vector (1184634), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если раскрытьвыписанные определители второго порядка по формуле (1) и перегруппироватьслагаемые, получимa11 a12a21 a22a31 a32a13a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 (3)a33(a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32 ).10Формула (3) представляет собой способ вычисления определителейтретьего порядка, называемый правилом треугольников. Его можно запомнитьс помощью схем:«+»«–»Схема 1.Схема 2.Произведения троек чисел в схеме 1 берутся с получающимися приперемножении знаками, в схеме 2 – с противоположными.Вообще полезно помнить, чтоопределитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки(столбца) на их алгебраические дополнения.В дальнейшем для обозначения определителя любого порядка будемпользоваться также символом .Свойства определителей При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак напротивоположный.
Например,a11 a12a21 a22a31 a32a13a12a23 a22a33a32a11 a13a21 a23 .a31 a33 Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя:a11 a12a21 a22a31 a32ka13a11 a12ka23 k a21 a22ka33a31 a3211a13a23 .a33 Если каждый элемент i–й строки (столбца) представляет собой сумму двухслагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двухопределителей, в первом из которых на месте i–й строки (столбца) стоятпервые из упомянутых слагаемых, а во втором – вторые; остальные элементыопределителей-слагаемых одинаковы.
Например,a1 d1a2 d 2a3 d3b1b2b3c1a1c2 a2c3a3b1b2b3c1d1c2 d 2c3d3b1b2b3c1c2 .c3 Величина определителя не изменится, если его транспонировать вокругглавной диагонали, т.е. заменить строки соответствующими столбцами:a11 a12a21 a22a31 a32a13a11a23 a12a33a13a21a22a23a31a32 .a33 Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки(столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца),умноженные на одно и то же число:a11 a12a21 a22a31 a32Заметим,чтоa13a11a12a23 a21a22a33a31 ka11 a32 ka12данноепреобразованиестрокa13.a23a33 ka13(столбцов)называетсяэлементарным преобразованием. Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равеннулю:a11 a12a21 a22a31 a32a12a22 0 .a32 Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определительравен нулю:12a11 a1200a31 a32a130 0.a33 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорциональны,то определитель равен нулю:a11 a12a21 a22ka11 ka12ПРИМЕР 1.1.1.
Используяa13a23 0 .ka13формулы(1)или(3),вычислитьопределители:1 2а);3 01 2 3б) 4 5 6 ;7 8 9cos в)sin Решение. а) По формуле (1) имеем:sin ;cos 0 a aг) a 0 a .a a 01 2 1 0 2 (3) 6 .3 0б) По правилу треугольников (3) получаем:1 2 34 5 6 1 5 9 7 2 6 3 4 8 (3 5 7 1 6 8 9 2 4) 0 .7 8 9в) Применяем формулу (1):cos sin sin cos2 sin 2 cos 2 .cos г) По формуле (3):0 a aa 0 a 0 0 0 a a a a a a a 0 a 0 a a 0 a a 2a 3 .a a 0■ПРИМЕР 1.1.2.
Используя подходящие свойства определителей, найтиих значения:131 23а); б) 45 6 ;a a22 4 61a1 a 0 1в) 1 a 0 1 ;a0 a1 2a 1 aг) 1 2b 1 b .a4 a 2Решение. а) Определитель равен нулю, т.к. его строки (и столбцы)пропорциональны:1 a.a a2б) Определитель равеннулю, т.к.егоперваяи третьястрокипропорциональны.в) Определитель равен нулю, т.к. его второй столбец содержит тольконули.г) Используя свойство , представляем данный определитель в видесуммы двух определителей:1 2a 1 a1 1 a2a 1 a1 2b 1 b 1 1 b 2b 1 b .a4 a 2a a 24 a 2Оба полученных определителя равны нулю: первый содержит два одинаковыхстолбца, а во втором первый и третий столбцы пропорциональны.
■ПРИМЕР 1.1.3. Решить уравнения и неравенства:а)x21x3 8 4 0;Решение. а) Т.к.имеетсяобщийб)x12x 0;x 1x x 2 x3в) 1 2 3 0 .1 2 3x3 8 ( x 2)( x 2 2 x 4) , то в первом столбцемножительx 2,который,согласносвойствуопределителей, можно вынести за знак определителя:1111( x 2) 2 0 , откуда x 2 0 или 2 0.x 2 x 4 4x 2 x 4 4Решая два последние уравнения, получим: x1 2 и144 x2 2 x 4 0 ;x2 2 x 0 ;x2 0, x3 2 .б) Раскрывая определитель, имеем: x( x 1) 2 x 0 ;x2 x 0 , т.е.x( x 1) 0 . Далее применим метод интервалов (рис.1):–+0+1xРис. 1В результате имеем, что неравенство выполняется при 0 x 1.в) Раскрывая определитель по первой строке, получим:x2 31 31 2 x2 x3 x 0 x 2 6 x3 4 .2 31 31 2Неравенство 4 x3 6 x2 0 запишем в виде 2 x 2 (2 x 3) 0 и решим методоминтервалов:––0+3/2xРис.
