vector (1184634), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

a   2b (проверьте!), то будет выполнено равенство(2), означающее линейную зависимость векторов а и b.б) Для векторов с и d условие коллинеарности (8) не выполняется:1 1 . Поэтому по теореме о линейной зависимости систем векторов (пункт1 23) векторы с и d линейно независимы.в) Заметим, что c  a  b , т.е. вектор с представлен в виде линейнойкомбинации векторов а и b с ненулевыми коэффициентами. Отсюда делаемвывод: векторы а, b и с линейно зависимы.г) Векторы а, b и с из примера 2.4.18 заданы на плоскости, т.е. оникомпланарны, а, значит, линейно зависимы по теореме о линейной зависимостисистем векторов (пункт 2)), но не каждый из них может быть разложен по двумдругим (см.

решение примера 2.4.18).д) Векторы а, b, с и d как всякие четыре вектора в пространстве линейнозависимы по теореме о линейной зависимости систем векторов (пункт 1)).е) Составим из трех данных векторов линейную комбинацию снеизвестнымикоэффициентами1, 2 , 3 ; приравняем эту линейнуюкомбинацию к нулевому вектору:1a  2b  3c  0 .Полученное векторное равенство можно записать в координатной форме,опираясь на формулы (5), (6), (9) и помня о том, что все координаты нулевоговектора равны нулю. Получим систему линейных уравнений относительнонеизвестных 1, 2 , 3 :471  22  0,31  3  0,2  4  0.3 2Решим эту систему при помощи правила Крамера. Для этого вычислимопределитель матрицы системы :1 2 00 13 1  3 0 1  1 2 2  2  12  26  0 .2 40 40 2 4По правилу Крамера в случае   0 система имеет единственное решение.Непосредственной проверкой легко убедиться, что числа 1  2  3  0удовлетворяют данной системе и, значит, являются ее единственнымрешением.

Итак, из трех данных векторов а, b и с составлена линейнаякомбинация, которая равна нулевому вектору только в том случае, когда всекоэффициенты в ней нулевые. По определению это означает линейнуюнезависимость рассматриваемых векторов. ■ПРИМЕР 2.4.21.ВравностороннемВтреугольнике АВС (рис. 22) точка М есть серединаМстороны ВС, точка О – центр тяжести треугольника.Имеет ли смысл каждое из выражений: а) AO : AM ,б) MO : AO ; в) OA : OB ? В случае утвердительногоответа найти значение соответствующего выражения.ОАСРис. 22.Решение. а) Т.к. векторы AO и AM коллинеарны, то отношение имеетсмысл, более того, в силу одинаковой направленности этих векторов ихотношение будет иметь положительный знак.

Центр тяжести треугольникасовпадает с точкой пересечения его медиан, и эта точка делит каждую медиану48вотношении2:1,считая| AM |  3 | OM | , и тогдаотвершины.Поэтому| AO |  2 | OM | ,AO 2 | OM | 2 .AM 3 | OM | 3б) Отношение MO : AO также имеет смысл, т.к. векторы MO и AOколлинеарны. Учитывая, что эти векторы направлены противоположно,получимMO| OM || OM |1 .2AO| AO |2 | OM |в) Отношение OA : OB смысла не имеет, т.к. векторы OA и OB неколлинеарны. ■Деление отрезка в заданном отношенииЕсли отрезок АВ делится точкой С в отношении m : n = λ (рис. 23), тоAC m ,CB nгде λ > 0, если точка С принадлежит отрезку АВ, λ < 0, если точка С лежит внеотрезка АВ.тАпСВВСλ>0λ<0| AC || || CB |АРис.

23.Обозначим координаты точек A( x A , y A , z A ) , B( xB , yB , zB ) , C ( xC , yC , zC ) ,тогда имеют место формулы:49n  x A  m  xBxC ,mnn  y A  m  yByC ,mnn  z A  m  zBzC ;mnилиx    xBxC  A, 1y    yByC  A, 1z    zBzC  A. 1В частности, если точка С – середина отрезка АВ, то(17)| AC |1 и| CB |x  xBxC  A,2y  yByC  A,2z  zBzC  A.2(17а)ВПРИМЕР 2.4.22. Векторы a  {0, 1, 3}и b  {2, 0, 1} , отложенные от точки A(1, 2, 3) ,являются сторонами треугольника АВС (рис. 24),AD – медиана треугольника.

Найти координатыaDОАточки D и точки пересечения медиан О.СbРис. 24.Решение. Координаты точки D – середины отрезка ВС, можно найти поформулам (17а),x  xCxD  B,2y  yCyD  B,2z zzD  B C ,2(*)если известны координаты точек В и С.Для определения координат точки В пользуемся формулами (10),связывающими координаты вектора, с координатами его концов:ax  xB  x A ,a y  yB  y A ,az  z B  z A .Аналогичным образом можно найти координаты точки С.50(**)Для нахождения координат точки О используем формулы (17):AO ;ODx    xDxO  A, 1y    yDyO  A, 1z    zDzO  A. 1(***)Итак, координаты точки В по формулам (**):0  xB  11  yB  2xB  1,yB  3,3  zB  3z B  6,следовательно,B(1, 3, 6) .Аналогично координаты точки С по формулам (**):2  xC  1 xC  3,0  yC  2 yC  2,1  zC  3zC  4,следовательно,C (3, 2, 4) .Подставляя найденные значения координат точек В и С в формулы (*),получаем координаты точки D:xD 1 3 2,2yD 3 2 5 ,22zD 6 4 5,2D(2,5, 5) .2Наконец, по формулам (***) находим координаты точки О:AO 2  2;OD 11 2  2 5xO  ,2 13yO 2  25 2 7 ,2 13zO 3  2  5 13 ,2 135 7 13т.е.

