Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Тавим образом, идеальная сжимаемая жидкость — это двухпараметрическая среда, в которой У = У(р,з), р = р(р,а), Т = Т(р,а). (3.1) Если теперь воспользоваться уравнениями пераорьэвности (2.4), движения (2.8) и вторым законом термодинамики (2.33), то получим следующую замкнутую систему уравнений для определения неизвестных функций р, ч, ьч др — + рс11ч ч = О, гй цч р — = рр — бгас1 р, й Т вЂ” = д~'), ~Й (3.2) Гл. 3. Классические модели сплошных сред где в соответствии с (3.1) р и Т являются известными функциями переменных р и ьч Полезно отметить, что если задана внутренняя энергия У как функция Р и э, то р и Т однозначно определяются соотношениями Р=Р здУ дУ др ' де (3.3) Действительно, из уравнения притока тепла (2.31) с учетом второго закона термодинамики (2.33) и уравнения неразрывности (2.4) находим сТ1 дУ ЙР дУ де р др гЬ (3.4) ги дР я1 да ги Рэ п1 г)1 Из (3.4) непосредственно вытекает (3.3).
Таким образом, чтобы полностью задать термодинамическую модель двухпараметрической идеальной среды, достаточно задать У(р,к) или, например, У(Р,Т) и р(Р,Т) (при этом, конечно, в силу (3А) и из условия того, что ~Ь есть полный дифференциал, У и р не явлшотся независимыми, а в (3.2) производную сЬ/сй нужно заменить ес выражением из (3.4)). Остановимся далее несколько более подробно на рассмотрении модели совершенного газа, которая ужо использовалась ранее (см.
32.9) в лелях количественной формулировки второго начала термодинамики и согласно которой внутренняя энергия У пропорциональна абсолютной температуре Т и выполнен закон Клапейрона р = РЛТ. Понятие совершенного газа связано с представлениями об атомно-молекулярной структуре вещества, в соответствии с которыми в достаточно разреженной среде силы межатомного взаимодействия проявляются лишь на расстояниях, много меньших среднего расстояния между частицами.
Это обстоятельство позволяет определить совершенный газ как совокупность атомов (молекул), взаимодействующих путем парных упругих столкновений. Тогда очевидно, что внутренняя энергия совершенного газа обусловлена средней кинетической энергией и~„о ~2 хаотического дви- 3 жения молекул (т„— масса молекулы, и -- квадрат средней скорости хаотического движения). В статистической физике доказывается, что в состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы молекулы приходится энергия ЙвТ/2, где 1:и = теЛ вЂ”.
постоянная Больцмана. Следовательно, в простейшем случае, когда молекушя совершают лишь поступательное движение, число степеней свободы йу = 3 и внутренняя энергия единицы массы газа с точностью до аддитивной постоянной равна Ф зйвТ 3 У = — = — = — ЯТ = спТ, с1 = — Л. 2 2 гва 2 2 3.1. Идеальная сжимаемая жидкость Для газов, молекулы которых обладают, кроме поступательных, еше и вращательными и (или) колебательными степенями свободы, выражения для У и си обобшаются следующим образом: УУ = — 'ЛТ, с, = — Л. ку 2 ' 2 (3.5) Воспользовавшись формулой с, — с~« = й (см.
32.9), находим также ся — — — Л«у — = =йу 2 сл 1«у+ 2 (3.6) 2 ' с«йу Поскольку число степеней свободы йу ) 3, то из (3.6) следует, что 1 < у (» 5««3. В рамках модели упругих столкновений давление р, очевидно, равно импульсу, переносимому молекулами через единичную плогпадку в единицу времени. Тогда простой подсчет показывает, что справедливо уравнение Клапейрона р = рдТ и с учетом (3.4)-(3.6) внутреннюю энергию У и энтропию а можно представить в виде 1 р У'р'1 С«= — — —, а=ср1п ~ — )+сопз1. — Ь) (3.7) Если аргументами функций У и р служат р и Т, то из (3.2) и (3.7) получаем замкнутую систему уравнений относительно неизвестных функций р, ч, Т: «1р — + р«)г«я« =- О, «1« «Б» р — = рР— ягзс1 р, «И «'р'1 « ~«Т — 1п — = «1", «И ~,р«) Системой уравнений (3.8) (или (3.2)) описывается весьма широкий класс движений.
Отбор же конкретных решений производится на основе выставляемых начальных и граничных условий. Типичными, как и в случае течений несжимаемой жидкости, являются граничное условие непротекания (2.14) и условие постоянства давления на свободной поверхности (напомним, что такой тип граничных условий использовался нами в примерах из 3 2.5). Кроме того, в задачах о движении сжимаемого газа часто необходимо вводить в рассмотрение поверхности разрыва, по обеим сторонам которых значения искомых функций, вообще говоря, 5 зак ям Гл. 3.
