vector (1184634), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Присложениивекторовa  {ax , a y , az }иb  {bx , by , bz } их соответствующие компоненты складываются:a  b  {ax  bx , a y  by , az  by } .(5)При умножении вектора на число все его компоненты умножаются на эточисло:a  { ax ,  a y ,  az } .Следствие. Условиеколлинеарности(6)двухненулевыхвекторовa  {ax , a y , az } и b  {bx , by , bz }в векторной форме:в координатной форме:b  a ,(7)bx by bz ,ax a y az(8)т.е. соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны. Вчастности, соответствующие координаты равных векторов равны:bx  ax ,b  a  by  a y ,bz  a z .(9)Заметим, что до сих пор еще не было сказано, как находить координатывектора. Остановимся на этом вопросе.Определение. Радиус-вектором точкивекторOA .ЕгокомпонентысовпадаютOA  {x A , y A , z A} (рис.

11).30сA( x A , y A , z A ) называетсякоординатамиточкиА:Утверждение 2. Если вектор а задан двумя точками: началом в точкеM ( xM , yM , zM ) и концом в точке N ( xN , yN , z N ) , т.е. a  MN (рис. 12), то егодекартовы координаты ax , a y , az находятся по формулам:a x  xN  xM ,a y  y N  yM ,(10)az  z N  zM .Модуль вектора а вычисляется по формуле:| a |  ax2  a 2y  az2 .(11)Определение.A(xA, yA, zA)координат(cos  , cos  , cos  ) ,называютсянаправляющими косинусами этого вектораk(рис. 11).iуглов ,  ,  , которые вектор образует с осямиzхКосинусыjОуОни представляют собой компонентыединичного вектора и связаны соотношением:cos2   cos2   cos2   1 .Рис. 11.(12)Координаты вектора связаны с его направляющими косинусамиследующим образом:ax  | a | cos  ,a y  | a | cos  ,(13)az  | a | cos  .Замечание 2.Соотношения(11)-(13)прямоугольной декартовой системе координат.31справедливытольковzazN(xN, yN, zN)aM(xM, yM, zM)kayjiуОaххПРИМЕР 2.4.1.

ДаныРис. 12.A(1,  2, 0), B(2, 3,  1) ,точкивекторa  {0, 1, 2}. Найти:а) координаты вектора AB и противоположного вектора;б) модули векторов AB и BA ;в) направляющие косинусы вектора AB ;г) координаты точки С, с которой совпадает конец вектора а, если егоначало совпадает с точкой В.Решение. а) Начало вектора b  AB совпадает с точкой А, конец – сточкой В. Используя формулы (10), находим координаты bx , by , bz вектораAB :32bx  xB  x A  2  1  3,by  yB  y A  3  (2)  5,bz  z B  z A  1  0  1.Следовательно, AB  {3, 5,  1} , тогда противоположный вектор BA имееткоординаты BA  {3,  5, 1} .б) Применяя формулу (11), получим:| AB |  (3)2  52  (  1)2  35  | BA | .в) Направляющие косинусы вектора AB находим из формул (13):3  35 cos   cos   3,355,3511  35 cos   cos   .355  35 cos   cos  г) Имеем a  BC .

Обозначая координаты точки С через xC , yC , zC , спомощью формул (10) получим уравнения:0  xC  (2),1  yC  3,2  zC  (1).Откуда xC  2, yC  4, zC  1 и, следовательно, C (2, 4, 1) .■ПРИМЕР 2.4.2. Может ли вектор составлять с координатными осямиуглы: а)   45,   135,   60 ;б)   150,   30 ?Решение. а) Проверяем, выполняется ли соотношение (12):cos2 45  cos2 135  cos2 60 222 2 2 11 1 11         1  1.2 2 44 2   2   2Ответ: не может.б) Поскольку угол γ не задан, попытаемся найти его из соотношения (12):cos2 150  cos2 30  cos2   1 ,33223  32   cos   1 , 2   2 3 31  cos2   1  cos2    .4 42Ответ: не может.■ПРИМЕР 2.4.3.

