Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Однако прежде чем обратиться к выводу этих уравнений, необходимо рассмотреть некоторые свойства введенных выше скалярных и векторных величин, а также более сложных объектов — тензоров. 1.2. Скалярные, векторные н тензорные величины, нх характернстнкн В предыдущем параграфе было показано, что для описания движения сплошной среды используются как скалярные, так и векторные величины. При этом скаляр определяется одним числом и в выбранной системе единиц измерения два скаляра равны, если равны характеризующие их числа. Вектор задается своим модулем и направлением в пространстве или (в некоторой системе координат) набором трех своих компонент.
Два вектора одинаковой размерности считаются равными, если они совпадают по направлению и равны их модули. Совокупность определенных в некоторой области пространства значений скалярной или векторной величины называется полем этой величины. Характеристики скалярных и векторных полей подробно изучаются в общих математических курсах.
Поэтому обратимся лишь к рассмотрению некоторых свойств более сложного объекта тензора, понятие о котором в механике сплопэной среды связано, в частности, с распределением напряжений ри на площадках с различной ориентацией нормали и. 1.2. Скалярные, векторные н тензорные нелнчнньг 1З Один из способов определить тензор заключается в следующем. Пусть имеется декартова система координат т, Р,ж Условимся здесь и далее переимоновать в целях сокращения записи оси хг у, х в хь(й = 1,2,3). В атой системе коордигыт произвольный веггтор а задается тремя числами (наприкгс!г, своими проекциями аь иа оси хь), Рассмотрим теперь другую декартову систему координат х' и обозначим жгьг = сов(х';,хь) . Тогда между аь и проекциями а~~ вектора а на оси х'„имеет место соотношение 3 оь — — ~~г и!чпь (1.5) г=! Отметим, что если указан способ вычисления оя в !побой системе координат, то для того чтобы аг действительно являлись компонентами некоторого вектора а, выполнение (1.5) необходимо проверять.
Покажем, например, что числами х, д, н действительно определяется радиус-вектор г произвольной точки М(х,у,л). В самом деле, согласно правилам преобразования координат находим, что з з Сгв Хб ХЬ = .! Огьж! г=! г.= 1 и, следовательно, равенства (1.5) справедливы. Аналогично, вектором с координатами нь = Ихь/гй является скорость материальной точки, поскольку оь преобразуются по формулам з г1хь ч' г г1х =,7 оьг —. й, гй На основании (1.5) можно дать еще такое определение вектора: совокупность величин и!г образует вектор, если для любой декартовой системы координат числа ав преобразуются в аь по формулам (1.5). Принимая зто определение вектора, обобщим теперь (1.5), вводя понятие тензора: если для любой декартовой системы координат имеется совокупность трех векторов ры которым ставятся в соответствие векторы р'„другой системы координат по формулам з РЬ =,~~ сгвгРгг (1.6) г=! то совокупность векторов рь определяет афинный ортогональный тензор второго ранга П.
В дальнейшем П будем называть про- 14 Гл. 1. Описание движения и деформации сплошных среды сто тензором, поскольку тензоры более высокого ранга и системы координат, отличные от декартовой, как правило, не будут использоваться. Компоненты векторов р'„в системе координат т! в соответствии с (1.6) должны иметь вид 3 3 ! РЫ =,2 ~~', жжжь Р1 (1.7) !.=.1 т=-! Соотношение (1.7) мол!но рассматривать как другое опроделение тензора: если совокупность величин Ры в любой системе координат х! преобразуется в числа Р~~! в системс координат т1 по формулам (1.7), то Рь! определяют тензор П, компонентами которого называн!тся Ры, При этом ранг тензора равен числу индексов компонент.
Полезно иметь в виду, что при использовании криволинейных координат данные выше определения вектора и тензора усложняются вследствие необходимости различать соответствун!щис ковариантные и контравариантные объекты (см. Приложение). Для обозначения тензора П может быть введена матрица, элементами котоРой слУжат 1!ь1, так что Р! ! Ргз Р1з П = Р2! Р22 Р23 РЗ1 Р32 РЗЗ Иногда, подобно вектору, используется запис! П = (Ры). Кроме того, в выражениях типа (1.7) часто опускают знак суммы, подразумевая при этом суммирование по повторяющимся индексам. Но в целях ясности знак суммы нид!е оставлен всюду, где это не приводит к значительному усложнению записи. Рассмотрим теперь некоторые виды тензоров и их свойства. Если матрица компонент тензора имеет вид ! = 0 1 0 то тензор называется единичным и согласно (1.7) является таковым в любой системе координат (так как в силу ортогональности единичных векторов системы координат т', имеем Р',, =- з 3 ~ аь — — 1 и Р~! — — ~ сгьт!г!т = О, если й ф 1).
т=1 т=! Вследствие линейности (1.7) сумма тензоров и произведение тензора на число также являются тензорами. 1 2. Скнзнрные, векторные и тензорные ееличинь! дх1 дхг дхз даг даг даг д, дхг д„, даз даз даз дх! дхг дхз Длн етого докажем, что если для каждой системы координат х, совокупность величин рй! определяет числа бй по формулам з бй = 2 рй!г (1.8) и если бй являются проскциямн некоторого вектора всегда, как только о! являются проекпиями какого-нибудь вектора, то рж определяют тенж1р П. Возьмем в качестве вектора а такой, для которого в системе координат х', компонентамн являются а', = 1, а' =- О (Й ~ 1).