Классические модели сплошных сред Р1о1 Рэп2) Р~п1 +Р1 = Р2Я2 +Р2 2 2 (3.9) Р, 1(1 — + — — (Р2+Р1) = О. 7 — 1 р2 у — 1 р1 2 1.р2 р1 / При заданных Ры р1 последнее уравнение (3.9) определяет зависимость Р2(1/р2), которая называется ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио.
Сами же соотношения (3.9) называются соотношениями Рэнкина-Гюгонио. Определяя из (3.9) разность скоростей и! Н2 видим, что возможны лишь либо скачки уплотнения (р2 > Ры Р2 > Р1), либо скачки разрежения (р2 < ры р2 < Р1). Докажем, что в соответствии со вторым началом термодинамики могут иметь место лишь скачки уплотнения. Прн этом, учтя формулу для энтропии (3.7), достаточно доказать неравенства — — — >О при р2>ры Р2 Р1 ч рч Р2 Р1 7 р7 — — — <О при р2<рн (3.10) различны, но связаны соотношениями (2.36).
Подобную поверхность разрыва естественно рассматривать как границу, разделяющую области непрерывного движения среды. Покажем, что для совершенного газа соотношения (2 36) таковы, что позволяют по известным значениям р, ч, Р в области <1» перед разрывом (см. рис. 16) определить значения этих функций в области «2>. Подставим (3.7) в (2.36) и примем во внимание вид тензора напряжений в идеальном газе Ры = — р4~. Тогда для тангенциального разрыва, когда пв1 = п„2 = О, будем иметь Р1 = Р2, а разность касательных к 2' компонент ч произвольна.
Если п„г у~ О, то касательная компонента вектора ч непрерывна и может быть исключена из (2.36). Поэтому, опуская в целях сокращения записи индекс п, у о„, равенства (2.36) представим в виде 3.1. Идеальнал сжимаемал жидкость Воспользовавшись уравнением адиабаты Гюгонио, будем иметь Рэ (у + 1)рэ — (у — 1)Р~ Рг ( у + !)Р— ( у — !)Рэ (3.11) Исследуя обычными методами математического анализа поведение заключенного в квадратных скобках выражения как функции аргумента Рэ/рн убеждаемся в справедливости (3.10). Тем самым устраняется неоднозначность в выборе типа скачка и по известным значениям рм чм Р! из трех уравнений (3.9) могут быть найдены рэ, чэ, рэ. Остановимся на некоторых особенностях изменения параметров газа цри переходе через скачок уплотнения.
Обращаясь в (3.11) к выражению для Рэ/Рн легко видеть, что пРи Рэ )) Р1 отношение Рэ/Р> остаетсЯ конечным и стРемитсЯ к (у+ 1)/(у — 1). Этим сжатие в скачках уплотнения, которые носят еще название ударных волн, отличается от происходящего при обратимом адиабатическом процессе, когда э = сонэ! и зависимость р(р) дается адиабатой Пуассона (или изоэнтропой) Рг Рг Р~ Р~ Из уравнения изоэнтропы видно, что плотность рэ может быть сколь угодно велика, если только рэ » Р1. Другая особенность ударного перехода касается скорости распространения скачка по частицам среды.
Очевидно, что в рассматриваемом случае эта скорость по абсолютной величине равна он Сопоставим теперь о1 с величиной а1 — — (уР1/Р1)~/э, которая, как будет показано в следующем параграфе, равна скорости распространения в совершенном газе малых изоэнтропических возмущений, называемых звуковыми волнами.
Докажем, что ударные волны распространяются по частицам среды со скоростью он превышающей ан Для этого рассмотрим адиабату Гюгонио «Г» и адиабату Пуассона юП», проходящие через точку Рн р1 (рис. 16). Поскольку в ударных волнах энтропия возрастает, то согласно (3.!!) в любой точке Рэ, Рт адиабаты Гюгонио Гл. 3. Классические модели сплотппых сред б8 (индексы «Г» и «П» относятся к значениям параметров, отвечающих соответственно адиабатам Гиггонио и Пуассона). Таким образом, в области Р > ру тангенс угла с«между отрезком, соединяющим точки рм ру (точка 1 на рис.
16) и рг, Рг Р~Р« б О 4 6 "рр Рис. 1б. Вааиынос распадов«евно адиабат Гыгонио «Г» и Руассоиа «П» (т = 5/31 Штриховые линии — асиынтоты адиабаты Гжгонио (точка й на том же рисунке), и отрицательным направлением оси 1/Р равен Цс« = Р2 Р« 1/Р« — 1/Рг Обозначая через Р угол наклона касательной к кривым «Г» и «П» в точке 1 (нетрудно проверить, что касательные к «Г» и «П» в этой точке совпадают), имеем очевидное неравенство або«> — $8/г = а,рги Так как из соотношений Рэнкина — Гюгонио (3.9) следует Рг Рг 1 1/Рг 1/Рг Р« то Фбст = о»Р«> а«р>, или и«> ам 2 2 2 2 2 2 Таким образом, ударные волны распространяются относительно газа со сверхзвуковой скоростью. В следуюшем параграфе будет рассмотрен один из механизмов возникновения ударных волн в совершенном газе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