2Ответ: x 3/ 2 .■ПРИМЕР 1.1.4. Найти указанные миноры и алгебраические дополнениядля определителей:а) 1 2; M12 , A12 ; M 22 , A22 ;3 01 2 3б) 0 1 0 ; M13 , A13 ; M 32 , A32 .2 1 0Решение. а) Чтобы получить минор M12 , в определителе ∆ вычеркиваемпервую строку и второй столбец: M12 3 , тогда A12 (1)1 2 M12 3 .Аналогично, M 22 1, тогда A22 (1)2 2 M 22 1.15иб) Минор M13 получается из определителя ∆ вычеркиваем первой строки0 1третьегостолбца:следовательно,M13 0 2 2 ,2 1A13 (1)13 M13 1 (2) 2 . Таким же образомM 32 1 300 0иA32 (1)3 2 M 32 1 0 0 . ■ПРИМЕР 1.1.5.
Разложением по первой строке и по третьему столбцувычислить определитель1 1 2 0 2 1 .31 0Решение. Дан определитель третьего порядка. По формуле (2) егоразложение по первой строке выглядит так: a11 A11 a12 A12 a13 A13 1 (1)11 M11 (1) (1)1 2 M12 2 (1)13 M13.Тогда1 1 22 10 10 2 0 2 1 1 1 1 (1) 2 11 03 0313 1 0 1 (0 1) 1 (0 3) 2 (0 6) 16.Вычислим тот же определитель разложением по третьему столбцу: 2 A13 (1) A23 0 A33 0 21 1 2 (1)13 (1)23 0 2 6 1 3 16.313 1Очевидно, что результат не зависит от способа вычисления детерминанта.
■ПРИМЕР 1.1.6. Вычислить определитель ∆ разложением по какой-либостроке или столбцу. Предварительно, пользуясь свойством , проделать надэтой строкой (или столбцом) такие элементарные преобразования, чтобы всеэлементы, кроме одного, обратились в нули.161 1 2а) 0 2 1 ;31 02 10 1б) 3 13 11 02 1;2 36 12 3 3 42 1 1 2в) .6 21 02 3 0 5Решение. а) Вторая строка уже содержит один нулевой элемент. Чтобыобратить еще один (в данном случае а22) элемент этой строки в нулевой,умножим третий столбец на –2 и прибавим его ко второму. После этоговычислим определитель, разложив его по второй строке:1 1 21 5 2 0 2 1 0 0 1 31 031 0 0 A21 0 A22 1 A23 (1) 23 1 5 16.31б) Заметим, что a14 0 , обратим еще два элемента четвертого столбца внули: вторую строку прибавляем к четвертой; ее же умножаем на 3 иприбавляем к третьей строке.2 10 13 13 11 02 12 10 12 33 26 13 21 02 1 0,8 08 0т.к.
определитель содержит две одинаковые строки.в) Выносим общий множитель первого столбца за знак определителя иделаем преобразования для получения еще двух нулей в третьей строке. Дляэтого умножаем третий столбец на –3 и прибавляем к первому, умножаемтретий столбец на –2 и прибавляем ко второму.2 3 3 42 1 1 226 21 02 3 0 511313 3 410 9 3 41 1 24 3 1 22.21 00 01 03 0 51 3 0 517Разложение определителя по третьей строке содержит всего одно слагаемое:10 9 410 3 4 2 1 A33 2 (1)33 4 3 2 2 3 4 1 2 .1 3 51 1 5Полученныйопределительбудемраскрыватьповторомустолбцу.Предварительно обратим в нули элементы a12 и a22 ; для этого домножимтретью строку на –3 и прибавим к первой, затем домножим третью строку на –1и прибавим ко второй.
В результате будем иметь:10 3 47 0 197 196 4 1 2 6 3 0 7 6 1 (1)3 2 6 (49 57) 48 . ■3 71 1 51 1 5Замечание 3. Рассмотренные выше примеры являются иллюстрациейразличных способов вычисления определителей. Каждый из них можно быловычислить и другими способами.Приведем еще правило, позволяющее решать системы из п линейныхуравнений с п неизвестными x1, x2 ,a11x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2an1x1 an 2 x2 , xn (правило Крамера): a1n xn b1 , a2n xn b2 ,(4) ann xn bn .Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных называетсяматрицей системы.
Обозначим ее буквой А: a11 a12aaA 21 22 an1 an 218a1n a2n .ann Теорема (правило Крамера). Если определитель матрицы системы(4) отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение, определяемоеформулами:xi i(i 1, 2,, n) ,где det A , i – определитель матрицы, полученной из А путем замены вней i-го столбца на столбец правых частей системы (4).Замечание 4. В случае 0 правило Крамера дает единственноерешение системы уравнений. Если же 0 , правило Крамера не применимо.
Вэтом случае система (4) может либо не иметь решений вовсе, либо иметьбесконечное множество решений. Для нахождения этих решений следуетприменять иные способы, в данном пособии не рассматриваемые.ПРИМЕР 1.1.7. ПрипомощиправилаКрамерарешитьсистемууравнений2 x1 x2 x3 3,3x1 2 x2 3x3 5, x x x 0. 1 2 3Решение. Вычислим определитель матрицы системы ∆ разложением попервой строке.2 1 12 33 33 2 3 2 3 2 (1) 2 1 (1)3 1 (1) 4 1 11 11 11 1 1 2 (2 3) 1 (3 3) 1 (3 2) 3. 0 , значит, правило Крамера применимо.Вычислим определители i .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
