vector (1184634), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Определитель 1 – разложением по первомустолбцу:193 1 12 31 11 5 2 3 3 (1) 2 5 (1)3 01 11 10 1 1 3 (2 3) 5 (1 1) 3; 2 – разложением по второму столбцу:2 3 13 32 1 2 3 5 3 3 (1)3 5 (1) 4 01 11 11 0 1 3 (3 3) 5 (2 1) 3;3 – разложением по третьему столбцу:2 1 33 22 13 3 2 5 3 (1) 4 5 (1)5 01 11 11 1 0 3 (3 2) 5 (2 1) 0.Теперь можно найти все три неизвестные:3x1 1 1; 33x2 2 1; 30x3 3 0. 3В заключение сделаем проверку: подставим найденные значенияx1, x2 , x3 в уравнения системы.2 1 (1) 0 3,3 1 2 (1) 0 5,1 (1) 0 0.Все три уравнения обратились в тождества, значит, решение найдено верно.
■Задачи для самостоятельного решения№1. Вычислить определители, пользуясь формулами (1) или (2):а)1 3cos ; б)5 4sin 1 2 0sin ; в) 0 1 3 ;cos 5 0 120aг) 1/ a110a3a 2 .1/ a 2a№2. Используя свойства определителей, вычислить определители:а)1bb2b3;1 sin 1б);1 sin 1a1в)a2a1 a2b1b2b1 b2c1.c2c1 c2№3. Найти указанные M ij и Aij для определителей:1 1 1а) 1 1 1 ; M 31 , A31; M12 , A12 ;1 1 12 3б); M11, A11; M 21, A21; M12 , A12 ;4 5M 22 , A22 .№4. Решить уравнения или неравенства:2cos 1а) 0;11x2 2б) 0;3 43x 4в)21 3 0 ;x 10 1 14x 0 1г) 6 2 x 0 0 .8 0 11 2 3№5. Вычислить определитель 21 3 четырьмя способами:2 4 1а) по правилу треугольников;б) разложением по первой строке;в) разложением по второму столбцу;г) разложением по третьей строке, предварительно обратив в нули два ееэлемента.№6.
Вычислить определители:0а) sin ctg sin 0sin ctg sin ;01 2 1 423 4 1б);01 1 031 3 32188в)407 2 02 7 10.4 4 54 3 2№7. Не раскрывая определители, доказать справедливость равенств:a1b1c1а)a2b2c2 0; a1 a2 b1 b2 c1 c21 0 4в) 0 1 2 0 ;2 0 81 3 4б) 2 4 2 0 ;0 1 11 0 01 2 3г) 2 31 21 5 .3 8 23 2 7№8. Применяя правило Крамера, решить системы уравнений: 2 x y 3,а) 5 x 4 y 1;2 x y 4 z 0,б) 3x 4 y z 7,4 x y z 7.222 x1 2 x2 x3 7,в) 3x1 x2 3x3 2,5 x x 2 x 9.3 1 2ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ§2.1. Основные понятия, определенияВо многих разделах математики, механики, физики, технических наукразличают величины скалярные и векторные.Величина, для определения которой достаточно задать только еечисленное значение, называется скалярной. Примерами скалярных величинслужат длина, площадь, масса, температура, сопротивление и др.
Объекты,которые характеризуются не только численным значением, но и направлениемв пространстве, называются векторными. Векторами являются, к примеру,скорость, сила, напряженность электрического или магнитного поля и др.Векторную величину можно изобразить направленным отрезком.Определение. Вектором называется отрезок,Nконцы которого упорядочены. Первый из его концовназывается началом, второй – концом вектора.Обозначается a , MN , где М – начало вектора,aМN – его конец (рис.3).Рис.
3.Если вектор обозначен одной буквой, то в печати обычно стрелка над нейне ставится, а сама буква выделяется жирным шрифтом: a a .Введем ряд понятий.1) Вектор NM называется противоположным вектору MN .2) Нулевой вектор – вектор, у которого начало и конец совпадают.Обозначается 0 или 0.
Нулевой вектор не имеет направления.3) Модуль (длина) вектора – это расстояние между его началом и концом.Обозначается | a |, | MN | Модуль нулевого вектора равен нулю | 0 | 0 .234) Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице.Определение. Коллинеарные векторы – векторы,лежащие на одной прямой или на параллельных прямыхab(рис.4).
Обозначаются a b . Нулевой вектор считаетсяколлинеарным любому вектору.Рис. 4.Определение. Компланарные векторы – векторы, лежащие в однойплоскости или в параллельных плоскостях.Заметим, что любые два вектора всегда компланарны.Определение. Векторы а и b называются равными,abесли они: 1) коллинеарны, 2) их длины равны, 3) они имеютодинаковое направление (рис.5). Обозначение: a b .Рис. 5.Замечание 1.
Понятие равенства векторов отличается от понятияравенства скалярных величин. Из последнего определения следует, чторавными будут не только полностью совпадающие векторы, т.е. имеющиеобщую начальную и общую конечную точки, но и те, которые можносовместить при помощи параллельного переноса. Итак,Если точка приложения вектора может быть любой, то есть его можнопереносить, то вектор называется свободным.Вектор называется скользящим, если его можно перемещать вдоль прямой,проходящей через начало и конец вектора.Векторы, для которых точка приложения имеет существенное значение,называются связанными (например, радиус-вектор точки, который будетопределен ниже, или сила, действующая на тело).24§2.2.
