Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Здесь же без доказательства отметим, что вывод о невозможности скачков разрежения остается в силе для произвольных сред есл 2 2 р, и (д (1/Р)/др )„> О н вид функции У(Р,Р) не меняется при переходе через разрыв. При нарушении этих условий скачки разрежения возможны. 3.2. Примеры движений идеального сжимаемого газа 69 3.2. Примеры движений идеального сжимаемого совершенного газа (звуковые волны, волны Римана) В этом параграфе в качестве примера рассматриваютсн такие движении идеального сжимаемого совершенного газа, которые сопровождаются малыми изменениями Р, р, ч по сравнению с некоторыми заданными постоянными величинами ро, ро, оо = (уроуРо) у . Ооратимся к системе (3.8) и, считая движение аднабатическнм, а энтропию всех частиц газа одинаковой, положим Р=ро+Р Р=ро+Р (3.12) Р «Ро, Р «Ро! ~~" ~<<по Подставлня затем (3.12) в (3.8) и ограничиваясь малыми первого порядка относительно возмущений Р', р', ч', приходим к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами вида др' — + Рос1!чч~ = О, д! дч' 1 — + — рас1 р' = О, дс Ро р = оар.
! 2 ! (3.13) д'Р - 2 = осы!Р дс д2!Р д2!Р д2!Р ЬР = — + — + —. дх2 др2 дх2 (3.14) Общая постановка краевых задач для уравнения (3.14) изучается в теории уравнений с частными производными. Здесь же отметим, что (3.14), как нетрудно проверить, обладает частными решениями типа бегущих со скоростью ао волн !Р =,!1(х — ое!) + !'2(х + 00!), где у> и 12 — произвольные функции пространственной координаты х и времени г.
Пользуясь тем, что гог (бгЫ р') = О, из (3.13) получаем д(гос и') у'дс = О. Значит, если в начальный момент времени г = О в газе отсутствовали вихри, то они не возникнут и при ! ) О. В таком случае согласно изложенному в 21.4 можно ввести потенциал скорости !Р(х, р, х, !), который, как видно из (3.13), удовлетворяет волновому ур авнелию Гю 3. Классические модели сплошимх сред В частном случае гармонических возмущений у = А~ з1п(ь»„,1— — Йч»х) такие решения описывают явления распространения в неограниченной области звуковых волн, в которых плотность, скорость и давление газа испытывают в фиксированной точке пространства колебания с периодом 2х/ы и амплитудой Ач, («а называется круговой частотой колебаний).
При ятом потенциал скорости у зависит от х по синусоидальному закону, так что длина волны возмущения равна 2х/1« ()с волновое число). Например, характерные значения длин звуковых волн, воспринимаемых человеком, можно оценить, замечая, что аг /й„= ао и принимая ао — — 340 м/с, ы /2и = 104 с г, Тогда длина волны 2х/1~ = 3,4 ем.
Существенно, что в неограниченной области могут распространяться волны любой частотьг. Но если газ заключен в ограниченном объеме, то периодические колебания возможны лишь с определенными («собственными») частотами. Этим колебаниям отвечают решения (3.14) типа так называемых стоячих волн. Для одномерного движения газа в объеме, заключенном между двумя непроницаемыми плоскостями, расположенными одна от другой на расстоянии 1, стоячие волны описываются потенциалом скорости вида я»гааз п«гх у = А соз соз я = х1, Из данного выражения для у следует, что в стоячей волне величина максимумов и минимумов у как функции х меняется со временем по гармоническому закону и р обращается в нуль в фиксированных точках пространства, то есть колебания не носят характер распространяющихся возмущений.
Выясним теперь роль нелинейных эффектов, которыми пренебрегалось при выводе системы уравнений (3.13). Сделаем это, обратившись к точному решению уравнений (3.8), описывающему так называемые простые волны или волны Римана. Рассмотрим изоэнтропические одномерные неустановившиеся движения. Будем искать решения уравнений (3.8) в виде р = = р(ок), причем ик = о~(х,1). Тогда приходим к следующей системе уравнений для нахождения р и ик: «1р ди до, с~р до — — *+р — '+о — — = О, «1и дс дх * «1и дх дои дех а «1р док — +пи — + — — — = О.
