Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Классические модели сплошных сред описывающих движение вязкой сжимаемой жидкости, необходимо привлечь уравнение притока тепла и второй закон термодинамики. Далее мы будем предполагать, чта в вязкой сжимаемой тепло- проводной жидкости р*, = — р4~+ту и справедливы законы Навье-Стокса (см. 3 2.6) т; =- Лсйччб,у + 2рес1 и Фурье (и. 2.8) с1 = — кцгас1 Т вЂ” +рсйчч = О, ор И (3.24) а уравнение движения принимает вид цч Л+р — = л' — — 8гас1 р+ — 8гац сйчч+ пугач (3.25) 11 р Р (' = Мр). Преобразуем далее уравнение притока тепла (2.31). Замечая, чта 1 / дч дч дч'Л р, тйе,у — ( ре — + рч — + р, — = — — сйч ч + р ~ *дсс лдй 'дл) р р 1 Ч = с11чЧ Р уравнение (2.31) можно записать следующим образом: АУ дУор дСг<Ь р, т, е;; 1 + — — 61чч+ — "" — — сйч Ч.
с(г др й дл й р р р (3.26) (е, — компоненты тензора скоростей деформаций, Ч вЂ” вектор потока тепла). Примем также, чта вязкая сжимаемая жидкость является двух- параметрической средой, в которой внутренняя энергия У есть известная функдия плотности и удельной энтропии л. В целях простоты коэффициенты вязкости и теплопроводности будем считать постоянными, хотя в общем случае они могут зависеть от термодинамических параметров (например, от температуры Т). Очевидно, что для вязкой сжимаемой теплопроводной жидкости остается в силе уравнение неразрывности 3.8. Вязкая тепяопроводпзя сжимаемая жидкость 87 В случае идеальной среды, механические процессы в которой обратимы, справедливо равенство Т Йз/М = 9('~ и, как мы видели в 3 3.1, имеют место соотношения (3.3) эдему дат р=р' —,, Т= —, др' дз' Покажем, что (3.3) выполняются и в вязкой теплопроводной среде.
Для этого выведем сначала так называемое неравенство диссипации или неравенство Клаузиуса. Неравенство Клау зиуса. Определим энтропию индивидуального объема сплошной среды Я, ограниченного поверхностью Е, выражением Я = рвет т и вычислим оЯ/Й, воспользовавшись вторым законом терьигди- намики.
Получим (см. 82.9) где 8;з/й > Π— скорость изменения энтропии единицы массы среды, обусловленная необратимыми процессами. Применяя формулу Гаусса — Остроградского и правило дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему, приходим к уравнению с1з 1, Ч Аз — = -- а1ч —, + — '. я 1 р Т гЛ Или 1, дз 1 сЦз — — сПч ц = Т вЂ” — — я 8гзО Т вЂ” Т— (3.27) р д1 рт д1 ' Подстановка (3.27) в (3.2б) дает сЮ дУор дауда р т; е, йз 1 8ьз — = — — + — — = — — оПч ч+ — ~ — н +Т вЂ” — — г18гай Т вЂ” Т вЂ”. й1 дрМ дз М р р о1 рТ о'г Так как 4з/ЫФ > О, то из последнего равенства следует нера венство, называемое неравенством диссипации или неравенством Клаузиуса ~Ш р, т; еО ~Ь 1 — + — Й1чч — ' — Т вЂ” + — с18гас) Т < О. (3.28) Й р а рт Гл.
3. Классические модели сплоглиых сред Представим (3.28) в виде — — — ) — + ~ —, — Т ) — — + — г18тад Т < 0 дУ р '~ др /дУ '1 г1а т,~агу 1 др рз) Й ~,дэ ) ~11 Р РТ и пРедположпм, что .тй, ееб бтаг1 Т пРенебРежимо малы. Тогда (3.3), очевидно, выполняются. Но (3.3) связывают величины, не зависящие от тб, е;, бгзс1 Т.
Значит.,и в вязкой теплопроводной среде ЫУ р др оа —.= — — +Т вЂ”. ,у,г,11,11 ' (3.29) Соотношение (3.29) называется тождеством Гиббса. Принимая во внимание тождество Гиббса, уравнение притока тепла (3.26) можно записать в виде г!а т;~ е,у к Т вЂ” = + — ЬТ. п1 о р (3.30) 3.9. Число Рейнольдса. Понятие о пограничном слое. Опыт Рейнольдса.
Понятие о турбулентности Рассматривая течения идеальной и вязкой жидкости, мы неоднократно обращали внимание на то, что в рамках этих С учетом (3.3) уравнения (3.24), (3.25), (3.30) образуют замкнутую систему для нахохгцения неизвестных функций р, и, ж Если энтропия а и давление р известны как функции р и Т, то подлежат определению р, ч, Т. Одно из преимуществ выбора р, ч, Т в качестве искомых фуякций состоит в возможности постановки типичных для приложений краевых задач. Так, в задачах обтекания тел для скорости ч ставится условие прилипания (см. э 2.6) и на поверхности тела обычно считаются заданными или температура Т, или нормальная к поверхности тела компонента вектора потока тепла пп.
