Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Такой режим длил;ения был назван турбулентным и, как впервые установил О. Рейнольдс, переход к турбулентности происходит, когда число Рейнольдса Йе = $'а,/и превышает определенный предел Пес, (для труб с круговым поперечным сечением обычно Ке„10 ). Турбулентность характерна не только для течений в трубах. Турбулентным может быть течение жидкостей и газов в пограничном слое, в атмосфере, в водоемах, в технических устройствах, В настоящее время турбулентность объясняется неустойчивостью ламинарного течения, а построение моделей турбулентности проводится применительно к различным классам двилгений на основе вкспериментальяых данных и теоретических представлений. Этими краткими сведениями о явлении турбулентности мы заканчиваем рассмотрение классических моделей жидкостей и газов и переходим к изучению обобщенной модели деформируемого упругого тела, учитывшошей температурные напрщкения и деформапии.
3.10. Линейная термоупругая среда, Полная система уравнений. Типичные граничные условия В 32.7 мы дали определение упругой среды и ограничились случаем постоянной температуры Т. Рассмотрим теперь влияние изменений Т на напряжения и деформации, предполагая, что процессы деформирования упругого тела обратимы. На ильное состояние среды с температурой То выберем так, чтобы при Т = Тс в теле отсутствовали напрял~ения и деформации, то есть р, = 0 и е,. = О. При таком выборе начального состояния приращения деформаций за время й равны е;; = со ос (е,у компоненты тензора скоростей деформаций). Примем также, что состояние частицы среды полностью определяется компонентами тензора напряжений г; и температурой Т (или зцтропией л).
Пусть, например, внутрення вцергия У = 17(а, ей). Тогда из уравнения притока тепла (2.31) имеем Гл. 3. Классические модели сплошных сред 92 дУ дУ ргуагу — ов + — еьу = + Тив. де де; э р Следовательно, дУ дУ РП=Р дед дв и с учетом формул полная система уравнений для определения неизвестных функций р, и, в принимает вид др яг — + ро|ч ъ" = О, й~ р — = рт" + о1чП, пг (3.32) 7" — = 9~'). яг Часто в качестве независимой переменной в выражении для У удобно использовать функцию состояния У'* = У вЂ” Тв, называемую свободной энергией. Прн этом (1У'"' =-дП вЂ” Тйв — вд7', ~Ш = дУ'"+Удв+всП' и после подстановки в уравнение притока тепла получаем дУ' дУ' р;, ец —,— Ж'+ — е,~ + в ПT = — ' дТ де.;, р дУ'* дУ* де,; ' дT Поскольку, как это отмечалось егце в 3 2.7, мы ограяичиваемся малыми деформациями, то считая также малыми изменения плотности и температуры среды и производя замену Ф = роУ'*, для рц и в будем иметь выражения дФ 1 дФ р17 = дв,д' ро дТ Воспользуемся функцией Ф, чтобы учесть в законе Гука (2.23) деформации, обусловленные изменениями температуры.
3.10. Липег1изя термоупругая среда 93 Разлагая Ф в ряд Тейлора по еэу и (Т вЂ” Те), с точностью да малых второго порядка включительйо получим В силу выбора начального состояния (р, )о = (дФ/дед)а — — 0 и (дФ/дТ)е = — зоре (зо — — энтропия елиницы массы вещества в недеформированном состоянии). Для изотропной срелы Ф должна быть инвариантна относительно преобразования координат. Поэтому в выражении лля Ф слагаемые с е; должны быть пропорциональны инварианту Хы а слагаемые, солеРжагпие еэу ем, могУт зависеть лишь от линейной комбинации Хэ~ и Хг. Следовательно, Ф можно представить в виде Ф = Хэ + ээ (Хэ — 21г) — (ЗЛ + 2п)отХэ(Т вЂ” Хо) + 1(1), (3.33) /дФЛ 1 /дгФЛ Х(Т) = Фа+ ( — ~ (Т вЂ” Те)+, ~ э( (Т вЂ” То) ~,дТ) е 2 (,дХ,), (Л, 1э и от — некоторые коэффициенты, пока ввеленные формально).
Отсюда дФ Р„= — =- ЛХ,бээ + 2эзе,у — (ЗЛ+ 2гэ)от(Т вЂ” Та)бэу (3.34) де, з = — ((ЗЛ + 2п) от1 — .1 ). Ро Соотношениями (3.34) вырал'ен закон Гука с учетом температурных леформаций, причем видно, что содержащиеся в (3.33) и (3.34) величины Л и а имеют смъэсл коэффициентов Ламе. Покажем, что вошедший в (3.33) и (3.34) коэффициент от характеризует деформации, обусловленные изменениями температуры.
