Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В момент времени Рис. 3, Вектор перемещения ~ч малов частицы иа ее положения в момент времени 1 в положение в момент времени 1+ ек 1+ сй выделенные точки займут положения соответственно М* и А*. Вектор тт(шт, шл, ь а), соединяющий точки М и М*, называ- ется вектором перемешения. Очевидно, что при фиксированном 1 вектор и = тл(г). Следовательно, для точки А имеем ь тт(г + й ) = нс(г) + — Йг 1г (здесь Йтл/дг — тензор, производный от вектора тл по вектору г). Представляя тензор Йте/с1г в виде суммы симметричного Е и антисимметричного тензоров, находим тл(г + Йг) = и(г) + Йтл = йтл 1 = те(г) + — е1г = тт(г) + Едг + — го$ тт х с1г, (1.11) е1г 2 где с ил лп с„с „ с, сел дшл дь л др ' " дл ' дшл стх— дх ' 1.3.
Вектор перемещения. Тензор малых деформаиий 19 1 У'д~~ дго, 'с 2 1, дг др ) ' дюл дя дсо, дх д~, дд дщ, (гоС н) др дго, (гоС тг) дя дюл (гоС и), = —, дх В соотношении (1.11) первое слагаемое отвечает перемещению частицы сплошной среды как целого поступательно, а третье— 1 повороту этой частицы на угол — )гоС чг! вокруг оси имеющей на- 2 правление гоС и. Обратимся к выяснению механического смысла компонент тензора Г, который носит название тензора деформаций. При атом примем во внимание, что по самому способу введения вектора перемещения мы ограничиваемся малыми перемещениями и малыми деформациями. Поэтому, строго говоря, тензор о следует называть тензором малых деформаций.
Пусть вектор г1г(дх, яд, яя) параллелен оси х. После деформации ему отвечает вектор М*А = Йг+ г1н с компонентами д ~ д, д,.„ 1 + — ) гСх, — 'лсЬ, — Их дх ) ' дх ' дх и, следователю|о, относительное изменение расстояния между точками М и А с точногтгяо до малых более высокого порядка равно гСх 1 + — — Их ссх дх — — еях. Таким образом, диагональные элементы тензора деформаций характеризуют относительные удлинения отрезков, параллельных координатным осям. Если рассмотреть прямоугольный параллелепипед с ребрами Пх, Иу, Ия, то, учитывая малость изменения углов между ребрами в процессе деформации, легко видеть, что после деформации относительнное изменение объема параллелепипеда составит величину Ус = еяе+еял+емо где Хс является первым инвариантом тензора д. 2* 20 Гл.
1. Описание днижения и деформации сплошных среды дс;у дсы дсьу дси г г г г +, — + дхьдх~ дх;дх дх дх~ дхьдху ' (1.12) Выясним далее механический смысл внедиагональных элементов тензора о 1например, сщ). Пусть точки А и В лежат на отрезках, параллельных соответственно осям х и д. После деформации полюс М и эти точки займут положения М*,А* и В*, причем для проекций векторов М" А, М*В справедливы формулы В силу выбора точек А и В угол между векторами ~Ы и МА равен л/2. Тогда, если ввести угол а между М*А и М*В', то изменение взаимного расположения выделенных отрезков в результате деформации можно охарактеризовать углом у = л/2 — сг. Этот угол можно найти, рассматривая скалярное произведение векторов М*А и М*В: дх др у С другой стороны, выразив скалярное произведение как сумму попарных произведений компонент векторов, находим — — — „— 1 / д~о,, дю,„'~ ду дх Следовательно, ашу = 2 с, и с „ характеризует изменение угла между отрезками, параллельными координатным осям х и у.
Поскольку тензор Е симметричный, то он имеет, вообще говоря, шесть различных компонент и три взаимно перпендикулярных главных направления. В фиксированной точке пространства с „..., с„могут быть любыми числами. Но они не могут быть произвольными функциями координат, так как выражаются через производные только трех компонент вектора перемещения. Значит, между компонентами тензора Е существуег связь, котран получила название уравнений совместности деформаций. Выведем уравнения совместности малых деформаций. Для этого удобно, как и в г 1 2, заменить переменные х, у, я на х; (1 = 1,2, 3). С учетом зависимости сй от дю;/дх справедливы равенства 1.4. Теиэор скоростей деформаций. Теорема Коши — Гельмгольца 21 В (1.12) независимыми являются лишь шесть уравнений.
Действительно, если среди 1, у, Й,1 имеются только два различных индекса, то независимыми будут уравнения, которые отвечают трем комбинациям индексов (напримср, это могут быть комбинации 1122,1133,2233). Если же различны три индекса, то также существуют независимые уравнения с тремя наборами индексов, в качестве которых можно, в частности, принять 1231, 1223, 1233. Уравнения (1.12) называются уравнениями совместности Вен-Венана. Ясно, что при произвольной функции ъ(г) соответствующие ей е; являются общим интегралом уравнений совместности. Л заключение этого параграфа полчеркнем, что е13 были определены по отношению к точке М (полюсу) и, значит, являются функциями координат точки М и времени.
