Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ПРИЛОЖЕНИК Некоторые сведения из общей теории тензоров х =ж (т",хэ,т~). (П.1) Обобщим теперь данное в первой главе понятие вектора. Примем, что если для каждой системы координат ж' определены функции А' так, что при преобразовании координат (П.1) величинам А' отвечают величины А' согласно формулам (П.2) то совокупность величин А' определяет контравариантный вектор с компонентами А' (в формуле (П.2) и ниже применяется правило суммирования по повторяюшимся индексам, если не оговорено иное). Легко проверить непосредственным дифференпированием, что, например, контравариантным является вектоР от, компонентами которого служат дифференциалы координат.
Аналогично (П.2) вводится понятие ковариантного вектора с компонентами А, (П.З) Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции: можно показать, что по формулам (П.З) преобразуются, в частности, компоненты вектора градиента скалярной функции. При решении задач механики сплошной среды иногда предпочтительнее пользоваться не декартовой, а криволинейной системой координат, которая вводится, исходя из особенностей рассматриваемого движения, В связи с этим возникает вопрос о преобразовании векторных выражений и операций над векторами и тензорами к любым криволинейным координатам.
Для того чтобы выполнить такие преобразования, необходимо обратиться к основам обшей теории тензоров. Пусть в трехмерном евклидовом пространстве введены криволинейные координаты т' и т' (ю' = 1,2, 3) и установлено соответствие между ними Приложение Обобщая далее понятие ортогонального тензора второго ранга, ладим следующие определения контравариантного, ковариантного и смешанного тензоров второго и выше рангов. Если для каждой системы координат х' определены функпии А д, которые при преобразовании координат (П.1) преобразуются по формулам А'~ = А"ц — ' дка д 4' (П.4) где дсь = Сы/д — составляющие симметричного контравариантного метрического тензора и Сы — алгебраическое дополнение элемента дьь в детерминанте д матрицы с компонентами д;ь.
Составляя по обычным правилам произведение тензоров доь н д"', получаем смешанный тензор д," — это единичный тензор, остающийся таковым в любой системе координат. то А д определяют контравариантный тензор второго ранга (в (П.4) индексы и, д принимают значения 1, 2, 3).
Соответственно составляющие А р ковариантного и А„сме- Ф шапного тензоров преобразутся по формулам дх" дхд -ь дх" дхь Ась = А,—,. —, А". = Ад —. —. (П.б) дх' дхь' ' дх' дхд Нетрудно обобщить (П.4) и (П.б), вводя определения тензаров третьего, четвертого и так далее рангов.
Например, составляющие тензора третьего ранга А7, два раза ковариантного и один раз контравариантного, подвергаются преобразованиям дх дхп дх д дх дх" дх~' Одним из важных для приложений тензоров второго ранга является метрический тензор, который связан с фундаментальной квадратичной формой, определяющей квадрат расстояния Ыа между двумя близкими точками пространства. Полагая ~~2 (х1 3) 1 т 4хь и учитывая, что де~ является инвариантом, а дх' — компоненты контравариантного вектора, при условии д;ь = дм из обобщенной теоремы деления тензоров получаем, что д,ь образуют ковариантный тензор.
Пользуясь операциями умножения тензора на вектор и сокращения индексов,нахолпм связь между ковариантными и контра- вариантными компонентами любого вектора А; = д;ьА", А' = дььАь, (П.б) 104 Приложение дА„ л дА л 'судА = — АлГ: ~тдА = + А Глд джд д' дтгд Г.,=д Гь, тл (П. 7) (Г, „д и Глд — символы Кристоффеля первого и второго рода). Воспользовавшись (П.7), нетрудно представить геометрическое приращение, например, контравариантного вектора А' в виде ттА + Г'~Ал,~,ь (П.8) С помощью выражений (П.б) нетрудно выяснить геометричестсий смысл ковариантных и контравариантных составляющих произвольного вектора а: ковариантные компоненты А, равны умноженным на /дн ортогональным проекциям а на направления касательных к координатным линиям, в то время как А' равны умноженным на Лттдп ортогональным проекциям а на направления нормалей к поверхностям к' = соттат (отметим, что в подкоренных выражениях суммирование по индексу т отсутствует!).