Тогда Ьй —— р„! и, поскольку Ь и а явля!ется векторами, то з з ой —— — ~ !тй;б;, а1,„. = ~ 1г!йа„. = а1й 1=! 1=1 Следовательно, з 3 3 3 ! и Т ры = бй =- / с!й! ~ р!т!!т =,' ~ ой!!т!тр!т. 1=1 т=! ю=-1 т=1 Из последнего равенства и формул (1.7) вытекает, что ры действительно образу!от тензор. Ио тогда в силу доказанного и да;/дхй образуют тензор, так как вектору аг всегда отвечает вектор аа. Если ры = р!й, то тензор называется симметричным, а если ры = — р!и, то антисимметричным. Всякий тензор можно представить в виде суммы симметричного Е и антисимметричного А тензоров: П = Е + А, оц =- (рй! + р!й)/.; азп = ~рй! р!й)/2. Определим теперь тензор, производный от вектора а по вектору г (производный тензор).
Пусть задано поле вектора а1г) = а1х,). Приращению !1г тогда отвечает приращение !1а такое, что Йа! = 3 — ~; (дай/дхй) 11хй, й=1 Покажем, что доз/дхй образун1т тензор !1а/!1г (производный тензор), которому отвечает матрнцз да1 да! да! Гл 1. Описание движения и деформации сплошных среды Покажем еше, что если в 11.8) Ры — — компоненты тензора, а оь — — вектора, то числа оь определяют вектор. В самом деле, по определению з з з з 3 ЬЬ =,У,РЬт'~и = ~~', ~~'~~' Ы тгргу,'~ Отип~ т=-1 т=1 $=1 1=1 в=1 Учитывая равенства 3 гтяу'и то 10, 1Рн т=1 и меняя порядок суммирования, по.кучаем з б',=~ 'оьг 1 —.— 1 з з г з Е отбн ти Р;.а„ 1=1 в=1 т=1 3 — ° ь,б,. Р— Л Рз Р Р21 Ртг Л Ргз == О.
Рз1 Рзз Раз Л (1 0) После того как Л определено, может быть найдено отношение а1: аз: аз, то есть направление вектора а. Очевидно, что Л не зависит от выбора системы координат, поскольку а и Ь вЂ” векторы и сохраняют величину и направление в любой системе координат 1инвариаитны относительно преобразований координат). Таким образом, уравнение третьей степени относительно Л, которое следует из 11.9), можно представить в форме, не зависящей от выбора системы координат, Лз — Х1Л + ХзЛ вЂ” Хз = б, Последнее означает, что бь служат компононтами вектора. Операция, определяемая равенствами (1.8) и обозначаемая как П а, называется скалярным произведенном тензора П на вектор а справа и ее результатом является вектор Ь.
Главные направления, главные значения, инвор и а н т ы т е н з о р а. Пусть для скалярного произведения тензора П на вектор а справедливо равенство Ь == П а, где Ь = Ла и Л вЂ” некоторая постоянная. И таком случае направление вектора а называется главным направлением, а Л . — главным значением тензора П.
Чтобы определить г:гавные направления, необходимо сначала найти Л из условия равенства нулю детерминанта системы уравнений П. а = Ла, в которой неизвестными служат компоненты осо 'Это ус~~в~~ ~~~~~ вид 1.3. Вектор перемещения. Теязор малых деформаций 17 где Хз = Ры +Ргг+Рзз = Лз+ Лг + Лз, Х ( Рн Рг2 ~ + ( Ргг Р23 ! + ~ Рзз Рзз ! ЛЗЛ2 + Л2Л. + ЛзЛЗ Р11 Р12 Рзз Хз = Рж Ргг Ргз = ЛзЛгЛз Рзз Рзг Рзз н Лз, Лг, Лз згорни этого уравнения. Величины Хм Хг, Хз остаются неизменньзгми при преобразованиях координат н носят название инвариантов тензора. Ясно, что с помощью Хз, Хг, Хз может быть образовано и множество других инвариантов. В случае, когда П -- симметричный тензор, надлежащим выбором системы координат хм хг,хз соответствущая ему матрица может быть приведена к диагональному виду, причем направления осей хз, хг, хз являются главнымн направлениями.
В самом деле, рассмотрим уравнение г (П г) =- 1, в котором г — радиус-вектор переменной точки. Записывая это уравнение через попарные произведения координат, получаем Рьгггьхг е=! г=1 Рихз+Рггхг+Рззхз+2рзгхзхг+г~ргзхгхз+2рззхзхз = 1. (1.10) 2, 2, 2 Но хорошо известно, что существует такая система координат хм тг, хз, в которой поверхность (1.10) будет описываться уравнением Лзх, + Лгхг + Лзхз = 1. Ясно, что при этом направления осей хм хг, тз являются главными, а Лз, Лг, Лз — главные значения. Симметричные тензоры играют важную роль в механике сплошной среды.
В частности, к симметричным тензорам относятся и рассматриваемые в следующих параграфах тензоры деформаций и скоростей деформаций, количествонно характеризующие процесс деформирования твердых, жидких и газообразных тел. г згг. ггг 18 Гл. 1. Описание движения и деформации сплошных среды 1.3. Вектор перемещения. Тензор малых деформаций, механический смысл его компонент. Уравнения совместности деформаций Рассмотрим в сплошной среде малую частицу и два последовательных положения этой частицы в моменты времени 1 и 1 + Ж, отделенные малым промежутком времеви гй (рис. 3). Введем декартову систему координат х,р,ж Выделим далее в момент времени С любые две точки частицы М и А, радиусы- векторы которых обозначим через г и г + ог.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
