Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 5
Текст из файла (страница 5)
д1о ду ду дх ду дз Из последнего равенства следует, что поле скорости потенциально и и = бган ~р. Непосредственой подстановкой легко убедиться и в том, что если поле скорости потенциально, то движение безвихревое. Примеры потенциальных движений мы рассмотрим позднее, после того как будут математически сформулированы основные законы механики сплошной среды и термодинамики. Глава 2 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ И ТЕРМОДИНАМИКИ 2.1. Формула Гаусса — Остроградского.
Дифференцирование по времени интеграла по подвижному объему Настоящая глава посвящена математической формулировке основных законов, которым подчиняется движение сплошной среды. В числе таких законов, установленных опытным путем, закон сохранения массы, законы изменения количества движения и момента количества движения, первый и второй законы термодинамиики. Справедливость этих законов применительно к механике сплошной среды постулируется, а являющиеся их следствием уравнения удобно вывести, изучая изменения характеристик конечного объема вещества.
Для вывода уравнений обратимся к рассмотрению некоторых операций над интегралами. Формула Гаусса-Остроградского. Рассмотрим некоторую гладкую поверхность Е. Если и — нормаль к Е, то по определению поток вектора ч через поверхность Е равен где о„ есть проекция ч на нормаль и. Пусть Š— замкнутая поверхность, ограничивающая объем т.
Тогда согласно теореме (формуле) Гаусса — Остроградского выполняется равенство е„дЕ = г)1ччйт, (2.1) де,, дог до, 1 =д+д 'д Подобно формуле Стокса, соотношение (2.1) легко пояснить с помощью следующих рассуждений. Пл. 2. Фундаментэльньго законы ме»аники Пусть в качестве т взят малый прямоугольный параллелепипед ОАВСО'А'В'С' с ребрами с1х, с(д, с(а, с площадью поверхности с1Е и с объемом с(т = с1хс(дс1з (рис. 5). С точностью до малых более высокого порядка лоток вектора т чорез грани, перпендикулярные оси х, равен (до,/дх) от.
Аналогичные выражения верны и для потоков через грани, перпендикулярные осям д и х. Окончательно будем иметь а ь /дп доа дтк'1 .„.,=~ — *+-,— + — ~ .. 1, д дд д,) производная по времени от нее ~(х,д,г,1+ ей) йт — у(х,д,к,а) Йт т — / у (х, д, х, с) Йт = 1ш сИ,/ ''' ж-.о сй т б У(х, д, », 1 + Ж) с1» — у (х, д, к, 1) с1т =- 1пп + аа- о Й 5 1(х, д, а, 1+ Ю) Йт т' -т + Ппт сл — го сй (2.2) Представляя произвольный объем т в виде суммы малых параллелепи- РЯ'ос йаьемот пеРеапоаеР» педов и учитывая, что потоки веккость котоРого выпкслаетса тора ч через их соседние грани комнаток вектора т пенсируются, получаем формулу (2.1).
Дифференцирование по времени интеграла по подвижному объему. Рассмотрим в сплошной среде объем т, ограниченный поверхностью Е и состоящий в любой момент времени из одних и тех же частиц среды. Такой объем называется подвижным индивидуальным объемом. В движущейся среде как величина объема т, так и форма поверхности Е изменяются со временем. Обозначим зги характеристики в моменты времени 1 и 1+ с(с соответственно через т, Е и т', Е'. Пусть далее у(х, д, х, Ц вЂ” некоторая скалярная, векторная или тензорная фунгсция и нас интересует величина 1(х,д,к,1) йт и 27 2.2, У авнение неразрывности В формуле (2.2) разность (т' — т) общим для т' и т.
Обращаясь к рис. б, легко видеть, что (т — т) = со ем'нЕ, где и„— Е проекция вектора скорости на внешнюю нормаль и к Е. Следовательно, д Г ГдГ / Г йт = / — 'йт+ !,Гп дЕ. т т Е Отсюда, применяя формулу Гаусса— Остроградского, для производной по времени интеграла по подвижному объему получаем выражение — объем, не являющийся Рис. 6. Положении иидивиду- алыюго объема, разделенные лромежутвом времени да 2.2.
