Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 15
Текст из файла (страница 15)
3. Классические модели сплошньт сред 80 условия, при выполнении которых среду можно считать несжимаемой и использовать менеее сложную, чем, например, (3.2), систему уравнений. Пусть в рассматриваемом течении бр, бр — характерные изменения давления и плотности, а движение таково, что справедлив интеграл Бернулли. Тогда бр ре2, бр азбр, где а — скорость звука. Отсюда бр ез р и изменения плотности малы, если отношение скорости жидкости к скорости звука, которое называется числом Маха, много меньше единицы, то есть — « 1. 13.21) а В случае неустановивпгегося течения с характерными пространственным 1 и временчым б масштабами изменечия параметров среды из уравнения движения получаем бр озбр бр о1 р1 р1 ' р оз1' Так как сагимаемость среды несущественна, если в уравнении неразрывности ор — « р(йчч(, Й то изменениями плотности можно пренебречь, когда е1 и — « -, — «1.
(3.22) ахР 1 а Предположим далее, что неравенства (3.21) и (3.22) выполнены и рассмотрим потенциальные движения однородной несжимаемой жидкости, плотность всех частиц которой одинакова. Если ~р(и, у, г,1) — потенциал скорости, то согласно (2.13) он удовлетворяет уравнению Лапласа Ьр=О. Выбор того или иного решения уравнения Лапласа диктуется граничными условиями.
Например, в задачах об обтекании непроницаемых тел, как следует из изложенного в 3 2.5, требуетгл равенство нормальных к поверхности тела компонент скорости жидкости и„ и скорости тела М, то есть ар е„= —. = йг. дн 3.7. Примеры плоских потенциальных движений 81 Иногда форма граничной поверхности неизвестна и подлежит определению. Один из примеров такой свободной поверхности, неподвижной в пространстве„ был рассмотрен в з 2.5, гле на заранее неизвестной границе вращающейся жид!!ости принималось постоянным давление. Для неустановившегося явил!ения согласно интегралу Коши — Лагранжа требование постоянства давления на свободной поверхности накладывает ограничение на производные потенциала !р. В общем случае, конечно, могут возникать задачи со смешанными краевыми условиями, когда движущаяся среда частично ограничена непроницаемыми стенками, а частично свободными поверхностями.
Теория многих из этих краевых задач для уравнения Лапласа хороп!о разработана. Мы же в следующем параграфе ограничимся лишь изучением отдельных примеров потенциальных течений! которые не только представлнют самостоятельный интерес, но и с их помогцью путем суперпозиции решений уравнения Лапласа могут быть исследованы более сложные лвижения.
3.7. Примеры плоских потенциальных движений однородной несжимаемой жидкости. Функция тока. Поступательный поток, обтекание угла, источник и сток, диполь, обтекание цилиндра Гассмотрим плоское потенциальное течение идеальной неслгимаомой жидкости. Для него по определению ъ' = (о~, сю О) и любая характеристика движения не зависит от г, то есть д,Эдз = О.
В таком случае, задавая, например, вид функции кр(хк р) (разумеется, кр(х, р) должна удовлетворять уравнению Лапласа), можно исследовать отвеча2ощес данному потенциалу движение. При этом оказывается полезным ввести поннтие функции тока. Чтобы это сделать, заметим, что из уравнений для линий тока (см. Э 1.4) дх Нр ои оа следует — ол цх + и др = О. В то же время уравнение неразрывности дает доа. дон дх др Но тогда выражение — о, !ах + ои др являетсн полным лифференциалом некоторой функции ф(х, р), причем дф дар — о!! дх+ он 0!у = с1ф, э~ = —,, оэ — — — —. др' " дх 6 Зак.
2! ! Гл. 3. Класси геские модели сплошных сред Таким образом, кривые ф(х, у) = сопИ вЂ” это линии тока и поэтому ф(х, у) называется функцией тока. Заметим, чта если поле скорости потенциально, то Щ = О (это непосредственно вытекает из выражений ог, оу через производные у и гр). Граничным же условием, например, на поверхности обтекаемого тела (в плоском случае задать уравнение этой поверхности — значит задать контур тела в переменных х,у) служит ф = сапИ. Следовательно, кинематические свойства движения можно исследовать, используя не только потенциал са, но и функцию така ф. Подчеркнем таклге, что при известных гр или гр распределение давления в жидкости и на обтекаемом контуре можно определить из интеграла Бернулли в случае установившегося движения или из интеграла Коши-Лагранжа, если параметры течения зависят от времени.
Выберем теперь конкретный вид функции ф(х, у) и выясним отвечающий ему характер течения (для каждой из приводимых ниже функций гр(х, у) непосредственной проверкой устанавливается, что Ьф = О). Поступательный поток. Полагая гп = и у + сопэуе видим, что во всей области течения е =- дур/ду = о, ои = — — дгрггдх = О. Значит, линии тока параллельны оси х и скорости всех частиц жидкости одинаковы.
Для установившегося движения из интеграла Бернулли следует также постоянство давления. Обтекание угла. Введем полярную систему координат т, д и примем гр = грот" эгпяд, где фа и и — постоянные, а х и у связаны с г и д соотношениями х = т сов д, у = т эшд. Линии тока Рис. 19. Обтекание угла: а) п = 3/4; б) п = 4 в данном течении представлены на рис. 19а, б (стрелки указывают направление вектора скорости частиц среды).