В том случае, когда е, нс зависят от координат, деформация называется однородной. лс ч(г+ йг) = ч(г) + — йг+ — го1ч х дг. (1.13) д1 2 Тензор цс /Л называется тензором скоростей деформаций и его компоненты имеют вид дои хх д 1 дои д р доч е д.' дох е,,=е, е, = е„ 1А. Тензор скоростей деформаций. Теорема Коши — Гельмгольца. Вектор вихря. Циркуляция скорости, теорема Стокса. Потенциал скорости Рассматривавшийся в предыдущем параграфе тензор деформаций играет опрецеляющую роль в изучении леформационных процессов в твердых телах.
В жидкостях же и в газах более существенным оказывается тензар скоростей деформаций. Чтобы ввести такой тензор, воспользуемся тем, что при перемещении частицы среды за малый промежуток времени гй вектор перемещения и и вектор скорости и связаны очевидным соотношением ч =. сЬч/цг. Поэтому нз формулы (1.11) следует 22 Гл. 1. Описание движения и деформации сплошных среды Входящий в (1.13) вектор ш(ши, ию ш,) = (1/2) гос ч носит название вектора вихря и характеризует вращение частицы среды как твердого тела с угловой скоростью ш, Компоненты тензора скоростей деформаций имеют очевидный механический смысл: диагональные элементы характеризуют скорости относительных удлинений отрезков, параллельных осям координат, а внедигональные элементы — скорости изменения углов между отрезками, параллельными осям х, у, ю Формула (1.13) выражает теорему Коши — Гельмгольца: скорость частицы сплошной среды есть сумма скоростей поступательного, деформационного и вращательного движений.
Из теоремы Коши — Гельмгольца вытекает, что свойства полл скоростей сплошной среды описываются векторами ч и ы. Как для и, так и для ы можно ввести понятие векторньгх линий, касательная к которым в любой их точке совпадает с направлением соответственно ч или ш. Векторные линии полн скоростей называются линиями тока и их координаты удовлетворяют уравнениям п,(х, у, я, 1) оя(х, у, я, 1) о,(х, у, я, ~) ' Аналогично векторные линии поля ш называются вихревыми линиями и дифференциальными уравнениями вихревых линий служат шя(х,у,я,Ф) шя(х,у,я,1) ш,(х,у,я,~) В уравнениях линий тока и вихревых линий 1 фиксировано., так что при неустановившемся движении, когда локальная производная д/дг' у- О, форма векторных линий ч и ш, вообще говоря, изменяется со временем.
Движения сплошной среды в условиях, когда в рассматриваемой области ш = О, называются безвихревыми и их исследованию уделяется значительное внимание в многочисленных приложениях. Одним из важных свойств безвихревого движения является возможность представить вектор скорости в виде градиента некоторой скалярной функции у(х, у, я, 8). Остановимся на этом вопросе подробнее. Определим циркуляцию Г вектора скорости и по контуру Е равенством где Йэ — направленный элемент контура (далее замкнутый контур будем обозначать через С). 1А. Тензор око остей деформаций.
Теорема Коши-Гельмгольца 23 Отметим, что в силу инвариантности скалярного произведения идя инвариантна и величина циркуляции Г. В курсе математического анализа доказывается, что для замкнутого контура С и для любой опирающейся на него гладкой поверхности Е в области непрерывной дифференцируемости функции ц справедливо равенство (1.14) с х где оу„-- проекция оу на нормаль к поверхности Е. Условимся далее считать положительным такой обход контура С, который совершается против часовой стрелки при взгляде с конца вектора и.
С, акь Рис. 4. Переход от вычисления циркуляции по малому контуру ОЛВС к еычислениж циркуляции цо проиаеольному контуру С Равенством (1.14) выражена теорема (формула) Стокса. Поясним ее на основе элемектарных представлений. Возьмем сначала в качестве контура С малый плоский прямоугольник ОАВС со сторонами 0х, Ыу (рис. 4).
Обозначим величину циркуляции по каждой из сторон прямоугольника соответственно через Гол, Глв, Гвс, Гсо. С точностью до малых высшего порядка имеем до, доц Гол+1 во = — —,* с1хду; Глв+ Гсо =, ' с1хс1у ду "олвс = Гол + Глв + Гвс + Гсо = — '" — — ' ~ с1х ду = 2сос 0х с1у = 2сое с1Е. (1.15) д ц дх ду / Пусть теперь контур С и опирающаяся на него поверхность Е произвольны. Аппроксимируем Е суммой влементарных плошадок с1Еы ограниченных контурами Сы Тогда 24 Гл. 1. Описание движеиии и деформации сплошяьж с еды Но так как интегралы, взятые по обшим сторонам Сь, взаимно сокрашаются, то, заменяя в (1.15) ю, на ю„, в результате суммирования по малым контурам приходим к формуле Стокса.
Воспользуемся теперь теоремой Стокса и покажем, что в условиях ее применимости безвихревое движение является потенциальным, то есть ч = пгас1 гр(х, у, з, 8). Длн доказательства выберем две произвольные точки А и В и соединим их контурами Сг и .Сз так, чтобы направления обхода контуров были противоположными. Тогда согласно теореме Стокса интеграл по замкнутому контуру Е1+ Ег, очевидно, равен нулю. Значит, Гд, = 1з= Ь. Поскольку точки А и В и контуры Е1 и .Сз произвольны, то Гла является функцией только координат и времени. Обозначая зту функцию как у(х, у, з, 1), находим свр1 х, у, з, 1) = — Йх + — оу + — ~Ь = и Их + си оу + и, па .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
