Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Производя замену искомой функции ф~ ) Р(2+ 2) 42г находим, что Ф*(у, з) удовлетворяет уравнению д2фь д2фь дг + дг и на границе трубы бр Ф* = — г,. с' Тогда ясно, что Ф* = бртд(4ф является решением поставленной задачи и, следовательно, о„= — (г,— г), г =д +з. 4ф Из выражения для их следует важная для приложений особенность течения: при фиксированном перепаде давлений Ор расход Я = 2ьр и,гйг протекающей через трубу жидкости цропорциоо пален тд, то есть очень сильно зависит от радиуса трубы. Рассмотренное точное решение уравнений Навье-Стокса было полтверждено экспериментально.
Это свидетельствует, в частности, в пользу правильности выбора граничного условия прилипания. 43 2.7. Упругая среда, Закон Гука 2Л. Упругая среда. Закон Гука. Полная система уравнений линейной упругой среды. Типичные граничные условия ,М 1Р Ь' Е (2.22) (здесь Š— постоянная, которая называется модулем 10нга). Если направить ось х параллельно Р, то (2.22) можно записать в виде р = Ее . Таким образом, согласно закону Гука между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость. Среда, для которой 113 являтотся линейными однородными функциями е;, назьпуается линейной упругой средой.
Общий вил связи между компонентами рп и е11 можно установить, применив те же рассуждения, что и при выводе уравнений Навье — Стокса. В результате для изотропного линейного упругого тела получим рй = Л116; +2раб, 11 ехх + еуу + егг 12.23) (папомним, что 11 является инвариантом тензора деформаций и характеризует относительное изменение объема частиц леформи- руемой среды). Вывоц уравнений Навье-Стокса, проведегпгый в предыдущем параграфе, опирается на ош ~тиме данные о линейной связи между напряжениями и скоростями деформаций в жидкостях и газах. Подобно атому, учитывая реальные свойства леформируемых твердых тел, можно сформулировать модель линейного упругого тела. Упругим телом называется среда, в которой компоненты тепзора напряжений р;.
являются функциями составляющих тензора деформаций е; (см. 31.3), а также, возможно, температуры и других физико-химических параметров 1например, химического состава вещества). В целях простоты будем считать, что рсу зависят только от еу, то есть Р;, = Ц(авр) 1инлексы гг и Д Указывают на то, что Дд, вообще говоря, являются функциями шести компонент тензора деформаций). Для широкого класса упругих тел вил функций Лу можно опрецелить, обративгпись к установленному опытным йутем закону Гука.
Схематически опыт Р. Гука заключался в том, что стержень длиной 1 и с площадью поперечного сечения Е подвергался растяжению под действием силы Р, направленной параллельно образующим стержня. В результате опыта был установлен закон Гука, который связывает возникающее удлинение стержня Ы с 1, Е, Р соотношением Гл. 2. Фуидамеиталькые законы механики Равенство (2.23) выражает обобщенный закон Гука, а входящие в него величины Л и 71 (разумеется, отличные от используемых в модели вязкой жидкости) называются коэффициентами Ламе.
Вместо постоянных Л и Р часто использук1тся модуль 1Онга Е и коэффициент Пуассона о, который равен (как будет показано ниже) отноп1ению поперечного сжатия (растяжения) к продольному удлиеие1ию (сжатию). Можно легко выразить Е и о через Л и 71, если воспользоваться (2.23) и принять во внимание, что в условиях опыта Гука боковая поверхность стержня свободна от нормальных напряжений, то есть Руу —— — Р„= О. Тогда Рхх = Еехх = ЛХ1 + 27хех„ Руу — — Л11 + 27геуу, Р„= Л11 + 271е„. Следовательно., ауу = ахх = — аахх, причем 71(ЗЛ + 271) Л Л + к ' 2(Л + я)' Числовые значения Е для различных материалов меня1отся в широких пределах, в то время как соответствующие изменения я сравнительно невелики. Так, например, при нормальной температуре 20'С для стали Е 2.1 10 Н/смх и о ж 0.26, а для каучука Е = 0.8 .
107 Н/см~ и о. = 0А7. Заметим еше, что с помощью коэффициентов Е и о нетрудно из (2.23) найти зависимость е;у от Р;7'. 1 е17 = 7(1 Ь и) Р~У '."11Я ) 71 = Рхх Д Руу +Рхх. Обобщенный закон Гука (2.23) позволяет получить замкнутую систему уравнений движения упругого тела в перемещениях. Чтобы сделать это, учтем, что скорость частицы среды и связана с вектором перемещения 1у (см. З1.3, 1.4) соотношением и = двг,/ау. Кроме того, отметим, что закон Гука справедлив лишь при малых деформациях и, следовательно, изменением объема (или плотности) частицы среды в уравнениях движения можно пренебречь. 2.7. Упругая среда. Закон Гука 45 Таким образом, проекцию уравнения лвижения (2.8) на ось х можно записать в форме с11~, др др„,„, др,, р — = р~'„,+ — + — "+ й "' дх ду де д =.