Линейные операции над векторамиК линейным операциям относятся операции сложения и вычитаниявекторов, умножение вектора на число. Рассматривать будем лишь свободныевекторы.Напомним два правила сложения векторов. Пусть даны три вектораa, b, c (рис. 6).bcаРис. 6.a) Правило треугольника. От произвольно выбранной точки откладываемвектор, равный вектору а; от его конца откладываем вектор, равный вектору b;строим вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец –с концом второго вектора, это и есть вектор а + b (рис. 6а). Аналогичнополучается сумма любого конечного числа векторов (рис.
6б).ааbbcа+b+са+bРис. 6а.Рис. 6б.б) Правило параллелограмма. От произвольно выбранной точки откладываемоба вектора-слагаемые а и b; на этих двух векторах, как на сторонах, строимпараллелограмм. Направленная диагональ этого параллелограмма, выходящаяиз общего начала векторов а и b представляет вектор а + b (рис. 7).а–bааа+bm=а–bbbРис. 7.Рис. 8.25Определение.
Разностью векторов а и b называется вектор m a bтакой, что b m a (рис 8). На рис. 7 вектор m a b есть другая диагональпараллелограмма с направлением от конца вектора b к концу вектора а.Заметим, что вектор b является противоположным вектору b.Определение. Произведением вектора ана число λ называется вектор λ а, 1) коллинеарныйвекторуа,2) имеющий| | | a |,длинуλa(λ = –2)а3) направленный так же, как вектор а, если λ > 0, ипротивоположно, если λ < 0 (рис. 9) .Рис. 9.Определение. Орт вектора а – единичный вектор, имеющий то женаправление, что и а; обозначается аº.Отметим важное равенство: a | a | a , т.е.
любой вектор может бытьпредставлен в виде произведения его орта на число, равное его модулю, откудаполучаем формулу для нахождения орта вектораa a.|a|(1)Свойства линейных операций над векторами Сложение коммутативно: а + b = b + а. Сложение ассоциативно: а + (b + с) = (а + b) + с. а + 0 = а. Дистрибутивность: (λ1 + λ2) а = λ1 а + λ2 а. Дистрибутивность: λ (а + b) = λ а + λ b. 1 a a . Вектор –а, противоположный вектору а, можно представить в виде:a (1) a .26§2.3. Линейная зависимость и независимость векторовОпределение. Выражение вида 1a1 2a2 линейной1, 2 ,комбинациейвекторовa1, a2 ,, an nan называетсяскоэффициентами, n .Определение.
Система векторов a1, a2 ,, an называется линейнозависимой, если существует их линейная комбинация, равная нулевомувектору:1a1 2a2 nan 0 ,причем хотя бы один из коэффициентов 1, 2 ,(2), n в этой линейнойкомбинации отличен от нуля.Если векторы a1, a2 ,, an линейно зависимы, то хотя бы один из нихможет быть представлен в виде линейной комбинации остальных: например,приλ1 ≠ 0 из равенства (2) следует, чтоa1 2a2 nan , гдеi i / 1, i 2,..., n .Определение.
Система векторов a1, a2 ,, an называется линейнонезависимой, если равенство (2) имеет место только при 1 2 n 0 .Теорема о линейной зависимости систем векторов1) Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.2) Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда этивекторы компланарны.3) Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда этивекторы коллинеарны.4) Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когдаэтот вектор нулевой.27Определение. Базисом в пространстве называется упорядоченнаясистема линейно независимых векторов такая, что любой вектор может бытьпредставлен в виде линейной комбинации этих векторов.Следствие теоремы о линейной зависимости систем векторов1) в трехмерном пространстве базис– упорядоченная тройка любыхнекомпланарных векторов;2) на плоскости базисом является любая упорядоченная пара неколлинеарныхвекторов;3) на прямой линии базисом является любой ненулевой вектор;4) в пространстве, состоящем из одного лишь нулевого вектора, базиса несуществует.Далее будем работать в пространстве размерности три.
Итак, любойвектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисныхвекторов. Это представление называется разложением вектора по базису иосуществляетсяназываютсяединственнымкоординатамиилиобразом.КоэффициентыкомпонентамиОбозначается a {a1, a2 , a3} , a a1e1 a2e2 a3e3 .28вектораразложениявбазисе.§2.4. Координатное представление векторовОпределение. Декартовой системой координат в пространственазывается совокупность точки и базиса. Точка обычно обозначается буквой Ои называется началом координат. Прямые, проходящие через началокоординат в направлении базисных векторов, называются осями координат.Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатнымиплоскостями.Определение.Декартовасистемаzкоординат называется прямоугольной, если все еебазисные векторы попарно перпендикулярны иих модули равны единице.
Часто для векторовтакого базиса вводят специальные обозначения:i , j , k (рис. 10).kxiOjyРис. 10.Направление векторов i , j , k выбирают совпадающим с направлениемосей Ох, Оу, Оz, так что эти базисные векторы являются ортами осейдекартовой прямоугольной системы координат.Хотя многие утверждения и свойства справедливы в произвольнойдекартовой системе координат, в дальнейшем изложении система координатбудет подразумеваться прямоугольной декартовой, если специально неоговорено иное.Итак, любой вектор а пространства может быть разложен по базисуi , j, k :a ax i a y j az k ,(3)где ax , a y , az – координаты вектора а в этом базисе; иначе они называютсяпроекциями вектора а на координатные оси Ох, Оу, Оz соответственно.Можно записать также29a {ax , a y , az } ,(4)В дальнейшем мы будем задавать векторы и в форме (3), и в форме (4).Из свойств линейных операций над векторами следуетУтверждение 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
