Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для количественного описания движения дсформируемых сред введем теперь следующие гипотезы и понятия ~разумеется, в дальнейшем по мере необходимости число вводимых понятий будет увеличиваться). 8 Гл. 1. Описание движения и деформации сплошных среды Гипотеза оплошности. Все тела состоят из отдельных частиц (атомов и молекул), чьи размеры и средние расстояния между которыми часто явля|отса малыми по сравнению с характерными масштабами изучаемых процессов и явлений, а число этих частиц достаточно велико в любом существенном для рассматриваемой задачи объеме среды. В таких условиях естественно считать приближенно, что вещество заполняет пространство непрерывным образом, без каких-либо пустот. Как континуум можно рассматривать и различные поля (например, электромагнитное поле). Подобная идеализация позволяет при исследовании движений деформируемых тел широко применять аппарат математического анализа, дифференциальное и интегральное исчисление.
Гипотеза о прострзнстве и времени. Опыт показывает, что в не слишком больших масштабах физическое пространство можно считать евклидовым, и для всего пространства ввести единую декартову систему координат (х, р, г). Если ограничиться также изучением движений сплошной среды со скоростями, существенно меньшими скорости света, то оказывается возможным пренебречь эффектами теории относительности и пользоваться абсолютным временем, которое не зависит от выбора системы отсчета наблюдателя. Итак, далее принимается, что двилгение сплошной среды происходит в езклидовом пространстве, где вводится абсолютное время 1 Частица среды.
Под частицей среды подразумевается достаточно малый объем жидкости, газа или твердого тела. Достаточно малый настолько, чтобы в его пределах можно было пренебречь изменениями характеристик среды. Плотность среды. Выберем произвольную точку М с координатами х, у, я и малый объем Ьт, содерлгащий эту точку. Если Ьгп — — масса заключенного в Ьт вещества, то при стягивании Ьг к точке ЛХ плотностью называется величина йгп р(х,у,я,г) = 1пн ьг — ~0 гхт Скорость среды.
Под скоростью ч(х,й, я,$) понимаетгя скорость частицы среды в рассматриваемой точке пространства в рассматриваемый момент времени. Проекции вектора и на оси Ох, Оу, Ох декартовой системы координат обозначим соответственно как е„, ию и,. Поверхностные силы, напряжение. Движение и деформапии сплошной среды происходят под влиянием приложенных к ней сил. К важному классу сил, часто играющих основную роль в механике сплошной среды, относятся поверхностные силы, та есть такие, которые распределены по поверхности Е некоторого 1.1. Предмет н область приложений механики сплошной 'среды 9 выделенного объема т.
Поверхностные силы есть силы взаимодействия, обусловленные частицами, лежащими непосредственно снаружи Е, и приложенные к поверхностным частицам объема т. Обозначим через р„с1Е поверхностную силу, приложенную к частипам объема т на элементарной площадке с1Е с внешней нормалью и (рис. 1). Вектор р„носит название напряжения. Очевидно, что на основании постулируемого третьего закона Ньютона справедливо равенство р„ = — р-н Обозначим через р„„ и р„, соответственно нормальную и касателыгую к площадке ЙЕ составляющие р„.
Величина рот носит название касательного напря'кения или, в случае жидкостей и газов, внутреннего трения. Среда называется идеальной, если па любой площадке с нормалью и составляющая р„= О независимо от состояния движения, Отметим, что в силу произвольности объема т и поверхности Е в лн1бой точке сплошной среды сушествует множество векторов рм отвеюющих площадкам с различными и. Тем не менее далее мы покажем, что между векторами р„в фиксированной точке 1'нс.
1. Вентер напряженно р Рнс. 2. Схема ннднандуалнаапнн частнд сплошной среды среды имеет место не зависящая от конкретного вида движения связь. Установив эту связь, оказывается возможным описать напряженное состояние среды с помощью специального объекта-- тензора, свойства которого 1существенные, конечно, не только для описания поверхностных сил) будут рассмотрены ниже. Метод Лагранжа и метод Эйлера изучения движения сплошной среды.
Очевидно, что движение сплошной среды будет полностью опредолено, если известно движение всех ее частиц. В связи с этим возникаег вопрос о способах индивидуализации частиц. Например, можно индивидуализировать малуно частицу обьема Ьт заданием значений начальных координат а, б,с некоторой приггадлежащей Ьт точки М (рис. 2) Тогда, если к моменту времени 1 точка М займет положение точки М (т*, й", н*), та закан движения дашюй фиксированной частицы 10 Пь 1.
