Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Схематически цикл Карно изображен в плоскости (р, 1/р) на рис. 13 (стрел- 1!р ками на рисунке указано направление обхода замкнутого контура ХМгХР). На участке цикла МР1 газ расширяется при постоянной температуре 01 (изотермический процесс). (По причинам, которые будут ясны ниже., мы на время будем использовать для температуры обозначение 0.) На участке Хл'Р расширение продолжается, но уже без притока тепла извне (адиабатический процесс).
Участкам РХ и ХМ отвечают соответственно изотермическое (при температуре 0з < 01) и адиабатическое сжатие. Покажем, что действительно при 02 < 01 кривая М1л' лежит выше кривой РХ,, а угол наклона адиабаты в некоторой точке меньше угла наклона изотермы, проходящей через эту же точку. Для етого обратимся к уравнению притока тепла (2.31).
Из уравнений притока тепла (2,31) и Клапейрона в случае идеального совершенного газа следует, что при изотермическом процессе, когда 0 = сопз1, выполняются равенства Гл. 2. Фундаментальные законы механики Очевидно тогда, что изотермами служат гиперболы и, значит, кривая МЖ расположена над кривой РЬ, поскольку дэ < Оь Ясно также, что на участке МФ тепло поступает в систему (ц~') > 0), а на участке РГ оно отводится из нее (д~'1 < 0).
Чтобы вывести уравнение адиабаты, примем во внимание, что теперь д~') = О и представим (2.31) в вице 1Т,1/1~ б ( т '1 . — + РЛТ вЂ” Д = О, — 1 — „= О. В бс '1,Р,) ' а Вводя далее коэффипиент с„= сь + тс, находим уравнение адиа— = сопз1, у = —. са Рз с1 Определяемая этим уравнением кривая называется адиабатой Пуассона, а с„ — теплоемкостью при постоянном давлении (легко убедиться, что коэффициент ср численно равен количеству тепла, необходимого для нагрева газа на один градус при постоянном даВлении и ср > с~ ). Если теперь через некоторую точку (пусть для определенности это будет точка М на рис. 13 с координатами рм и рь1) проходят изотерма и адиабата, то изменения давлений р;, и р з на них связаны с изменениями плогносжи соотношениями рм Рм Рм Рм Раа Р Так как показатель адиабаты г > 1, тор;,, > раа, когда р < Рм, и Р;, < р,а, если Р > Рм. Тем самым показано, что взаимное расположение изотерм и адиабат именно таково, как изображенное на рис.
13, причем на участке цикла ММ тепло отбирается от внешнего тела-нагревателя, а на участке РЬ газ передает тепло телу-холодильнику. Нетрудно вычислить совершаемую в циклическом процессе 1.МУт'Р работу А, отнесенную к единице массы гааа. В самом деле, поскольку внутренняя энергия У есть функция состояния (то есть зависит лишь от значений параметров состояния и не зависит от вида процесса, в результате которого достигаются эти значения), то согласно 12.31) имеем дУ = О, рд — = А = бе1 — Ог, ьммр ьммР где Ст1 — тепло, подведенное к системе на протяжении цикла, а (~э — тепло, отданное системой.
Видно, что работа А численно 2.9. Второй закон термодинамики равна площади, охватываемой контуром ЬМ»»»'Р. При этом величина»1 = А/Я1 = 1 — Я2/Я1 называется коэффициентом полезного действия (к.п.д.) цикла Карно и характеризует эффективность тепловой машины как устройства, предназначенного производить работу за счет затрат тепловой энергии. Очевидно, что в силу обратимости цикла Карно при прохождении»,МИР в обратном (по отношению к изображенному на рис. 13) направлении обхода система отдает тепло Д1, приобретает тепло 1,)2 и над ней совершается работа Л. Выведем теперь с помощью рассмотрения цикла Карно теорему Карно, введем понятие абсолютной температуры Т и дадим количественнук» формулировку второго закона термодинамики. Теорема Карно: для всякого абра»пимого цикла Карно его к.п.д.
»1 эависига только от 01 и 02, но не зависит от своде»пв рабочего п»ела, его размеров, способов обмена энергией с внеи»- ними телами и т. д. Докажем сначала, что если реализуется необратимый цикл Карно с фиксированными 01 и 02, то его к.п.д, »1' не превосходит к.п.д. обратимого никла Карно»1 с теми же 01 и 02. Допустим,что»1' >»1 и покажем, что зто противоречит второму закону термодинамики. Условимся считать 01 > 02, а прямое и обратное направления обхода циклов примем такими же, как и выше для контура АМИР (см.
