Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Т / Т Таким образом, ~ц(е) Я(В) — Я(А) > / †. Т (подчеркнем, что здесь интегрирование проводится вдоль кривой ь"., отвечающей в пространстве состояний необратимому процессу). Последнюю формулу можно также представить в виде где г(,Я -- приток энтропии извне, а 4Я > О есть производство энтропии за счет необратимых процессов, протекающих в системе. Величина аеЯ может быть обусловлена, в частности, обменом теплом между рассматриваемой системой и внешними телами (возможно также изменение энтропии за счет массообмена). Если температура всех частей системы одинакова, а массобмен отсутствует, то ,(б)(е) Т Найдем выражения для е(еЯ и 4Я в случае, когда Т вЂ” Т(ж, р, х, г) и существенны только процессы теплопроводности.
Вводя энтропию единицы массы среды а и полагая, что для малой частицы среды процесс теплообмена обратим, будем иметь Тда/й = д(е). Считая, что справедлив закон Фурье, то есть д(') = — П1уг))'р, для изменения энтропии Я конечного индивидуального объема т, ограниченного поверхностью Е, получаем уравнение еБ е( Г Г с(1ч г) Г г(п г(Š— = — / ра е(т = — / ггт = — / + / огай — Йт. а М/ / Т / Т,/ т 2.10. Условия на поверхностях сильного разрыва 59 Следовательно, о',з Г 4з Г г1дгае1 Т вЂ” — Ж /,Д / Т2 АЯ ~ чпдЕ е11 .~ Т (2.34) 2.10.
Условия на поверхностях сильного разрыва При решении многих задач механики сплошной среды необходимо рассматривать вааимодействие сред с сильно различающимися физическими свойствами, а также движение сред, описываемых в рамках одной модели, но сопровождающееся резкими изменениями плотности, скорости, давления и других характеристик вещества. Таковы, например, задачи расчета деформаций и напряжений в конструкциях из различных материалов или количественый анализ взрывных явлений, происходящих при быстром выделении энергии в атмосфере с образованием области высокого давления, отделенной от покоящегося газа узкой переходной зоной.
Области резкого изменения параметров среды часто полезно рассматривать как поверхности разрыва функций, описывающих физические и механические свойства среды. Покажем, что законами сохранения устанавливаются определенные связи между значениями искомых функций по обеим сторонам разрыва. Из 12.34) вытекает, что даже если процесс процесс теплообмена между малыми частицами объема г обратим, для объема в целом еяЯ > О, когда Т зависит от координат. Поскольку й;Я ) О, то очевидно, что при адиабатическом необратимом процессе, когда отсутствует теплообмен между системой и внешними телами, энтропия системы является неубывающей функцией. Если же условие адиабатичности не выполняется, то энтропия может как возрастать, так и убывать.
Приведенный выше пример теплообмена между малыми частицами сплошной среды иллюстрирует эту особенность. Приданием количественного вида второму началу термодинамики завершается математическая формулировка фундаментальных законов, определяющих движение сплошной среды. Эти законы (законы сохранения), как видно из рассмотренного в настоящей главе, могут быть представлены в дифференциальной или в интегральной форме. Использование последней оказывается чрезвычайно эффективным при изучении явлений, сопровождающихся возникновением в сплошной среде областей, характеризующихся резким изменением свойств и состояния движения вещества. Выводу соотношений, вытекающих из интегральных законов сохранения, посвящен следующий параграф.
Гл, 2. Фундаментальные законы механики бо Рнс. !от. Элементарный объем т., содержащий ловерхность раа- с!»' !' «зу' рыва ь* !! / ,/ а — / ~с!т = / — с!т+ / ~пас!Е. Для объема т интегральная форма законов сохранения соответственно массы, количества движения, момента количества движения, энергии и энтропии имеет вид (см. 22.2 — 2.4, 2.8, 2.9) с» — / рс»т=О, й/ с! «И — мрйт == Ррс!т+ ро с(Е, ь й Г х»трс«т: г х Ррс»т + Г х ро «»! « т т Š— / ~ — + Й рс!т.= / Рнрс(т+ / р„нс!Е+ / д~') рс!т, !!/ (,2 т т ь т — ар с!т = р с!т + — р дт (2.35) (здесь нужно иметь в виду, что при учете эффектов теплопровод- ности в правую часть уравнения для изменения энтропии следует включить слагаемые вида (2.34)).
