Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Фундаментальные законы механики 2А. Закон сохранения момента количества движения. Симметрия тензора напряжений По аналогии с механикой системы материальных точек введем определение момента количества движения К подвижного объема сплошной среды т относительно некоторой точки О (принимаемой ниже для определенности за начало координат), полагая К = г х чрс(т. (2.9) т Отметим, что такое выражение для К не учитывает возможность присутствия в сплошной среде собственных моментов количества движения, обусловленных атомным строением вещества (например, в рамках элементарных представлений о структуре атома собственным моментом количества движения обладает система, состоящая из ядра и врагцающегося вокруг него электрона). Однако далее мы будем пользоваться лишь классическим определением (2.9). Кроме того, исключим из рассмотрения распределенные массовые н поверхностные пары сил, воздействие которых на среду также связано с микроскопическими явлениями.
Постулируем теперь, что скорость изменения момента количества движения подвижного объема сплошной среды равна сумме моментов внешних массовых и поверхностных сил, приложенных к частицам этого объема. Иными словами, закон сохранения момента количества движения может быть сформулирован в виде 0(К вЂ” = / г х г'рг(т+ г х ряс(Е, (2.10) т где Е -- поверхность, ограни швающая т, à — плотность внешних массовых сил, р„. — вектор напряжения.
Повал~ем, что из (2.10) следует симметрия тензора напряжений, то есть в системе координат ж, выполняются равенства РП = Рте Пользуясь определением (2.9) и применяя к левой части (2.10) формулу дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему, с учетом уравнения неразрывности получим — = / ~ — (гхч)р+(гхч)рсйчч Ыт= Й,/ 11Й т оч '1 ор др) р ч х ч + г х — ) + (г х ч) — — (г х ч) — ~ с1т = ьй <Й ,Й~ т Йч г х — р г1т. (2.11) ~Й т 2.5.
Идеальяал лесжимаемая жидкость Второе слагаемое в правой части (2.10) преобразуем по формуле 1аусса — Остроградского к виду "т.л-/" Х;Р;. ь, за~:= з з Е з=1 з дг х р, +г х йчП 6т. (2.12) дх2 Объединяя (2.10)-. (2.12), находим Г (оч з - (к-' г х ~ — р — Рр — йч11 йт = ~~ — х р;г1т. 1 Ж /,/ ~- дх; т т Так как в силу уравнения движения (2.8) леван часть последнего равенства обращается в нуль, а векторы дг/дх; — зто единичные векторы координатных осей, то вследствие произвольности объема т обращается в нуль каждая из компонент суммы по в' векторов дг/д:г, х р,.
Раскрывая векторное произведение, приходим к равенствам рм — — ру, Заметим в закл1очение етого параграфа, что в случае симметричного тензора П закон сохранения момента количества движения (2.10) следует из уравнения движения. В то же время в более общем случае среды, обладаюшей собственными моментами количества движения, и при наличии внешних массовых и поверхностных пар сил закон сохранения момента количества движения, вообше говоря, не вытекает из уравнения движения.
2.5. Идеальная несжимаемая жидкость. Полная система уравнений. Условие непроницаемости. Примеры П1ирокий класс движений сплошной среды может быть описан с помощью уравнений неразрывности и движения в рамках модели идеальной несжимаемой лсидкости. Напомним (см, з1,1), что среда называется идеальной, если на любой площадке с нормалью и вектор напряжения коллинеарен и. Несжимаемость же означает, что плотность фиксированной частицы среды не изменяется в процессе движения, то есть пр/гй = О.
Обрашаясь к формуле Коши (2.7), находим,что тензор напряжений П в идеальной жидкости шаровой, то есть его компоненты на главной дигонали равны. Принимая во внимание реальные свойства жидкостей н газов, условимся зги компоненты П обозначать через — р, а величину р ) 0 будем называть давлением. 3 зэк. 21! Гл. 2. Фундаментальные законы механики 34 Привлекая затем для описания движений идеальной несжима- емой жидкости уравнения неразрывности (2.4) и движения (2.8), получим др — =О, Ж (2.13) сП = О, )гч р — = рР— цга)1 р.
)Й Очевидно, что система уравнений (2.13) является замкнутой системой трех уравнений для нахождения неизвестных функций р, ъ, р. Если жидкость однородная, то есть плотность р одинакова для всех частиц среды, то уравнение др/й = О удовлетворяется тождественно и р следует рассматривать как заданную характеристику вешества, а искомыми функциями будут ч и р. Входящее в (2.13) уравнение движения принято называть уравнением движения Эйлера. Так как (2.13) — зто система уравнений в частных производных, то прн решении конкретных задач необходимо сформулировать начальные н граничные условия, которым должны удовлетворять подлежащие определению функции. Например, в задачах обтекании тел жидкостью или газом часто используется условие непротекання, в соответствии с которым на поверхности обтекаемого тела принимается равной нулю нормальная составляющая вектора скорости частиц относительно поверхности.
