Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Первый закон термодинамики. Реализация какого- либо процесса обычно сопровождается совершаемой внешними телами работой ЙА<'~ над системой и (или) притоком тепла НЯ('> к системе извне. В результате взаимодействия системы с внешними телами изменяются и параметры состояния р„.
Далее мы будем предполагать, что по приращениям параметров Фв могут быть определены величины длине~ и дф'~, то есть 4А~') = Р„4р„, (2.25) ~здесь по повторяющемуся индексу я предполагается сумми- рование). Гл. 2. Фундаментальные законы механики Примем также, что дА~') равна взятой с противоположным знаком работе, совершаемой системой над внешними телами (из принципа действия и противодействия это утверждение еще не вытекает, так как должны быть ровны перемещения границ системы и внешних объектов). Тогда связь между работой системы — дА(с~ и притоком тепла с)с~~'~ устанавливается первым законом термодинамики, который является обобщением опытных данных.
Воспользуемся такой Срормулировкой этого закона: суммарная работа, совершенная системоо в циклинескояс процессе, равна притоку тепла, подведенноео на всем протяжении цикла. Из этого утверждения, очевидно, следует невозможность создать циклическое устройстио ~вечный двигатель первого рода), которое бы производило работу, не потребляя тепло от внешнего источника. Покажем, что если в результате некоторого процесса, изображаемого в пространстве рв кривой Еу (см.
рис. 12; стрелками Рис. 12. Пути интегрировании в пространстве параметров состопнип при вычислонии притопа тепла и елвершвниоа системой работы на рисунке указана направление обхода контуров), система переходит из состояния А в состояние В, то на основании первого закона термодинамики величина интеграла не зависит от Сы а определяется только начальным и конечным состояниями системы.
Действительно, на основании первого закона термодинамики в случае циклического процесса, которому отвечает замкнутый контур Еу+ Е, имеем — Вп др,„= Оп дуап. 2.8. Первый закон термодинамики. Энергия 49 Но и для любого другого контура,Сэ, соединяющего точки А и В, справедливо аналогичное равенство. Значит, Из (2.26) видно, что интеграл от функции (Р„+ (~„) не зависит от пути интегрирования. Следовательно, вырал1ение (Р„+С1„) Йр„ является полным дифференциалом некоторой функции Я, которая называется полной энергией системы. При этом Йд = (1э„+ Я„) Йр,„= ЙА('1 + ЙЯ('). (2.27) Ясно, что с вычисляется с точностью до аддитивной постоянной, зависящей от параметров начального состояния.
Определим теперь плотность кинетической энергии частицы сплошной среды как Е = е /2 (то есть Š— кинетическая энергия единицы массы среды). Поскольку полная энергия д, вообще говоря, не равна кинетической энергии системы, то для частицы с массой рЙТ можно записать с = (Е+ 1э)рот, где с1 называется ПЛОТНОСТЬЮ ВНУТРЕБНЕй ЭНЕРГИИ. Вводя обозначения Еь = ЕрЬТ, У,„= ПрЬТ, из (2.27) получим закон сохранения энергии в виде Йд =- ЙЕЛ + Щ„=- ЙА('1 + сК)1'1. (2.28) Выведем далее выражение для ЙЕТ, воспользовавшись уравнением движения в дифференциальной форме (2.8). Предварительно, однако, обобщим понятие кинотической энергии малой частицы сплошной среды, определив кинетическую энергию Еь конечного индивидуального (подвижного) объема т, ограниченного поверхностью Н, формулой / реэ Еь = ( — Йт = РЕЙТ.
,/ 2 Найдем затем изменение Еь за время Йг, умножая для этого (2.8) на ийг и интегрируя гголученное равенство по т. В результате будем иметь сЬГ /'др~ дри да>,'~ рий — = р и'1гй + ( — + —" + — ) и сИ, Ж ~т дх ду дг э) Йи Й у ро~ рий$ — Йт = — / — Йг Йт = ЙЕы й Йс! 2 4 Зак 211 Гл. 2. Фундаментальные законы механики 50 Или ЙЕь = рРы1гот+ р„чМЫЕ- т и дч дч дч~ — р — + ра —, + р„— ) Ю Йт. (2.29) "ди "др "дв НА(0 = — ! (р — +ра — +р,—, ~ (1ь'д~ Г / дч дч дч'~ / ~ 'д "др 'д,) т (в общем случае ЫА(0 — работа, обусловленная процессами деформации и вращением частиц объема т). Применяя к (2.29) теорему о среднем для малого объема Гхт, будем иметь 2 оЕ = д — = Гч ~1г+ 2 ~й /др и драч др,ч дч дч дч'~ "Р(, д др "д рд рд ~'д,Г'' причем здесь Р— внешние массовьп: силы, так как в известных случаях работа внутренних массовых сил стремится к нулю при Гхт -+ О, Следовательно, дЕ;, = йА(') + ЫА(0 и (2.28) принимает вид дЕ = дА~') + ЫАП) + дУ = дА") + й~~е).
Или ь)(Г ) 10) + 1д(е) Уравнение (2.30) называется уравнением притока тепла (2.30) Из (2.30) следует (КГ 1 / дч дч ди'~ ( Р + Ра — + Р— ) + 9("), (2.31) ~Й р дт "дй 'дх где цд)е) 9(е) Пш а о рьттог ж-~о Соотношение (2.29), называемое теоремой об изменении кинетической знергии (или теоремой живых сил), показывает, что АЕь обусловлено работой массовых и внешних поверхностных сил (соответственно первые два слагаемых в правой части (2.29)), а также работой ЫА(0 внутренних поверхностных сил, равной 2.8.