д» дх р «1о, дх 3.2. Примеры движений идеального сжимаемого газа 71 Из условий совместности уравнений этой системы вытекает требование обращения в нуль детерминанта (ср р+ ох— а ох а ар ох+ —— р гуох Раскрывая детерминант и предполагая, что для всех частиц среды в отсутствие возмущений а = ао, находим связь между р и ох: т 1 Следовательно, можно записать 2а 2ао ~ох + 7-1 * 7-1' дтх дех — +(о =Еа) — =О. дс ' дх Выбирая для определенности знак «+х, получаем уравнение для определения о дех у у+1 1 до дс ~ 2 ') дх (3.1б) Если считать о малым и пренебречь в (3.1б) нелинейными членами, то линеаризованное уравнение будет иметь уже обсуждавшееся решение типа бегущей волны ох =,ус(х — аоС).
Учтем теперь квадратичную нелинейность и будем искать решение (3.15) с начальными данными о (х, О) = у"*(х). Так как вдоль линии сЬ у+1 — = ао+ ох~ ~Сс 2 называемой характеристикой, ао /сСС = О, то характеристика является прямой линией и ее уравнение имеет вид у+1 — аоС + охС + хо. 2 В силу постоянства о на характеристике координата хо =,с'(о ), где У(о ) — обратная для у* функция. Поэтому решение поставленной задачи (задачи Коши) дается формулой х = аос+ о С+ у(гх). у+1 2 (3.16) Гл.
3. Классические модели сплонтиых сред Сопоставляя (3.16) с решением линейной задачи эа = „7*(т— — аэГ), видим, что нелинейность приводит к зависимости угла наклона характеристики от нл, Следствием этого является так называемый эффект опрокидывания, который заключается в такой деформации начального распределения э, что в некоторый момент времени 1* производная ди (х, 1*)/дт обрашаегся в бесконечность, а при 1 ) 1' скорость становится неоднозначной функцией т (что, конечно, физически невозможно). Бричину опрокидывания легко понять, рассматривая, например, эволюцию возмущения, изображенного на рис.
17 (на рис. 17 0,4 0,2 0 ! 2 3 Рнс. 17, Распрелеленне скорости в простой волне в раалнчные моменты времени координата и скорость отнесены соответственно к масштабу возмущения 1 и аэ, время измеряется в единицах а/ао, 7 = 5/3). Действительно, замечая, что фиксированное значение вл перемещается с тем большей скоростью, чем больше это значение, приходим к выводу о возникновении неоднозначности ив(х, 1).
Момент опрокидывания 1* определяется из условий Воспользовавшись (3.16), находим 7+'Х +У'( в) =О, Ул(и,) =О, 1*=- — 'У'( а), где У' вычисляется в точке перегиба а(э ). Выражение для ба показывает, что, вообще говоря, при заданном масштабе изменения э нелинейные эффекты проявляются тем быстрее, чем больше амплитуда возмущения. Явление опрокидывания представляет собой пример образования областей резкого изменения параметров среды при отсутствии особенностей в начальных условиях.
Необходимость же устранения неоднозначности распределения э служит основанием для ввеления в рассмотрение разрывных решений., содержащих ударные волны. 3.3. Интегралы Бернулли и Коши — Лагранжа 3.3. Интегралы Бернулли и Коши — Лагранжа Решение многих задач о движениях жнцкостей и газов значительно упрощается, если имеется возможнность установить некоторые общие соотношения между искомыми характеристиками среды, не зависящие от конкретного вида движения.
В случае идеальных жидкостей и газов такими соотношениями являются интегралы Бернулли и Коши — Лагранжа. Для вывода интегралов преобразуем уравнение движения идеальной жидкости к форме Громеки-Лимба. Пользуясь определением вектора вихря ш = — (1/2)гос и (см. 31.4), для ж-компоненты вектора ускорения частицы будем иметь с1о дал до, дои дои до = — +о — +ох — '+и,— = — + сЫ д1 *дж "ду 'дг д1 Аналогичные выражения верны и для сЬи/сй, си./сй. Поэтому уравнение движения идеальной жидкости принимает вид дч 1 1 — + — бгзс1 оз + 2ш х ч = - - бгас( р + й (3.17) д~ 2 Р и такая запись носит название уравнения движения в форме Гре- мели-Лэмба.
Интеграл Бернулли. Пусть движение идеальной жидкости установивспеесл, то есть д/д1 = 0 и массовые силы имесот потенциал И, так что и' = бгас) Й. Выберем в области течения произвольную линию С. Если 1 — расстояние, отсчитываемое вдоль ь"., то вдоль этой линии р=р(р,С), р=р(1,С). Введем функцию давления Р: /' с1р дР 1 др Р=/' „с р(р,Б)' д1 рд1 ие Проектируя (3.17) на направление касательной к линии ь",, получим д /оз — ~ — + "Р— И = — 2(ш х ч)с. д1 ~,2 Из последнего равенства следует, что если вектор скорости ч или вектор вихря ш коллинеарны направляющему вектору каса- Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