рР~ + Л вЂ”,— (е~т+ е„„+е„) + 2р — чч + 2р — '"* дх дх дд д /дил,, дыд дв,'~ дэш . = рХ'ч + Л вЂ” 1 — ' + — ~ + —,) + 2р '+ дх~, дх ду дх) дхэ 1 д (ди>д дв,'1 1 д /дго, дю,Л +2й- —, ( — ч+ — ) +2м — — ( —, + — ' 2 ду (, дх др ) 2 дз 1, дх дл ) д = рР + (Л + и) —, с11ч и'+ рЬ и, дх причем и = огет/йГ, а плотность р считается известной. Аналогичные выражения имеют место и лля проекций на оси р и ж Поэтому уравнения движения в перемещениях, называемые уравнениями Ламе, могут быть представлены векторной формулой оч р — = рР+ (Л+ р) бган (Йччч) + рЬчч.
сИ Если малы не только леформапии, но и перемещения, скорости и ускорения частиц, то с точностью ло малых более высокого порялка с1ъ(й — дч/д1 и уравнения Ламе приобретают вил дэтч Л+ и, и — = Р+ -бгаг1 (о1чьч)+ — Ьи. (2.24) д~2 Подчеркнем еще раз, что уравнение (2.24) выведено в рамках линейной теории, когпа справеллив закон Гука и малы ееи ъч, драч/дх;, ч, г(ч/~й. Граничные и начальные условия лля уравнений Ламе диктуются постановкой конкретной механической задачи. 1'ассмотрим три основных типа постановки задач линейной теории упругости. В задачах первого типа на поверхности леформируемого тела Е заданы напряжения р„как функции времени и координат тачек поверхности (п — единичный вектор нормали к Е). Внутри тела в начальный момент времени 1 = О известны распределения м~ и дчч/дй Требуется определить тч и р,.
при 1 ) О в области, занимаемой телом. Задачи второго типа отличаются от задач первого типа тем, что на Е вместо р„заданы перемещения чч. Начальные же условия Гл. 2. Фундаментальные законы механики формулируются так же, как н в задачах первого типа, Искомыми функциями являются и и р, . В задачах третьего или смешанного типа на одной части границы Е выставляются условия первого типа, а на другой —— второго типа. Обратим внимание на следующую особенность сформулированных задач всех трех типов. Строго говоря, поверхность Е заранеее неизвестна и полежит определению.
Но вследствие принимаемой малости чи считается, что Е лишь незначите~пно отличается от начальной недеформированной границы тела. Тем самым нужно удовлетворить граничным условиям на известной поверхности. Вопрос о разрешимости поставленных задач является одним из наиболее сложных в теории упругости н в общем виде далее не рассматривается. Единственность же решения некоторых краевых задач будет доказана ниже после изучения основ термодинамики сплошной среды. 2.8. Первый закон термодинамики. Энергия.
Внутренняя энергия. Теорема об изменении кинетической энергии. Уравнение энергии н уравнение притока тепла. Закон теплопроводности Оурье Основой рассмотренных в з 2.б- 2.7 примеров замкнутых систем уравнений для описания движений сплошной среды являются универсальные законы сохранения массы н изменения количества движения, дополненные связями между составляк1щими тензора напряжений р; н компонентами тензоров е,у или е; . Однако в общем случае только уравнений неразрывности и движения недостаточно для нахождения характеристик среды.
Так, из этих двух уравнений в модели идеальной сжимаемой жидкости, вообще говоря, нельзя определить три функции -- плотность р, скорость и и давление р. Тем самым возникает необходимость воспользоваться еще одним фундаментальным физическим законом — законом сохранения энергии. Для того чтобы это сделать, следует обратиться к основным понятиям и законам термодинамики. Состояние системы и параметры состояния.
Выделив некоторую частицу сплошной среды, будем рассматривать ее как термодннамическую систему, то есть физическое тело, для которого определены микроскопические характеристики движения и внутреннего состояния. Будем говорить, что состояние системы задано, если известны значения некоторых параметров ям ..., и„, с помощью которых можно вычислить (независимо от изучаемой частной задачи) 2.8.
Первый закон термодинамики, Энергии 47 любые характеристики системы. При этом параметры р„называются параметрами состояния и в известных проделах они могут изменяться независимо и достаточно произвольно. Параметры состояния имеют различную природу и могут представлять собой механические, физи .гение или химические характеристики вещества (например, его скоросгтч плотность, температуру, концентрации различных компонент и т.д.). В число рн могут входить и физические постоянные. Выбор параметров р„обусловлен исследуемым классом явлений и обычно связан с введением дополнительных гипотез и с результатами обобщения опытных данных.
Математически р„ выступают как аргументы функций, которыми описываются состояние движения и свойства сплошной среды. Процессы и циклы. Множество состояний среды, отвечающее последовательно изменяющимся значениям р„, называется процессом. В механике сплошной среды основную роль играют процессы, отвечающие физически осуществимым с течением времени изменениям р„.
* Круговой процесс, в результате которого все параметры системы принимают свои первоначальные значения, носит название цикла. Исследование пиклических процессов занимает важное место при изучении основ термодинамики, а в технических приложениях оно позволяет анализировать закономерности работы двигателей внутреннего сгорания, турбин, холодильных установок и т.д. Мы подробнее остановимся на рассмотрении одного из наиболее известных циклических процессов — — цикла Карно — — в разделе, посвященном второму закону термодинамики, но прежде обратимся к формулировке первого закона (или начала) термодинамики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
