Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 14
Текст из файла (страница 14)
3. Классические модели сллошных сред тельной к .С, то справедлив интеграл Бернулли 2 — +Р— И~ = С(Е) 2 Р (3.18) где С(Ю) постоянна вдоль Е. Другими словами, соотношение (3.18) выполняется вдоль линии тока или вдоль вихревой линии (их определение дано в 3 1.4), а также при се~)ч Заметим еще, что если движение жидкости таково, что давление является функцией только плотности, то происходяшие в среде процессы называются баротропными. 11римерами баротропных процессов могут служить изотермические и изоэнтропические процессы в совершенном газе, когда соответственно р сс р или р ос рч.
Для баротропных процессов р = р(р) и функция давления 'Р вычисляетгя путем непосредственного интегрирования. Интеграл Коши — Лагранжа. В случае беавихревого движения идеальной жидкости можно ввести потенциал скорости со, так что при наличии баротропии уравнение движения в форме Громеки — Лэмба (3.17) принимает вид ссдр е~ Кгас1 ( —,+ — +Р =Р. (сдЕ 2 Видно, что данное равенство верно, только если Р = егас1 И. В противном случае либо возникают вихри, либо процесс не является баротропным. Итак, при Р = Ктас1 И имеем — + — +Р— И = у(1), дР д1 2 где у (с) — произвольнал функция времени, которая легко исключается из рассмотрения введением вместо ср потенцала скорости ф по формуле со = ~э + у(Х) с(1, В результате, опуская индекс у ср', приходим к интегралу Коши— Лагранжа — + — + Р— И =- О.
дф 'о д1 2 (3.19) Перейдем теперь к примерам применения интегралов Бернулли и Коши-Лагранжа. 3.4. Примеры прлмеиеиии интегралов Г>ериулли и Коши-Ааграижауб 3.4. Примеры применения интегралов Бернулли и Коши — Лагранжа Использование интегралов Бернулли (ЗЛБ) и Коши — Лагранжа (3.19) часто упрощает решение конкретных задач, а в некоторых случаях позволяет определить интересуюшие характеристики движения, не обращаясь к полной системе нелинейных дифференциальных уравнений механики сплошной среды.
Пусть, например, требуется определить максимальную скорость истечения совершенного газа из резервуара через отверстие, размер которого мал по сравнению с характерным размером резервуара. Примем, что вдали от отверстия газ покоится и его давление и плотность равны соответственно ро и ро. Процесс истечения будем считать аднабатическим и обратимым. Пренебрежем влиянием массовых сил (в частности, силы тяжести).
Кроме того, из-за малости размера отверстия движение приближенно можно рассматривать как установившееся. Тогда функция давления Р вычисляется по формулам го Ро и интеграл Бернулли запишется в виде ю 'у р 'у ро 2 'у — 1Р -у — 1ро (здесь при записи интеграла Бернулли принято во внимание, что постоянная С(,С) одинакова для всех линий тока и в неподвижном газер=ро, р=ро) Так как для совершенного газа справедлив аакон Клапейрона, а изменения р и р связаны адиабатой Пуассона, то из интеграла Бернулли следует, что увеличение скорости газа сопровождается падением плотности, температуры и давления.
Очевидно, что максимальная скорость оюох достигается при истечении газа в вакуум, когда вне резервуара р = р = Т = О. При этом 2у ро 2у орох — )УТо ~ 'у — 1 Ро Тем самым показано, что в установившемся режиме течения скорость газа не может превышать ишох. Гл. 3. Классические модели сплошных сред Пусть теперь выполнены условия применимости интеграла Коши — Лагранжа. В таком случае замкнутая система уравнений неразрывности и движения для определения скалярной функции р и вектора скорости ч может быть свелена к нахоасдению только двух скалярных функций — плотности р н потенциала скорости у.
В самом деле, уравнение неразрывности может быть преобразовано к виду — +рс1г~(бгас1 у) = 0 д~~ ссс и совместно с интегралом Коши -Лагранжа они образуют замкнутую систему уравнений относительно неизвестных р и у. Вместо р в качестве искомой можно принять функцию давления Р.
В результате 'Р и у будут удовлетворять следующей системе уравнений 1 ЫР—,— +Лр=О, аз ссг ду (бгас1 у)з д1 2 (3.20) Ф(р) бр На основе уравнений (3.20) могут быть исследованы потенциальные течения несжимаемой жидкости (некоторые из них будут рассмотрены ниже), установившиеся движения сжимаемого газа и ряд лругих классов течений. Отметим, в частности, что из (3.20) путем линеаризации легко получить уже рассматривавшееся в 3 3.2 волновое уравнение для у, описывающее распространение малых возмущений в однородной среде.
3.5. Теоремы о вихрях в идеальной жидкости Мы видели в предыдущих параграфах, что вопрос о существовании или отсутствии вихрей в жидкости важен в отношении применяемых методов описания среды (он связан, в частности, с возможностью ввеления потенциала скорости). Поэтому рассмотрим некоторые теоремы, устанавливающие свойства вихревых движений идеальной жидкости.
Теорема Томсона о постоянстве циркуляции. По аналогии с понятием индивидуального объема введем понятие жилкой линии как состоящей во все время движения из одних и тех же частиц среды. 3.5. Теоремы о вихрах в идеальной жидкости 77 Выберем далее в области течения идеальной жидкости произвольную жидкую линию. Пусть в некоторый момент времени 1 зта жидкая линия занимает положение АВ и радиусы-векторь ..„инадлежащих ей точек М и йт равны соответственно г и т, ~рис. 18).
