Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Уравнения Нааье — Стокса 37 янные, определяемые вторыми производными функции ~(х,у) в начале координат. Из уравнения неразрывности системы (2.13) следует, что ~р(х, у, я) удовлетворяет уравнению Лапласа дг р дг дг, "' дхг дуг+ д г (2 15) Таким образом, для нахождения течения в окрестности критической точки нужно найти решение уравнения (2.15) с граничным условием непротекания (2.14) вида н„= д~р/дя = О. Или сЪр д~ д<р д~ д~р — — — — — 0 (2.16) дх дх ду ду дя + Поскольку в начале координат ч =- О, то разложение потенциала скорости ~р(х, у, а) в ряд по степеням х, у и я должно содержать лишь малые второго порядка и выше.
Ограничиваясь главными членами разложения, представим ~р в виде ~р = Ахг + Вуг + Сзг+ Яуя+ г"сх (2.17) (здесь А, В, С, Е, à — постоянные, а коэффипиент при произведении координат ху полагается равным нулю, что достигается соответствующим поворотом осей Ох и Оу). Подставляя (2.17) в (2.15) и (2.16), с учетом зависимости ~ от х и у получаем А + В + С =- О, Е = Р = О. Причем необходимо подчеркнуть, что граничное условие (2.16), содержащее производные ~р, удовлетворяется, естественно, лишь с точностью до малых первого порядка включительно.
Окончательно, потенциал скорости в окрестности критической точки имеет вид ~р = Ахг + Вуг — (А + В)аг. При обтекании осесимметричных тел, очевидно, А = В, а при плоском движении, когда д~ду = 0 и на —— 0 (зто имеет место, например, при обтекании цилиндра с образующими, параллельными оси Оу), потенциал скорости равен р = А(хг — з~). Знание потенциала ~р в рассматриваемом случае течения вблизи критической точки позволяет найти (конечно, лишь приближенно) распределение скоростей в жидкости и построить линии тока (в частном случае обтекания цилиндра таковыми, как легко убедиться, будут гиперболы хя = сопа$).
Гл. 2, Фундаментальные, законы механики 2.6. Вязкая жидкость. Эмпирический закон Ньютона для вязкой жидкости. Уравнения Навье-Стокса. Условие прилипания. Течение Пуазейля В модели идеальной жидкости поверхностные силы сводятся только к нормальному давлению. Однако реальные жидкости и газы в той или иной мере обладают свойством вязкости, то есть в них присутствуют силы внутреннего трения. Об атом свидетельствует, в частности, опыт, схема которого представлена на рис. 11. Предполагается, что между неподвижной пластиной А и перемещающейся с постоянной скоростъто тса пластиной В находится слой жидкости высотой Ь.
Стрелками на рис. 11 изображено возникающее распределение скорости ч(р), причем вектор ч имеет лишь составляющую е и для любого слоя жидкости, характеризующегося координатой р, компонента ав линейно зависит от д, так что ззв(ту) = на —. Д Ь Опыт показывает, что для того чтобы поддерживать постоянной скорость пластины В, к единице площади ее поверхности необходимо приложить силу оо ту =,и— Ь (2.18) (множитель и носит название динамического козффидиента вязкости). Соотношение (2.18) было установлено Ньютоном на основе опытных данных и моясет быть записано в форме, содерлсагцей компоненту е р тензора скоростей деформаций (см.
2 1.4) до ту = ут — = 2узе „. др (2.19) Рис. 1Ь Схема движения вязкой жидкости, увлекаемой перемещающейся с на- стениной скоростью то пластиной В 2.6. Вязкая жидкость. Уравнения Навье-Стокса 39 тх,х, = т1 — — изе, + агег+ азез. Выполним далее поворот системы координат относительно оси кг на угол к/2. В результате в новой системе координат / / / х1=жм 91=ям х1= р~ получим Ю~ е ах Д~ 1 / ег — — ез о,~ = — ою, ! ез — — ег, ох' ~х1 ~ 1 ! е1-- ез, т „= т, = т1 — — а~е1 +агег+азез = а1е1+ агез+азег / 1х1 Из последнего равенства в силу произвольности ег и ез находим аг = аз Значит, т1 — — аг(е1+ ег + ез) + (а1 — аг)ем Или т1 = Ло1чч+ 2рем где А = аг, 2р = а1 — аг.
Обобщим теперь (2.19) на случай произвольного течения вязкой жидкости, установив связь между компонентами тензора напряжений и тензора скоростей деформаций. При етом будем исходить из двух допущений. В соответствии с первым покушением компоненты тенаора напряжений р;у при отсутствии вязкости должны иметь тот же вид, что и в илеальной жидкости. Этому условию удовлетворяет соотношение ргу= — М~+ гу где р — давление, 4г — — компоненты единичного тензора, а функции т,.
