{2, 2, 1}.4. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a{2, 1,  1} иb{2, 0,  2}.Факультет проектирования, сооружения и эксплуатации системтрубопроводного транспортаВариант №11. ДаныA(1, 3,  7); B(2,  1, 5); C (0,1,  5) .Вычислить(2 AB  CB)  (2 BC  BA) .2. | a |  | b |  5, (a , b)   4 .

Характеристики

Список файлов лекций