Уравнение неразрывности др дров дрор дрие — + — '+ — + — = О. дб дт ду дв (2.4) Одной из основных характеристик вещества является масса, которая служит мерой инерции тела. Опытным путем установлены закон сохранения массы и свойство ее аддитивности, то есть равенство массы гела сумме масс его частей. Следует, однако, подчеркнуть, что этот закон справедлив лишь в рампах механики И. Ньютона, когда пренебрегается эффектами теории относительности. Ограничиваясь в настоящом курсе нерелятивистской теорией, будем считать, что масса любого индивидуального объема сплошной среды не изменяется в процессе движения и выведем математическое следствие этого положения — уравнение неразрывности.
Уравнение неразрывности в переменных Эйлера. Выделим индивидуальный подвижный объем сплошной среды т. Масса заключенного в нем вещества, очевидно, равна рот. Так как эта масса сохраняется во все время движения, то à — / рот=О. сй т В силу произвольности т, воспользовавшись формулой (2.3), по- лучим 28 Гл. 2. Фгндамонтальные законы механики сплошной среды Равенством (2А) представлено уравнение неразрывности в переменных Эйлера. Уравнение неразрывности в переменных Лагранж а.
Пусть для описания движения сплошной среды использу~отся переменные Лагранжа а, б, с, й Рассмотрим некоторый индивидуальный подвижный объем в моменты времени бо и й Для каждой частицы данного объема с координатами хо, уо, го в момент времени Ц имеем хо =хо(а,б,с,~о) уо =ус(а,б,с,~о), о = о(о,б,с,бо), Ро = ро(о,б,с,~о) Аналогично в момент времени 1 зависимость координат и плотности этой частицы от переменных а, Ь, с, б дается соотношениями х=х(а,б,с,1), у=у(а,б,с,1), г = з(а, б, с, 1), р = р(а, б, с, Ь). В силу закона сохранения массы выполняется равенство где то и т — объемы, занимаемые частицами среды соответственно в моменты времени 1о и $. Переходя в этом равенстве к переменным Лагранжа, получим (2.5) то дхо дуо дзо до да да дхо дуо дзо дб дб дб дто дуо д%о дс дс дс Вследствие произвольности выделенного индивидуального обьема подынтогральная функция в (2.5) должна обрашаться в нуль и уравнение неразрывности в переменных Лагранжа принимает вид РоУ-~о = Ры.
дх да, дх. дб дх ду дз да да ду дз дб дб ду дв дс дс 2.3. Уравнение сохранения количества движения 29 2.3. Уравнение сохранения количества движения. Уравнения движения сплошной среды. Тензор напряжений Движоние и деформации сплопти й среды происходят пол действием сил, являющихся векторными величинами. В механике сплошной среды принято различать поверхностные силы, массовые или объемные силы, силы внутреннис и внешние.
Поверхностные силы и характеризующий их вектор напряжения р„рассматривались в предыдущей главе. Позтому обратимся к понятию массовых или обьемных сил. Массовые или объемные силы являются распределенными силами, которые действуют в каждой точко объема среды т. Удобной характеристикой массовых или объемных сил является их плотность, которую можно ввести следующим образом. Выделим малую частицу среды с массой Ьтп и обозначим через ЬУ главный вектор массовых сжл, действующих на данную частицу. Определим затем плотность мзссовых сил Р как ЬУ' Р= !ш1 г, — юЬтя Ясно, что величина Р есть сила., действующая на единицу массы вещества.
Соответственно плотностью объемной силы называется величина рР, равная силе, которая действует на единичный объем среды. Хорошо известным примером массовых сил служит сила тяжести, плотность которой равна ускорению свободного падения. Для приложений часто оказывается существенным разделение сил на внутреннио и внешние. Силы называются внутренними, если они обусловлены объектами, принадлежащими системе, чье движение рассматривается. В противном случае силы называются внешними.