рис. 13). Пусть далее в необ)»атимом цикле некоторым устройством «1» совершается работа А. При эхом от нагревателя «Н» с температурой 01 отбирается тепло ф и часть его Я2 передается холодильнику «С», имеющему температуру 02. Пусть также имеется устройство «2 е, которое при работе по прямому обратимому циклу производит работу Л = А', получая от нагревателя тепло Я1 и возвращая холодильнику некоторое количество тепла 1»»2. Объединим устройства «1 ° и «2» таким образом, чтобы устройство «2», совершая обратный цикл, отбирало тепло у холодильника «С» и сообщало тепло нагревателю «Н».
Данная составная машина произведет работу А' — А = (٠— «е2) + Я2 — 1,»1) = О. Так как»1Я1 = »1~б»11, а па пРедположению Ц» ) П, та Сгг ( 1»»1 и Я1 — че1) — Я2 — »е2) ) О. Заметим, что (1»»1 — ф) — количество тепла, передаваемого нагревателю «Н». И оно равно (Я2 — Щ) — количеству тепла, отбираемого от холодильника «См Но тогда составная машина Гл. 2.
Фундаментальные законы механики 56 передает тепло от тела с меньшей температурой телу с большей температурой, что противоречит второму закону термодинамики. Значит, г) < !). Если рассмотреть два обратимых цикла Карно с одинаковыми д! и 02 и предпапожить, что их к.п.д. !)~ и !) различаются, то, повторяя приведенные выше рассуждения, приходим к противоречию со вторым началом термодинамики.
Отсюда заключаем, что г)~ = г), причем !) — универсальная функция переменных 01 и 02, так как при доказательстве не использовались никакие свойства конкретных тел. Тем самым доказана справедливость теоремы Карно. Найдем общий вид универсальной функции !) = !)(01, 02), по- ,пожив У(01,дг) = 1 — !) = —. Юг (;)! Рассмотрим далее три цикла Карно, характеризуемых температурами О1, 02, д!. При атом условимся считать первый из аргументов функции 1 равным температуре нагревателя, а второй— температуре холодильника. Очевидно, что Х(01 ~ 02) — ! (О! ~ Оз)2 (Оз~ 02).
()г ()г (ез (е! Юз Ф Если 01 — — дг, то 2 (О1, дз) = 1!1~(дз, д!). Тогда ф ((О д ) У(дз, дг) Ю! ' ' Пдз,01)' то есть ( 2) ы*(01) ' поскольку 1(01,02) не зависит от Оз. Функция и'(0) называется абсолютной температурой Т и мы имеем (ег Тг сз1 (ег — — — = — О. Ф Т!' Т1 Тг Если под ~(') понимать количество тепла с соответствующим знаком, то последние равенства принимают вид -)(е) ~(е) 1 + 2 — О (2.32) Т Т Соотношением (2.32) представлена количественная формулировка второго начала термодинамики для обратимого цикла Карно.
2.9, Второй закон термодинамики 57 Рассматривая произвольный обратимый цикл Е как предел суммы циклов Карно Ео (см. рис. 14), приходим к обобщению (2.32) (д(е) Отсюда в силу произвольности Е вытекает, что интеграл вдоль кривой, соединягцей некоторые точки А и В, не зависит от Е. Следовательно> существует функция со- стояния у ~д(е) Я(В) = / + Я(А), Л которая носит название энтропии. Привлекая понятие энтропии, второй аакон термодинамики для обратимых процессов можно сформулировать еще и в такой форме рр рис. 14. Ацнроксимацин цро- иакольного обратимого цикла Е суммой циклов Карно Е„ ТсБ = с((;)('). (2.33) В случае, когда процесс является необратимым, второе начало термодинамики принимает вид неравенства.
Действительно, если г)' -- коэффициент полезного действия рассматриваемого необратимого процесса, а к.п.д. обратимого процесса с теми же, что и в необратимом процессе, температурами нагревателя Т1 и холодильника То равен г), то в соответствии с теоремой Карно имеем — — — < О. (е'1 се 2 Ть Тз Данному неравенству можно придать иной вид, если при переходе системы из состояния А в состояние В осуществимы два Значит, для произвольного необратимого цикла Е справедливо неравенство Гл. 2. Фундаментальные законы механики процесса — обратимый (пусть ему в пространстве состояний соответствует кривая Е~) и необратимый, характеризуемый кривой С. Для обратимого процесса согласно определению энтропии имеем Г,(д(е) ~(В) - ~(А) = / Но в силу второго закона термодинамики ((~(е) Г ((.)(е) е — -- <О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