Дан модуль вектора | a |  3 и углы, которые этот векторсоставляет с осями координат   45,   60,   120 . Найти проекциивектора а на координатные оси.Решение. Отмечая,чтоcos2 45  cos2 60  cos2 120  1 , искомыепроекции ax , a y , az находим по формулам (13):3 2,23a y  | a | cos   3cos 60  ,23az  | a | cos   3cos120   . ■2a x  | a | cos   3cos 45 ПРИМЕР 2.4.4. Определить координаты точки М и координаты еерадиус-вектора,еслипоследнийсоставляетскоординатнымиосямиодинаковые углы и его модуль равен 5 3 .Решение.

Т.к.      , то соотношение (12) приводит к уравнениюcos2   cos2   cos2   1 ,разрешая которое относительно cos  , получим cos2   1 3  cos   13.Координаты точки M ( xM , yM , zM ) совпадают с координатами ее радиусвектора, т.е. вектора OM  {xM , yM , zM } . Т.к. получено два значения cos  ,то по формулам (13) имеем два радиус-вектора OM 1 , OM 2 и две точки М1 иМ2:341 5  M1 (5, 5, 5), OM 1  {5, 5, 5};3 1 xM 2  yM 2  zM 2  5 3     5 3xM1  yM1  zM1  5 3 M 2 (5,  5,  5), OM 2  {5,  5,  5}. ■ПРИМЕР 2.4.5. По данным векторам а, b и с (рис.13) построитьвекторы:а) a  b ; б) a  b ; в) a  b ; г) a  b  c ; д) a / 2 ; е) 2b ; ж) 2b  a / 2 .bcаРис. 13.Решение.

а, б) В произвольной точке А (рис.14) строим вектор, равныйвектору а, и вектор, равный вектору b, после чего на этих двух векторах, как насторонах, строим параллелограмм АBCD. Тогда по правилу параллелограммаего направленная диагональ, выходящая из точки А, будет векторомAC  a  b , а вторая диагональ этого параллелограмма с направлением отконца вектора b (точка В) в конец вектора а (точка D), будет векторомBD  a  b .а+bBKCа–bbAаD–а–bРис. 14.в) Посвойствулинейныхоперацийa  b  (a  b)   AC  CA , т.е.

у векторанадвекторамиAC  a  b надо изменитьнаправление или в точке А построить вектор AK  CA (рис. 14).г) Строим вектор a  b  c по правилу треугольника, используя свойство линейных операций: a  b  c  (a  b)  c  AC  c (рис. 15а). От конца уже35построенного вектора a  b (точка С) откладываем вектор CE , равный векторус, и соединяем начало первого (точка А) с концом последнего (точка Е),получаем вектор AE  a  b  c .CAHса+b+саAсbGа+b+сЕРис.

15а.ЕРис. 15б.Иначе: можно в произвольной точке А построить вектор AG , равныйвектору а (рис. 15б), от его конца (точка G) отложить вектор GH , равныйвектору b, от конца последнего (точка Н) отложить вектор HE , равный векторус, и, наконец, соединить начало первого вектора (точка А) с концом последнего(точка Е) и получить вектор AE  a  b  c .МL2bB2b – а/2bF – а/2 AаDРис. 16.д) Рис. 16: на продолжении вектора AD  a откладываем отрезок AF,длина которого в два раза меньше длины отрезка AD.

Получаем вектор AF снаправлением, противоположным вектору а (согласно определению λ а).е) Рис. 16: продолжаем вектор AB за точку В на длину вектора AB ,получаем вектор AL  2b .ж) Рис. 16: т.к.2b  a / 2  2b  (a / 2)  AL  AF , то по правилупараллелограмма, построенного на векторах AL и AF , как на сторонах,диагональ, выходящая из точки А в направлении точки М, будет искомымвектором AM  2b  a / 2 . ■36ПРИМЕР 2.4.6. Доказать, что при любом расположении точек А, В и Ссправедлива формула AB  BC  CA  0 .Решение. Как бы ни были расположены точки А, В и С (на рис. 17показаны три из возможных вариантов), складывая векторы по правилутреугольника, имеем: от конца вектора AB (точка В) откладываем вектор BC ,затем от конца вектора BC (точка С) откладываем вектор CA , началорезультирующего вектора совпадает с началом первого из векторов-слагаемых,т.е.