Конечно, вопрос о том, какую из действующих сил отнести ко внутренним, а какую ко внешним силам, зависит от того, какие именно объекты принимзются принадлежащими к рассматриваемой системе. Воспользуемся теперь введенной классификацией сил, чтобгп вывести уравнения движения сплошной среды. Определим количество движения подвижного объема т равенством (1 = рч йт. т Обобщим затем известную теорему об изменении количества движения системы материальных точек, которая выводится на основании законов Ньютона.
Примем, что изменение количества оО Гл. 2. Фундаментальные законы механики сплошной среды движения д(~ за время Ж равно импульсу действующих на ча- стицы выделенного обьема т внешних сил, то есть оК) = рРй. + р„о~Я й, т Е илн — рг Йт+ р„дЕ т Е (здесь Е .— поверхность, ограничжваколая объем т). Воспользовавшись выражением для Ц, формулой дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему (2.3), уравнением неразрывности (2.4) и определением индивидуальной производной (1.4), выводим уравноние движения сплошной среды в интегральной форме р — йт = ! рРбт+ родН. Ж (2,6) Применим уравнение (2.6) к малому индивидуальному объему в виде тетравдра, изображенному на рис. 7. Три грани тетраэдра Рис. 7.
Малый татраэдр, рассматриваемый ври вывода формулы Ноши вАОВ = в соя(п1з), вАОс = т соя(и~д)~ ОВОО = о соя(и~ш). параллелыты координатным плоскостям, а четвертая характеризуется нормалью и. Напряжения на гранях обозначим соответственно через р, р. в, р „ри. Пусть Я вЂ” площадь ЛЛВС н Ь вЂ” высота, опущенная на грань АВС из вершины О. Тогда 2.3. Уравнение сохраиеяия количества движения 31 Из (2.8) находим 1 с1ч 1 -65р — = —,65рР+ р„5 — ри5соа(п,л)— 3 й 3 .
-УД5 СОа(П, Р) — Рв5 СОа(П, 2) Гслн р, <Ы/И и Р коне шы, то при 6 -ч 0 г. последнего соотношения следует формула Коши р„= р соа(п, ж) + р„соа(п, у) + рв сов(п, 2). (2,7) Из (2.7) видно, что в силу произвольного выбора вектора п и в соответствии с определением тензора (1.б), совокупность векторов р, рю р, образует тензор П, который называется тензором напряжений. Для компонент П примем обычные обозначения р„,, р„, ..., р,, р„. При атом первый индекс относится к вектору напряжения на площадке, перпендикулярной соответствующей координатной оси, а вторым индексом обозначены проекции етого вектора на Оси х, сб 2.
С учетом (2.7) уравнение (2.б) вследствие произвольности т можот быть записано в дифференциальной форме: И~ р — = рР+ с(1чП, сй (2.8) дри др„ др, ЙчП = — '+ — + —, дк ду дл (в (2.6) при переходе от интеграла по поверхности Е к интегралу по объему т использована формула Гаусса †Остроградско). Для симметричного тензора П формула Коши позволяет дать 2таГЛЯДНОЕ ПРЕДСтаВЛЕНИЕ О НаиуаВЛЕНИИ ВЕКтОРа Ри В ЗаВИСИМОСтИ от ориентации нормали п к площадке рв ОЕ.
Выберем произвольную точку О и пусть оси координат к,у,г являются главными осями тензора П (см. 31.2 гл. 1). Достроим далее поверх- ОХ ность Е (тензорную поверхность), задавшись ее уравнением 2 2 2 т +ЄР+Рвхв = 1. Х Если теперь точка ЛХ(т,р,х) принадлежит Е и лежит на продолжении рвс. 8. теивориви поверхность п, то вектор ри перпендикулярен ка- теввора ивввижсииа сательной плоскости к поверхности 2' в втой точке (рис. 8). Действительно, легко вндетга что по формуле Коши Х Я и 1 ом' ом' -'ом1' то есть совпадает по направлению с нормалью к Е. Гл. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