3.7. Примеры нлоских потенцив.тьных движений 83 Видно, что в число линий тока входят и лучи д = О и О = л~гь Это позволяет рассматривать движение либо как обтекание угла а > л (при и < 1), либо как течение внутри угла гх < х (при и >1). учитывая геометрическую связь проекций скорости о„, ел на оси полярных координат с о„, ов и пользуясь выражениями дт, ду через приращения Ф, Йд, находим 1 д4> дф от 1 оа т дд' ' дт' Таким образом, в начале координат при и < 1 скорость обращается в бесконечность, а при и > 1 она равна нулю.
Источник и сток. В случае, когда функция тока линейно зависит от полярного угла д и не зависит от т, имеем ф = фоо и линиями тока будут радиусы д = сопз1. Интегрируя тогда уравнение неразрывности йхч = О по объему, заключенному между двумя окружностями с произвольными значениями радиусов, и применяя формулу Гаусса — Остроградского, находим е„т = сопз$ (о, — радиальная составляющая вектора скорости). Таким образом, при е, > О частицы среды удаляются от начала координат, а при пе < Π— . приближаются к нему. Иными словами, в начале координат располагаются соответственно источник или сток жидкости.
Точечный вихрь. Если ф = — фа1п г = — фа1п ьУтг +уг, то линии тока — окружности т = сопзс и дФ Фоу дФ Фот ох ду ж2+ У2: о дт ое2+ У2' Вращательным движением частиц по окружностям и обусловлено название данного течения — точечный вихрь.
Для точечного вихря циркуляция скорости Г по замкнутому контуру, охватывающему начало координат, отлична от нуля и равна гкр =- (е йж + о„ду) = С С вЂ” . + ~ =Фо/ г1д=3х~4о Фо= —. фоу Йж 4от Иу '~ Г Г г+,г, 2+угг) / о' С С Ди~голь.
Пусть Фо з1п д Фоу 1=в ,.г+ г 7 Зак 2П Гл. 3. Класси геские модели сплошных сред Очевидно, что линии тока представляют собой окружности с центрами, лежапгнми на оси у (рис. 20). Заметим, что описанное течение можно получить как линейную комбинацию источника и стока, рзсполагаюшихся на бесконечно малом расстоянии один от другого. Обтекание цилиндра. В силу линейности уравнения Лапласа сумма рассмотренных выше функций тока также является решением уравнения Щ = О. Используем зто обстоятельство для Рис.
20. Линии тока течения, соэлаваемого лилолем Рис. 21. Обтекание цилннлра бее циркуляции построения функции тока, отвечагошей обтеканию цилиндра радиуса го поступательным потоком на бесконечности. Полагая Т Юлооге 81Ц д М1 = Отоог81ПГ9~ '912 = 1П ) 913 =— 2тг то г г21 Г г ~ = А + ~12 + ~18 = отоо 81п 19 г — — ~ — — 1п —, (3.23) г. 2тг го ' дф, дг99 д4 оа = -ц зш д + п„сов д = — — зш19 — — сов д = — — = О.
ду дт дт видим, что окружность т = го является линией тока 91 = О, которую можно заменить непроницаемым контуром, моделируя тем самым обтекание пилиндра. Картина соответствующих (3.23) линий тока изображена на рис. 21 и рис. 22а, б в зависимости от величины циркуляции Г. Ясно, что при Г = 0 обтекание симметрично относительно плоскости у = 0 и на цилиндре имеются две точки д = О и д = х, называемые критическими, в которых скорость обрашается в нуль 1рис. 21). Если Г ~ О, то координаты критических точек можно найти из условия равенства нулю касательной к окружности г = го компоненты скорости и,т 3.8. Вязкая теплопроводпая сжимаемая жидкость 85 Следовательно, в критических точках угол де можно определить из уравнения Г 2о япд — — =- О. хее с пго Из выражения для д, видно, что критические точки лежат на поверхности цилиндра, если )Г( < 4ягои ~, причем при Г > О— в верхней полуплоскости, а при Г < Π— — в нижней полуплоскости ~рис. 22ьб Ге = Г/2т гоох,е).
При (Г) > 4пгоп одна из критических точек лежит внутри цилиндра, а другая — вне его 1если Г > Π— то в верхней полуплоскости, а если.Г < Π— то в нижней полуплоскости). Форма линий тока в данном случае показана на рис. 226. Несмотря на то., что обтекание цилиндра представляет собой лишь частный случай общей проблемы обтекания непроницаемых тел, с помощью 13.23) может быть решена важная для приложений Рис. 22.
Обтекание цилиндра е циркуляцией: а) Г, = 1.73; б) Г = 2.07 задача обтекания тонких крыловых профилей. Для етого привлекаются методы теории функций комплексного переменного, а выбор значения циркуляции Г осуществляется, исходя из гипотезы Жуковского, позволяющей избежать особенностей в распределении скорости на профиле.
Физический же механизм, порождающий Г, обусловлен влиянием вязкости, которое при определенных условиях проявляется лишь в тонком пристеночном 1так называемом пограничном) слое в окрестности обтекаемого тела. Критерий малости толщины пограничного слоя д по сравнению с характерным масштабом обтекаемого тела 1 будет выведен ниже, после достаточно общей формулировки замкнутой системы уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости, чему посвящен следующий параграф, 3.8. Вязкая теплопроводная сжимаемая жидкость. Полная система уравнений. Граничные условия Подобно тому как зто было сделано в модели идеальной сжимаемой жидкости, для вывода замкнутой системы уравнений, 7* Гш 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