отличны от йуля лишь в вязкой жидкости. Согласно второму допущению, величины тгу являются линейными олноролными функциями компонент гейзера скоростей деформаций е,, причем козффициенты зтих функций не зависят от выбора декартовой системы коорлинат (то есть среда считается изотропной).
Тензор с компонентами тй называется тензором вязких напряжений (нли вязким тензором напряжений). Покажем, что связь между тк и ей содержит лишь две постоянные. Направим оси им ум з1 по главным осям тензора скоростей деформаций. Тогда 40 Гл. 2. Фундаментальные заковы механики Аналогично тз = Л сПчч + 2дез, тз =- Л сйчч + 2иез. Используя преобразование х' = хм р~~ — — — дн в'„= — г1 и учитывая равенство т „= — т „„убеждаемся, что внедиагональные компоненты тейлора вязких напряжений равны нулю, то есть главные оси тенаора вязких напряжений совпадают с главными осями тензора скоростей деформаций. Следовательно, в системе координат тм р~ и гм которая является главной, справедливо соотношение 0 тз 0 =Лсйчч 0 1 0 +2д 0 ег 0 Но тогда и в произвольной прямолинейной декартовой системе координат имеем (2.20) т„= Л ейч ч д + 2не; .
Формулами (2.20) представлен закон Навье — Стокса, или обобщенный закон вязкости Ньи>тона. С учетом (2.20) для компонент тензора напряжений р.; получаем (2.21) р,.; = ( — р+ Лсйч ч)6;, + 2яе, Уравнения движения сплошной среды (2.8) с тензоролю напряжений (2.21) носят название уравнений Навье — Стокса. Воспользовавшись законом Навье-Стокса, сформулируем теперь замкнутую систему уравнений, описывающих движение однородной несжимаемой вязкой жидкости.
Полная система уравнений движения несжимаемой вязкой жидкости. Полагая постоянным динамический козффициент вязкости р, преобразуем в уравнениях Навье — Стокса слагаемые, отвечающие силе трения и пропорциональные р (поскольку для несжимаемой жидкости сйг ч = О, то в выражениях для р,~ отсутствует козффнциент Л).
Так, в проекции уравнения движейия на ось Ох можно записать 2.6. Вязкая жидкость. Уравнения Наине — Стокса 41 гЬ 1 р — = Р— — дгас1 р+ — Ьч, й р р и, объединив его с уравнением неразрывности сй = О, приходим к замкнутой системе уравнений для определения неизвестных функций и и р. Отноп1ение и = р/р называется кинематическим коэффициентом вязкости. Характерные значения и, например, для воздуха и воды при температуре 20' С составляют соответственно1.5 10 1смэ с 1и10 зсмэ с Каь и в случае идеальной жидкости, решения уравнений движенин вязкой жидкости должны удовлетворять определенным граничным услониям.
Здесь существенно, что, как показывает опыт, при обтекании непроницаемых тел скорость частиц вязкой жидкости в фиксированной точке поверхности тела совпадаег со скоростью этой точки. Иными словами, вязкая жидкость «прилипаетв к поверхности. В частности, при обтекании неподвижных тел на их поверхности должен обращаться в нуль вектор скорости и, а не только его нормальная компонента (как н идеальной жидкости).
Сформулированная выше полная система уравнений движения вязкой жидкости, даже будучи упрощенной путем введения предположения о несжимаемости среды, чрезвычайно трудна для исследования. Известно лишь весьма ограниченное число ее точных решений. Среди этих точных решений содержится и описывающее важное для приложений течение в трубах, получившее название течения Пуазейля. Рассмотрим это решение более подробно.
Течение Пу аз ей ля. Рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости в бесконечно длинной трубе кругового сечения радиуса г,. Будем предполагать, что движение установившееся, то есть его характеристики не зависят от времени и, значит, дудс = О. Допустим, что в каждой точке среды скорость параллельна оси трубы. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с осью трубы. Тогда, очевидно, св — — в, = 0 и при отсутствии массовых сил из уравнений движейия и неразрывности следует др др — = — =О, ду дв до, — = О. дх Значит, о„= вл(у, в), р = р(х). Соответственно в проекциях на оси Оу и Ог будут присутствовап слагаемые раин и рЬв,.
В результате уравнение движения принимает вид 42 Гл. 2. Фундаментальные законы механики Из уравнения движения в проекции на ось са получаем Но так как левая часть последнего равенства может зависеть только от т, а правая — только от у и з, то др бр — = сопа$ = — —. ди Величина бр равна., конечно, абсолютному значепиго разности давлений в двух точках трубы, отстоящих одна от другой на расстояние 1. Таким образом, для определения о .(у, 2) имеем уравнение с граничным условием прилипания е,=О при у +з =г,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