Очевидно, что для ортогональных криволинейных координат проекции вектора а на касательные к координатным линиям и на нормали к координатным поверхностям совпадают. Эти проекции обозначим как а~, и назовем физическими составляющими а.
Рассмотрим теперь вопрос о дифференцировании векторов и тензоров, компоненты которых заданы в криволинейной системе координат. Возникающая здесь особенность заключается в том, что если за дифференциал, например, некоторого ковариантного вектора А; принять ЫА;, то эти величины не будут являться компонентами ковариантного вектора (в этом легко убедиться, рассматривая связь между дАт и дАс). Данное обстоятельство обусловлено, конечно, тем, что при параллельном переносе вектора его составляющие в криволинейной системе координат, вообще говоря, изменяются и ЫАт не равен геометрическому приращению вектора А,.
Для того чтобы определить геометрическое приращение вектора, заданного ковариантными или контравариантными компонентами, вводятся соответственно ковариантные производные ковариантного и контравариантного векторов по формулам 105 Приложение Ковариантные производные (П.7) образуют ковариантный и смешанный тензоры второго ранга.
Аналогично (П.7) определяется также ковариантпая производная тензора, исходя из требования вьшолиения для производной от произведения тензоров обычного правила дифференцирования. Существенно при атом, гаго по отношению и тепзорпому дифференцировании> метрический тензор может рассматриваться как постоПННЫй, тО ЕСТЬ ~7Лдгв = О, Л7Лд," = О, Л'Лд ' = О. Воспользуемся теперь приведенными выше обобщениями операций над векторами и тснзорами, чтобы записать фундаментальные уравнения механики сплошной среды в криволинейных координатах. Уравнение неразрывнности.
Пусть РЯ - — контравариантныс составляющие вектора скорости ч. Тогда в силу тснзорных свойств ковариантной производной контравариаптного вектора величина Жгрч = лг,РР' есть инвариант и уравнение неразрывности можно записать в виде др дРЪ~ г,уд дрЪ'2 Я дР1;э /д (при выводе этого уравнения учтено, что /9Г; '= д /9/дх~). Переходя в ортогональной криволинейной системе координат к физическим компонентам вектора скорости а „из (П.д) будем иметь др дрлг 922922 пх~ дР4Уагдэа ага дрл/даад22 о. а ланд, + ++ ++ '. ' — О дс дх дх2 дха (П.10) С помощью (П.10) уравнение неразрывности легко записать, в частности, в цилиндрической и сферической системах координат, предварительно выразив квадрат линейного элемента дэ через приращения координат и найдя тем самым величины ди.
Уравнение движения. Чтобы установить вид уравнения движения в криволинейных координатах, рассмотрим сначала контравариантные компоненты а' вектора ускорения а = йч/пг. Так как геометрическое приращение вектора скорости при переходе от одной точки пространства к другой, близвой к первой, может быть выражено через ковариантную производную, то согласно (П.8) будем иметь Приложение 106 и Л* = —, + р т!., + р'т,', (П.12) (р'~ — контрвариантные компоненты тензора П). Обозначая через Р' контравариантные составляющие вектора массовой силы Р, на основании формул (П.11) и (П.12) представим уравнение движения в виде р — + ~™Г,Х' = рГ*+ — ', + р т,'о+р'т',, (ПОЗ) Таким образом, используемые в классических моделях сплошной среды уравнения движения Эйлера, Навье — Стокса и Ламе, записанные в декартовой системе координат, с помошью (П.И) преобразуются к любым криволинейным координатам.
Запишем далее выражения для контравариантных компонент В' вектора поверхностной силы К, действующей на единичный объем сплошной среды. Б декартовых координатах В, было определено (см. З 2.3) как расхождение тензора напряжений П, то есть К=с(и П. Пользуясь правилами преобразования компонент вектора и тензора (П.2) и (П.4) при переходе от декартовых к произвольным криволинейным координатам и', получим 1. Кочни Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.— Мл Изд-во АН СССР, 1961.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