Пусть Е' — неподвижная в пространстве изолированная поверхность, разделяющая области «1» и «2» с различными значениями параметров среды, движение которой считаем установившимся (рис. 15), Выделим элементарный подвижный объем т, ограниченный поверхностью Е. При этом боковая поверхность Е образована нормалями и к поверхности Е* с отложенными на них по обе стороны от Е* отрезками одинаковой длины д/2, а основания Е параллельны Е*. Тогда для лк»бой интегрируемой кусочно-гладкой функции у по теореме о производной по времени интеграла по подвижному объему справедливо равенство (см. 3 2.1) '2.10.
Условия на поверхностях сильного разрыва 61 Если в выбранном выше объеме т устремить 5 к нулю, то потоки входя!них в левые части уравнений (2.35) величин через боковую поверхность Е будут исчезающе малыми, а значения функций на основаниях Е будут стреми .„ш к своим значениям в областях «!» и «2» непосредственно «.,тед разрывом и за ннм. Полагая, что на поверхности Е* отсутствувп сосредоточенные источники импУльса и энеРгии, пРенебуежем также пРи бтт2 — 1 () интегралами по т в правых частях первых четырех уравнений (2.35).
Однако последнее слагаемое в правой части уравнения для изменения энтропии, вообтце говоря, отлично от нуля, поскольку при переходе частиц среды через разрыв могут быть существенными необратимые процессы, обсловливаютцие производство энтропии. Отмечая индексами 1 и 2 значения р, ч, рп., (), в соответственно в областях «1» и «2» и принимая во внимание, что для классических сред уравнение сохранения момента количества движения является следствием уравнения движения (3 2.4), из (2.35) находим Ртттп1 Ргопг = О~ Р!1'п!М1 РгопгЧ2 = Рп1 Рпг~ (2.36) ,„г Р1«тп1 1 + (тт) Р2«тп2 1 + ~'2 Рпт»! Рпг»2~ Р! вптв! — Ргв «гвг = й Символом й в (2.36) обозначен приток энтропии за счет необратимых процессов. Детальный анализ (2.36) возможен лишь прн конкретизации модели сплошной среды (в частности, для совершенного газа соотношения (2.36) будут более подробно рассмотрены в следующей главе).
Тем не менее полезно выделить такие достаточно общие типы разрывов. Если на поверхности Е* о 1 = п„г = О, то такая поверхность называется тпанеенциальнььн разрывом. Если, кроме того, непрерывна тангенциальная составляющая вектора ч, то разрыв носит название котппактпноео. В том случае, когда ттп ф О, частицы среды пересекают поверхность Е* и их параметры меняются скачкообразно. Поэтому раарывы данного типа называются скачков«и. Если нормаль и ВЫбРаНа тав, Чта Спт > О, та ПРИ Опт > Опг ИЗ ПЕРВОГО УРаВНЕНИЯ (2.36) следует рт < рг — это по определению ска «ок уплотнения. Если же опт < ь„г, то рт > рг и такой разрыв называется скачком разреэкет«ил.
62 Гл. 2. Фундаментальные законы механики В заключение настоящего параграфа отметим еще, что в том случае, когда Е* не является неподвижной, а перемещается со скоростью Ф (для произвольной поверхности, уравнение которой известно, величина Л была определена в 22.5), равенства (2.36) остаются справедливыми, еели вместо са использовать разность (е„— М). Глава 3 КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД 3.1. Идеальная сжимаемая жидкость. Совершенный газ. Полная система уравнений, Типичные граничные условия Кав неоднократно отмечалось в предыдущих разделах, одной из важнейших задач механики сплошной среды является вывод замкнутой системы уравнений, которая, будучи дополнена соответствующими начальными и граничными условиями, позволяет анализировать конкретные типы движения и равновесия жидкостей, газов и твердых деформируемых тел. Настоящая глава посвягцена изучению классических замвнутых моделей сплошной среды, нашедших широкое применение при решении практичесвих и научных задач.
При этом в рамках принятых моделей рассматриваются как некоторые общие свойства движений, так и отдельные примеры, иллюстрирующие особенности конкретных явлений. Одной вз наиболее важных классических моделей сплошных сред является модель идеальной сжимаемой жидкости. В основе модели лежит предположение о том, что механические процессы в тавой среде обратимы, тензор напряжений шаровой, а внутренняя энергия У, давлоние р и температура Т зависят лишь от двух параметров состояния, в качестве которых удобно, например, выбрать плотность р и энтропи1о а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