Запишем зто условие для обтеканнн произвольной поверхности Е, заданной уравнением /(ж,у,з,1) = О. Вь)берем в момент времени 1 точку М(ж, у, х), принадлежащую Е. Пусть н(на, я,ю и,) — единичный вектор нормали к Е в точке М. В момент в))смени 1+ Л1 рассматриваемая поверхность займет положение Е. Выбрав на Е' точку М', лежащую на продолжении п, назовем по определению скоростью поверхности Е величину Ж = 1пп ()аа/Ь1), где аь о Л. = ММ'. Н д//д ~/(д//дт)з + (д//ду)з + (д//дг)з д//др (д//д )' + (д//др)' + (д//дз)' д//дз (д//дт)з + (д//ду)з + (д//да)з и /(т + и Ьа, у + ))лЬа, х + и У)а, 1+ Ь1) = О.
2.5. Идеальна» песжимаемэ» жидкость 35 Следовательно, с1» д//д2 (д//д )' + (д//ду)2 + (д//д )' и условие непротекания приобретает вид д//д1 чи = оп = М— (д//дх)2 + (д//ду)2 + (д//дг)2 (2.14) или Твердотельное вращение жидкости в цилиндри- ческом сосуде. Предположим, что идеальная несжимаемая жидкость налита в цилиндрический г сосуд радиуса о,.
Сосуд находится в поле тяжести, характеризующемся ускорением и (рис. 9). Жидкость занимает объем т = тса 6 и приводится во вращение вокруг оси Ол с угловой скоростью Й. Принимая, что жидкость вращается как твер- Ь л Ь' дос тело, найдем форму свободной поверхности Е, на которой задано О и постоянеьое давление дю В соответствии с формулой Эйлера скорость любой частицы вращаьощегогя твердого тела равна тс Рис. 9. ФоРма понеРхиости ' тнсР- ис.. о ма лоне хиости Е тнс— = Й х г где г — радиус-вектор ча лотельло нРапла|ольейси лсилности стицы.
Следовательно, о. = — Йу, а, = Йх, о, = О. Такое распределение скоростей удовлетворяет уравнениго неразрывности системы (2.13), а из уравнения движе- ния имеем 1др 1др 1др — Й х= — — —, — Й у= — — —., О= — д — — —. р дх' р ду' р дг Умножая полученные уравнения соответственно на Их, оу и сЬ, после сложения будем иметь — =о — (х +у ) — дл, р= — (х +у ) — рдг+С. с~у Й 2 2 РЙ 2 2 р ~ 2 2 д/ д/ д/ д/ — + о, —, + ол —, + ел —. = О. д~ *дх "ду 'дл Очевидно, что в случае потенциального движения, когда ч = ~габ ~р, условие непротекания выражается равенством д~р/дя = К.
Рассмотрим теперь некоторые примеры применения уравнений (2.13) к изучению движений идеальной несжимаемой однородной жидкости. Зб Гл. 2. Фундаментальные законы механики Так как на свободной поверхности р = р„, то ее уравнением является з= — — (х +у) — р„+С Р~~ 2 2 рд~ 2 Ясно, что Е представляет собой параболоид вр;пиения, у которого минимальное значение координаты 2,„;„ = Ь достигается при х = у = О, а максимальное ггоех — при х +у = и (на рис.
9 величине ггаех равны аппликаты точек А и В). Чтобы найти постояннуне (С вЂ” ра)/рд, воспользуемся очевидным соотношением а ггагЬ = 2к ктг1т (гг = Т2+у2) О Тогда гз2 2 = !т —— ру 4д г = — г" — — +Ь. Из последней формулы следует интересная особенность движения. Иак (зийо Ь) так и (стах Ь) не зависят ни От плотности жидкости, ни от давления ра. Здесь только нужно иметь в виду, что найденное решение пригодно лишь при згк;о ) О, то есть при ь > есзо214д Потенциальное течение в окрестности критической точки. При обтекании затупленных тел на их поверхности х возникают критические точки, в которых вектор скорости равен нулю.
Предполагая, что движение идеальной несжимаемой жидкости потенциальное, определим потендиал скорости в малой окрестности критической точки. Выберем систему координат с началом в критической точке и с плоскостью хОу, совпаРис.10,Кокрекеке- даюшей с касательной плоскостью в точке О нию течении е ок- (рис. 10; стрелками показано направление ско- рестиости криткче- рости жидкости). ской точки Пусть уравнение поверхности обтекаемого тела может быть записано в виде з — ~(х, у) = О. Тогда вблизи критической точки с точностью до малых более высокого порядка л = Дх, у) = Охт + бу + сху, где и, б, с — посто- 2.6. Вязкая жидкость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