Описание движении и деформации сплошных среды среды запишется а виде х' = х*(а,б,с,1), у* = у*(а,б,с,б), л* = и'(а, б, с, 6). (1.1) В случае, когда а„б, с, 1 рассматриваются как переменные, соотношениями (1.1) задается закон движения сплошной среды. Сами же переменные а, б, с,1 называются переменными Лагранжа, чьн точка зрения на описание движения сплошной среды как раз и состоит в изучении кинематики и динамики фиксированных частиц. Таким образом, при использовании метода Лагранжа все характеристики среды являются функциями переменных а, б, с, 1. В частности, проекции скорости частицы и и ускорения а на оси декартовой системы координат выражаются формулами дх* ои д6 ' д"* а.= —, д 12 де* Ю д' дгз ' ду* о1 д1 дзу~ а д д12 а плотность р = р(а, б,с,б).
Отметим, что, как мы убедимся далее, именна метод Лагранжа .лежит в основе применения физических законов к изучению движения сплошной среды. Вместе с тем во многих задачах представляют интерес не сведения о движении фиксированных частиц, а распределение в пространстве и изменение во времени характеристик среды (плотности, скорости, ускорения и других). В зтих условиях применяется метод Эйлера, согласно которому изучаетсн изменение состояния среды в фиксированных точках пространства с течением времени и изменение состояния среды при переходе к другим точкам пространства. Иными словами, с точки зрения Эйлера, объектами изучения являются скалярнгпе и векторные поля величин, определяющих движение среды.
При атом искомые функции зависят от переменных х, у,х, 1, называемых переменными Эйлера. Тем самым, например, принимается, что р = р(х, у, л,1), их = 'ох(х., у, г,1), ил — — о„(х, .у, х, ~), о, = о,(х,у,х,1). При изучении движения сплошной среды может возникать необходимость перейти от переменных Лагранжа к переменным Эйлера и наоборот.
Ксли независимыми переменными являются а, 6, с и 1, то для перехода к переменным Эйлера нужно разрешить соотношения (1.1) относительно оп 6,с: а = д1(х*,у",в*,1), б = дг(х*,у*,х*,б), 1.1. Предмет и область приложений механики сплошной среды 11 Их — = о (х,у,х,1), «11 г»у — = ол(х,у, к,1), (1.3) «1л — = о,(х,у,л,1) с начальными условиями при некотором 1 = 1о: х, = а, у = Ь, л =- с. Интегрируя (1.3), находим х = 6»(а, Ь,с, «), у = Ьэ(а, Ь, с,1), л = Ьз(а, Ь,с,1). Тогда любая функция В(х,у,л,1) может быть представлена как зависящая от аргументов а, Ь, с, й В = В<И»(а, Ь, с, 1),. Ьэ (а, Ь, с, 1), Ьз(а, Ь, с, 1), 1). Индивидуальная (полная) производная по времени. Пусть, например, при использовании переменных Лагранжа плотность среды задана как функция а, Ь,с,1. Тогда изменение плотности фиксированной частицы в единицу времени равно (др/д1), »,.
Вычислим теперь (др/д1),А, в случае, когда р является функцией переменных Эйлера х, у, л, 1. Для этого перейдем ог переменных Эйлера к переменным Лагранжа и воспользуемся равенством р(х,у,л,1) = р(х(о» Ь, с, 1),у(а, Ь, с,1),л(а, Ь,с, 1),Х). Применян затем к р(х, у, г, г) правило дифференцирования сложной функции, будем иметь С учетом (1.2) из последнего равенства следует < др'1 «1р др др др др — = — = — + ох — + од — + о« вЂ”. 1' асс с = дз(х" ~ у*, л*,1).
В результате для любой величины А(а, Ь, с,1) получаем ее зависимость от переменных Эйлера вида А = А<у~(х*,у*»л*,1),дэ(х",у*,л*,1),дэ(х*,у*,г*,1),1). При этом, конечно, индекс ««» у координат х', у*, л* может быть опушен в силу произвольности выбора а,Ь,с. Чтобы перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа, нужно решить систему уравнений 12 Гл, 1. Описание движении и деформации сплошных среды Величина йр/й называется индивидуальной (полной) производной по времени и равна скорости изменения плотности фиксированной частицы среды.
Подчеркнем, что Йр/Й, вообще говоря, отличается от локальной производной др/дй Понятие полной производной применимо и к другим характеристикам сплошной среды. Так, индивидуальная производная вектора скорости пч/Л может быть записана в форме (1.4) где по определению д д д (игу) = еи —, + еэ — + э, —. 'дт "др 'дэ' Формулой (1.4) представлено ускорение фиксированной частицы среды в переменных Эйлера. Понятие индивидуальной производной будет в дальнейшем использовано при выводе фундаментальных уравнений, описывающих движение сплопгной среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