с точкой А, а конец – с концом последнего из векторов-слагаемых, т.е. с тойже точкой А. Таким образом, у результирующего вектора начало совпадает сконцом, это и есть нуль-вектор 0 . Справедливость формулы доказана. ■CAВСAВAСABСCABCBCВAABРис. 17.ПРИМЕР 2.4.7. Показать, что | a  b |  | a |  | b | . При какомусловии на векторы а и b имеет место знак равенства?Решение. Если векторы а и b не коллинеарны, то три вектора а, b иа + b образуют треугольник (рис. 18а), в котором длина одной стороны | a  b |меньше суммы длин двух других сторон | a |  | b | по неравенству треугольника.37ааbаbbа+bа+bРис.

18а.а+bРис. 18б.Рис. 18в.Если векторы а и b коллинеарны и одинаково направлены, то| a  b |  | a |  | b | (рис. 18б).Если векторы а и b коллинеарны и направлены противоположно, то| a  b |  | a |  | b | (рис. 18в).■ПРИМЕР 2.4.8. Векторы а и b образуют угол 120º, | a |  3, | b |  5 .Вычислить | a  b | и | a  b | .Решение.

На рис. 19 изображенывекторa  OAиb  OB .а–bявляютсяCАа–bСогласноправилу параллелограмма, векторы а + bиа+bдиагоналямипараллелограмма ОАСВ (рис. 19).а 120ºОb60ºВРис. 19.Применим теорему косинусов к треугольнику ОАВ:| a  b |2  | a |2  | b |2 2 | a |  | b | cos  (  AOB)или| a  b |2  32  52  2  3  5  cos120  9  25  30  (1/ 2)  49 ,следовательно, | a  b |  7 .Применяя ту же теорему в треугольнике ОСВ, получим:| a  b |2  | a |2  | b |2 2 | a |  | b | cos (  OBC )или| a  b |2  32  52  2  3  5  cos 60  9  25  30  (1/ 2)  19 ,и тогда | a  b |  19 . ■38ПРИМЕР 2.4.9. Даны векторы a  {3,  2, 6}, b  {2, 1, 0}.а) Найти векторы 1) a  b ; 2) a  b ; 3) 2a ; 4)bb; 5)  2a .22b 2a .2в) Найти направляющие косинусы векторов а и b / 2 .б) Вычислить | a | , | a  b | иРешение.

а) По формуле (5) находим1) a  b  {3  2,  2  1, 6  0}  {1,  1, 6} .По формуле (6) получаем b  {2,  1, 0}, тогда по формуле (5)2) a  b  a  (b)  {3  2,  2  1, 6  0}  {5,  3, 6}.По формуле (6)3) 2a  2 {3,  2, 6}  {6, 4,  12} .4) b / 2  {2 / 2, 1/ 2, 0 / 2}  {1, 1/ 2, 0} .По формуле (5), используя результаты 3), 4), имеем5)b19 2a  {1, , 0}  {6, 4,  12}  {7, ,  12} .222б) Воспользовавшись результатом 1), 5) пункта а), по формуле (11)находим| a |  32  (2)2  62  9  4  36  7 ,| a  b |  12  (1)2  62  38 ,b 2a  (7)2  (9 / 2)2  (12)2  853 / 2 .2в) С использованием результата б) по формулам (13) для вектора а имеем3  7 cos  cos   3/ 7,2  7 cos   cos   2 / 7,6  7 cos  cos   6 / 7.Чтобы воспользоваться теми же формулами для вектора b / 2 , надо сначалавычислить его модуль: b / 2  (1)2  (1/ 2)2  02  5 / 4  5 / 2 .

Характеристики

Список файлов лекций