Первый закон термодинамики. Энергия 81 равно притоку немеханической энергии иавне к единице массы среды в единицу времени. Величина йЯ~'1 (а значит, и д~')) может быть обусловлена различными физическими пропессами, среди которых и такой часто встречающийся в приложениях, как обмен теплом между телами посредством теплопроводности.
Механизм теплопроводности тесно связан с понятием температуры Т,которое в повседневной жизни отражается в чувственных ощущениях. Мы говорим, что тело А имеет более высокую, чем тело В, температуру, если при соприкосновении тел А и В происходит переход тепла от А к В (тело В при этом нагревается). С молекулнрно-кинетической точки зрения температура характеризует среднюю энергию хаотического теплового движения атомов и молекул.
Энергия от частиц с большей хаотической скоростью передается частицам с меньшей хаотической скоростью путем столкновений и этот процесс носит название теплопроводности. Тепло в этом случае поступает к выделенному объему сплошной среды Ьт только через ограничивающую этот объем поверхность 44Е. Таким образом, й„)® = Ц йЕ, где Я вЂ” — некоторая скалярная ЛЕ функция координат точек поверхности ЬЕ. С другой стороны, из (2.30) вытекает, что о4)~'1 имеет порядок Ьтй, то есть с точностью до малых более высокого порядка дЯ~') = д1'1 рот й. Следовательно, интеграл ЯдЕ должен сво- ЛЕ диться к объемному и поэтому для 1~ должна иметь место формула Я = — (д,н, + увпв+ у,'г~,) й (и — единичный вектор нормали к поверхности ЬЕ). Но так как Я вЂ” скаляр, то д„дл, Ч.
можно рассматривать как компоненты некоторого вектора, который называется вектором потока тепла с1. Тогда сЦ~'~ .= — г1п 41Е й = — Йч 41 от й. На практике для 41 часто используется экспериментально установленный закон Фурье с1 = — крас1 Т (к > 0 — коэффициент теплопроводности). 4' Гл. 2. Фундаментальные законы механики 52 Видно, что согласно закону Фурье перенос тепла происходит от более нагретых к менее нагретым частям тела.
В более общей форме эта особенность теплообмена устанавливается вторым законом термодинамики, количественной формулировке которого и вытекаюгцим из нее положениям посвящен следукипий параграф. 2.9. Второй закон термодинамики, его формулировка, понятие энтропии Второй закон (второе начало) терлсодинамитси является фундаментальным положением, обобщающим все известные опытные данные и согласующимся с физическими теориями строения и взаимодействия материальных тел. В соответствии со вторым законом термодинамики невозмозкно создать дстройетво (вечссьсй двигатель всяороео рода), которое передавало бы, теяло от.
тела с лсеныаей темиератдрой телу с больсаей темяератдрой без каких-либо изменений во внешних телах. Прежде чем дать количественную формулировку второго закона термодинамики, определим такие понятия как термодкнамическое равновесие, равновесные процессы, обратимые и необратимые процессы. Термодиналсичеекое равновесие — такое состояние системы, в котором ее характеристики в отсутствие взаимодействия с внешними телами остаются неизменными сколь угодно долго. Если процесс, протекассспсий в системе, столь медленный, что скорости изменения всех параметров малы, то такой процесс называется равновесным (малость скоростей изменения параметров, конечно, не означает малости изменения самих гсараметров!).
В пространстве состояний такой пропесс изображается кривой, все точки которой являются точками равновесия. Процесс, протекающий в системе, называется обратимым, если все уравнения для бесконечно малых приращений параметров удовлетворяются и при аамене знаков этих приращений на противоположные в любой точке кривой, отвечающей данному пропессу в пространстве р„. Следовательно, в прямом и в обратном процессах НА~'~ и скьль) отличаются только знаками. Если процесс не обладает этим свойством, то он является необратимым. Понятия равновесных и обратимых процессов, вообще говоря, не совпадают.
Но в случае, когда связи между определяющими параметрами не зависят от направления изменения сс„, равновесный процесс можно рассматривать как обратимый. Рассмотрим теперь вахсный для математической формулировки второго начала термодинамики равновесный обратимый циклический процесс, носящий название цикла Карно. 2.9.
Второй закон термодинамики 53 Рлс. 13. Цикл йлрна — = Ю = сопаФ, ч"' = рВ0 — ( — ~ . Примем, что цикл совершается идеальным газом. Будем также считат1ч что газ совеРшенный, то есть в нем давление Р, плотность р и температура Т связаны законом Клапейрона р = р1тТ (Хь'— газовая постоянная). 1т1оделью совершенного газа может служить совокупность взаимодействующих посредством упругих столкновений молекул. Более подробно вта модель будет рассмотрена в следующей главе.
Здесь же отметим только, что в совершенном газе внутренняя знергия единицы массы 1Х с точностью до аддигивной постоянной равна 1Х = соТ. Ковффициент си есть тепло- емкость при постоянном объеме и далее полагается постоянным (если Т измеряетсн в градусах, то с1т численно равен количеству тепла, необходимого для повышения температуры единипы массы газа на один градус).
Подчеркнем, что понятия давления и температуры строго могут быть введены лишь в условиях термодинамического равновесия. Совср1пенный газ представляет собой пример так называемой двухпарамстрической среды, термодинамические характеристики которой зависят толы'о от двух величин. Далее в качестве таких величин выберем давление р и плотность р. М Б пикле Карно газ обменивается теплом с внешними телами и совершает над ними работу. Тем самым моделирутся процессы, происходящие в тепловой машино.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