Рис. 18. 11оложение лениной линии в моменты времени Е и т+ Ф Через промежуток времени Ш жидкая линия займет положение А1В1, а точкам М и Ф будут соответствовать точки М1 и Фы ()пределим скорость изменения со временем циркуляции Г вектора скорости частиц, принадлел1ащих выбранной жидкой линии АВ. По определению (см. З 1.4 ) Г= нбг, бг=г1 — г. АВ Так как и — - скорость фиксированной частицы, а бг — разность радиусов-векторов фиксированных частиц, то в выражение для дГ/Ж войдут полные производные ~Ь7М,, Ы(бг)/М = бн и для еП')<И будем иметь формулу Л И Г Г сЬ~ — =- — / тбг = / — бг+ нбн = й а/ /а АВ АВ АВ Г сйг Г оз Г бн о,'а о~А = / — бг+ / б — = / — 'бг+ — — —. / ей,/ 2,/ ~й 2 2 ЛВ АВ Воспользовавшись уравнением движения идеальной жидкости, в случае замкнутого контура С получим — — 'бг= Р " " дг= Рбг- — '" 78 Гл.
3. Классические модели сплошных сред Если массовые силы имегог потенциал, так что г' = бгас1 И и И --- однозначная функция, то при наличии баротропии р = р(р), др(р = дР и, следовательно, дà à — = / д(Ы вЂ” Р) = О, Г = сопвФ. й / с Таким образом, циркуляция вектора скорости по замкнутому жидкому контуру не зависит от времени, в чем и состоит содерзгаигге теоремы Томсона. Необходимо, конечно, иметь в виду., что теорема Томсона верна лишь для идеальной жидкости, обладающей свойством баротропии и находящейся в иоле потенциальных массовых сил. Теорема Лагранжа о сохраняемости потенцнальн о г о д в и ж е н и я.
Пусть в момент времени 1 движение жидкости потенциально, так что ч = цгас1 у и у — однозначная функция. Тогда для произвольного контура С Г = цгаг1 ~рдг = др = О. Если выполнены условия теоремы Томсона, то и в последующие моменты времени з рассматриваемом объеме жидкости будет Г = О, а, значит, течение, останется потенциальным.
Последнее вытекает из формулы Стокса (1Л4) Г= 2 ы„ИЕ в силу произвольности контура С н опирающейся на него поверхности Е, целиком лежащей в рассматриваемом объеме. Пинематическая теорема Гельмгольца о вихрях. Для вектора вихря ог в 81.4 были определены вихревые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором ьг. Назовем теперь вихревой трубкой трубчатую поверхность, ограниченную вихревыми линиями с малым поперечным сечением г1Е (малым настолько, чтобы ы можно было считать постоянным по сечению трубки).
Тогда кинематическая теорема Гельмгольца утверждает, что напряженность (или интенсивность) вихревой трубки, равная ыйЕ, постоянна по длине вихревой трубки. Действительно, рассмотрим напряженность вихревой трубки в сечениях г1Е и г1Ег. Обозначая заключенный между этими сечениями объем трубки через т, а его поверхность через Е, на основании 3.6. Потенциальное движение несжимаемой жидкости 79 формулы Гаусса-Остроградского имеем /1 ы„с1Е = с11чыг1т = с11ч ~ —.о1 ч г1т = О. и т Принимая во внимание, что цоток вектора ш через боковую поверхность т равен нулю, находим, что ы ЫЕ = ы1 ЙЕ1 (индекс у и относится к значению в сечении 4Е1).
Поскольку сечения йЕ и дЕ1 произвольны, то тем самым теорема Гельмгольца доказана. Следствием кинематической теоремы Гельмгольца является вывод о том, что вихревые трубки не могут начинаться и заканчиваться внутри среды. Данный вывод, называемый второй кинематической теоремой Гельмгольца, вытекает из первой теоремы Гельмгольца и из условия непрерывности вектора вихря. Первая динамическая теорема Гельмгольца о вихрях. Определим вихревые поверхности как такие, в каждой точке которых ы„= О. Покажем, что в условиях теоремы Томсона частицы жидкости, образующие вихревые линии и вихревые поверхности, во все время движения образуют вихревые линии и вихревые поверхности. Пусть Š— вихревая поверхность.
Для любого замкнутого контура С, принадлежащего Е, по теореме Стокса Г = О, а по теореме Томсона дГ/Ж = О. В силу произвольности С это означает, что во все моменты времени на поверхности Е выполнено равенство ыч = О, то есть Е является вихревой поверхностью. Рассматривая вихревую линию как пересечение вихревых поверхностей, заключаем, что и вихревая жидкая линия остается таковой во все время движения. Вторая динамическая теорема Гельмгольца о вихрях. Согласно этой теореме, в условиях теоремы Томсона напряженность вихревой трубки не меняется со временем. Действительно, по теореме Стокса циркуляция Г по замкнутому контуру, ограничивающему сечение дЕ, равна Г = 2идЕ.
А по теореме Томсона оГ/Ю = О. Значит, ы цЕ = сопэ$. 3.6. Потенциальное движение однородной несжимаемой жидкосхи. Уравнение Лапласа для потенциала сноросхи. Граничные условия на поверхности твердого хела и на свободной поверхности жидкости Сравнение замкнутых систем уравнений, описывающих движение несжимаемой (2.13) и сжимаемой (3.2) жидкостей, показывает, что учет сжимаемости увеличивает порядок системы гидродинамических уравнений. Поэтому целесообразно вывести Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