Не исключены, разум<. егса, и иные граничные условия (например, смешанные, когда на одной части поверхности тела задана Т, а на другой - - г1п). Рассмотрев классические модели идеальной и вязкой жидкости, естественно поставить вопрос о том, какую из этих моделей пелесообразно использовать при исследовании конкретного течения. В следующем параграфе будет показано, что применительно к задачам обтекания непроницаемых тел этот вопрос решается путем оценки относительного влияния ка движение среды сил инерции и вязкого трения.
3ть суясао Рейяольдса моделей существенно различакпся граничные условия на поверхности обтекаемого непроницаемого тела (условия непротекания и прилипания соответственно для идеальной и для вязкой жидкости). Именно зто различие и должно ока,.„авать основное влияние на структуру течения. 3 атом лаги убедиться, замечая, например„что решения, описывающие плоские потенадиальные течения идеальной несжимаемой нсидкости, удовлетворянат и уравнениям Навье — Стокса (3.25), поскольку Мч ч = О и сач = О. Опыт, однако, показывает, что для достаточно широкого класса течений влияние вязкости проявляется лишь в достаточно топком пристеночном пограничном слое, толщина которого 6 мала по сравнению с характерным размером обтекаемого тела 1. Установим критерий, обеспечивающий выполнение неравенства б «1.
Для определенности рассмотрим плоское установившееся обтекание пластинки длины 1 равномерным потоком вязкой несжимаемой жидкости в отсутствие массовых сил (рис. 23). Обозначая через ч" скорость набегающего потока, оценим слагаемые в уравнениях неразрывности и движения, предполагая, О Рис. 23. Пограничный слой на пластинке что в пограничном слое компонента вектора скорости пи изменяется на величину порядка $' на расстоянии б в направлении д и нз расстоянии 1 в направлении т, а производные де,/дт и д2ч„/дгзв конечны. Тогда нз уравнения неразрывности следует опенка Оценивая далее слагаемые в проекции уравнения движения на ось гс и учитывая, что в пограничном слое за счет вязкого трения происходит уменьшение скорости жидкости на величину порядка Г (иными словами, полагая, что в пограничном слое силы вязкости сравнимы с силами инерции), получим б )и 1 '1с 'к'1 а/Ке Безразмерный параметр Ке = р'1/и называется числом Рейнольдса и он характеризует отношение силы инерции к силе вязкости.
90 Гл. 3. Классические модели сплогиных сред Таким образом, видно, что при Ве» 1 силы вязкого тре- ния сушественны в тонком слое вблизи обтекаемой поверхности, а вне этого слоя, вообще говоря, приемлема модель идеальнной жидкости. Проводя аналогичные оценки слагаемых в проекции уравнения движения на ось у, находим, что др/ду = О, если Ке» 1. Суммируя результаты оценок, уравнения неразрывности и дви- жения в случае Ве» 1 можно записать в виде дех дол — + — =О, дх ду дух дох 1 др д ох о — + еэ — — — — — — + и —, (3.31) * дх " дд рдх дуэ ' др Соотношения (3.31) получили название уравнений погранич- ного слоя.
Являясь менее сложными, чем уравнения Навье — Стокса, уравнения пограничного слоя тем не менее позволяют исследовать многие свойства движений вязкой жидкости. В результате оказывается возможным определить, в частно- сти, сопротивление плавно обтекаемых тел. Важную роль прн этом играют известные решения уравнений движения идеальной жидкости. Действительно., из третьего уравнения (3.31) следует, что да- вление в пограничном слое зависит лишь от координаты х. В то же время р(х) при д > д должно стремиться к распределе- нию давления, которое отвечает обтеканию рассматриваемого тела идеальной жидкостью.
Поэтому, если обтекание идеальной жидко- стью известно, то течение в пограничном слое будет удовлетворять уравнениям (3.31) с известной функцией др/дх. При этом для входягцих в (3.31) компонент скорости ех, еэ на поверхности гела ставится условие прилипания, а при у > б считается заданной эх. Если решение системы уравнений (3.31) с указанными гра- ничными условиями найдено, то, интегрируя напряжение трения дох ту = р— ду э=а по поверхности тела, можно определить сопротивление вязкого тре- ния, которое для плавно обтекаемых тел составляет десятки про- центов полного сопротивления. Обратим теперь внимание на то, что как в модели погранич- ного слоя, так и при изучении в з 2.6 течения Пуазейля, предпола- галось, что движение жидкости плавное (слоистое или ламинар- ное) и не сопровождается пульсациями скоростей частид.
Однако 91 3.10, Лилейлал термоулрутал среаа уже ранние опыты Гогена и О. Рейнольдса по изучению движения жидкостей в трубах показали, что для трубы радиуса а, ламинарное течение реализуется лишь при достаточно малых скоростях потока Г. По достижении же некоторого предельного значения скорости характер течения резко менпс. я, возникают нерегулярные пульсапии параметров среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