O( , ,). ■3 3 3ПРИМЕР 2.4.23. Точки C (7, 0, 3) и D(5, 0, 0) делят отрезокАВ на три равные части (рис. 25). Найти координаты вектора BA .АСDРис. 25.51ВРешение. Рассмотрим отрезок СD, в качестве делящей его в отношенииλ точки возьмем точку В; она лежит вне отрезка и потому λ < 0. Т.к.CB  2BD , тоCB 2   . Тогда по формулам (17):BDx    xD 7  (2)  (5)xB  C 17, 12  1y    yD 0  (2)  0yB  C 0, 12  1z    z D 3  (2)  0zB  C 3, 12  1B(17, 0,  3) .следовательно,Теперь рассмотрим деление отрезка СD в отношении λ1 точкой А; оналежит вне отрезка, и потому λ1 < 0. Т.к. CA  CA11   1 .

ТогдаAD , то22ADпо формулам (17):x  1  xD 7  (1/ 2)  (5)xA  C 19,1  11/ 2  1y  1  yD 0  (1/ 2)  0yA  C 0,1  11/ 2  1z  1  z D 3  (1/ 2)  0zA  C 6,1  11/ 2  1следовательно,A(19, 0, 6) .Требуемые координаты вектора BA находим по формулам (10):BA  {19  (17), 0  0, 6  (3)}  {36, 0, 9} . ■Задачи для самостоятельного решения№9. Даны точки A(1, 2, 3) и B(0, 7,  1) .

Найти:а) координаты вектора AB и противоположного вектора BA ;52б) модуль вектора AB ;в) направляющие косинусы вектора BA ;г) координаты точки С, если BC  {1, 0, 5};д) координаты радиус-вектора точки А, его длину и направляющие косинусы.a  {2,  1,  2} образует с осями№10. Найти углы, которые векторкоординат.№11. а) Может ли вектор образовывать с осями координат следующие углы:1) 45, 45, 150 ; 2) 120, 30, 90 ; 3) 0, 90, 90 ; 4) 60, 145 ;5) 30, 150 ?б) Какой угол образует с осью Oz вектор а, если с осями Ох и Оу онобразует углы   60,   150 ?№12. а) Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор составляетравные углы с осями координат и его модуль равен 3.б) Радиус-вектор точки М составляет с осью Оу угол 60º, а с осью Oz –угол 45º; длина его равна 8.

Найти координаты точки М, если ее абсциссаотрицательна.в) Вектор а составляет с осью ординат и осью аппликат одинаковыеуглы в 60º. Найти угол между вектором а и осью абсцисс.г) Сила, равная по величине 6 ед., действует в направлении вектора,образующего с координатными осями Ох и Оу углы     60 . Найтипроекции вектора силы на координатные оси.bcаРис. 26.53d№13.

По данным векторам а, b, c, d (рис. 26) построить следующие векторы:а) а + b + c;б) – b + c;в) c + d;г) c – d;д) 3b + c / 2;е) – 2d + а / 3;ж) а + b + c + d.№14. Дан прямоугольник ABCD. Коллинеарны ли векторы: а) AD и CB ;б) AD  AB и DA  DC ; в) DA  AB и BC  CD ?№15. Дан треугольник АВС, в котором AB  p , BC  q . Выразить черезвекторы p и q векторы AK , BL , CM , где K, L, M – основания медиан АK, ВL,СM.№16. а) Даны две различные точки А и В окружности радиуса R с центром вточке О.

Равны ли векторы OA и OB ?б) Точки М и N являются концами некоторого диаметра этой жеокружности. Равны ли векторы OM и ON ; OM и NO ?№17. В параллелепипеде АВСDA'B'C'D'AB  p , AD  q , AA '  r .Выразить через векторы p, q и r векторы AC , AC ' , D ' B ' , B ' C , D ' B , DB ' .№18. Показать на чертеже и алгебраически, что для любых векторов p и qpqpqа) ( p  q)  (q  p)  2q ;б) ( p  q)  ( p  q)  2q ;в).q22Указание: использовать правило параллелограмма и сделать дополнительныепостроения.№19.

Упростить выражения:а) 2(3a  4b  5c)  3(a  2b  3c)  5(2a  3b  4c) ;б)2a  3b  4c 5a  6b  2c a  2b  6c.234№20. Даны | a |  13, | b |  19, | a  b |  24. Найти | a  b | .№21. Как должны быть расположены векторы а и b, чтобы модуль их суммы| a  b | был равен модулю их разности | a  b | ?54№22. Векторы а и b образуют угол   45 , | a |  3; | b |  5 . Определить| a  b | и | a  b |.№23. Представить следующие векторы в виде разложения по координатномубазису i, j, k в пространстве и по базису i, j на плоскости:а) a  {1,  2, 3}, b  {0,  1, 2} , c  {3, 0, 0} ;б) a  {3, 5} , b  {0,  1} , c  {4, 0} .№24.

Характеристики

Список файлов лекций