Для этого, аналогично выкладкам ~32.7, выразим ей через рзм В результате получим 1 е 3 — — — 1(1 + а)р;у — сгРэегэ) + от(Т вЂ” То)63, (3 35) Я 8 эак. га Гл. 3. Классические модели сплошных сред где Е и о — соответственно модуль Юнга и козффициент Пуассона, Р1 — первый инвариант тензора напряжений. Из (3.35) находим, что в спучае, когда рВ = О, компоненты тензора деформаций равны с гг(Т вЂ” То), сели 1 = ~, О, если 1 ~ ~, и свг, который назь1вается ковффициентом линейного расширения, позволяет учесть эффекты деформирования материала вследствие изменений температуры.
Подстановка закона Гука в форме (3.34) в уравнение движения приводит к уравнениям Ламе, включающим слагаемое, пропорциональное о г (ср. с уравнением (2.24)): дзчг Л+ и, р ЗЛ+ 2н 2 = и + — бган (о1чж) + стчг стгбгЫ Т. дР Ро Ро Ро В задачах, где на границе тела заданы перемещения и известны й' и Т, уравнения Ламе при соответствующих нзчальных условиях позволяют определить в, а с помощью закона Гука (3.34) и напряжения.
К числу типичных краевых залач с учетом температурных деформаций и напряжений можно отнести и перечисленные в 3 2.7 (учитывая, конечно, различия межлу (2.23) и (3.34)). Во многих случаях решение подобных задач основывается на частных особенностях изучаемого явления, так что большое значение приобретают вопросы единственности найленных решений. Теореме единствсности решения некоторого класса задач теории упругости посвящен следующий параграф. 3.11.
Постановка задач линейной теории упругости в перемещениях и в напряжениях. Теорема единственности задач линейной теории упрутости. Принцип Сен-Венана Докажем теорему единственности трех типов залач линейной теории упругости, сформулированных в 3 2.7 и 3.10. Ограничимся рассмотрением лишь случая равновесия находящегося при постоянной температуре Т = То деформируемого тела. Предварительно обратим внимание на следующую особенность постановки задач о равновесии упругого тела. Если задача такова, что на поверхности тела заданы перемещения, то из уравнений Ламе определяется вектор тч и тем самым решается задача о равновесии упругого тела в перемещениях. Напрнжения при атом могут быть найдены согласно закону Гука.
3.11. Постановка задач теории упругости Если же па границе тела задан вектор напряжения р„, то очевидно, что для шести компонент тензора напряжений р13 имеются лишь три уравнения, представляющие собой проекцйи уравнения движения на координатные оси. Иногда в силу специфики конкретной задачи (например, обладающей свойством симметрии) уравнений равновесия все же достаточно для определения напряженного состояния. Но в общем случае постановка задачи в напряжениях требует привлечения дополнительных уравнений, являющихся следствием закона Гука и уравнений совместности деформаций.
8() =8,3 ей ~ рг~ =р которая удовлетворяет уравнениям равновесия и нулевым напряжениям и перемещениям на границе в отсутствие массовых сил. Умножая уравнение равновесия с()чП = О на зи и интегрируя полученное равенство по занимаемому телом объему т, ограниченному поверхностью Е, получим Рота с(г' = Рт д + Ру — + Р,— о(т н т (3.36) (здесь использована формула Гаусса-Остроградского и через р„ обозначена Разность Рв 1эо ) (ц (г) Но в соответствии с (3.34) дв ди~ дчт дФ м де;,' причем с точностью до несущественной постоянной Фо свободная энергия единицы объема среды Ф является однородной квадратич- ной формой, так что е; дФ/де;у = 2Ф. 8* 'Теорема единственности задач линейной теории упругости.
Допустим теперь, что решение некоторой задачи о равновесии деформируемого тела в той или иной постановке най- (1) дено и ему отвечают перемещения т( ), деформации 8,. и напра~г) жония р,'.. Докажем, что зго решение единственно. Пусть при одинаковом распределении массовых сил Р суще(г) (г) ствует другое решение и( ), 8,), р,, удовлетворяющее тем же граничным условиям, что и первое. Рассмотрим разность зтих решений Гл.
3. Классические модели сплошных сред Данные опытов свидетельствуют, что Л > О, я > О и, следовательно, Ф положительно определена (в этом легко убедиться, рассматривая выраигение для Ф в главных осях тензора деформаций). Так как на границе р„= О, и =- О, то согласно (3.36), (3.37) 2 Фйт=О т и для положительно определенной Ф в любой точке объема т должно быть Ф = О. Это означает, что е, = О, а из закона Гука отсюда вытекает и равенство рй = О. Вектору же н в данном случае могут отвечать только перемещения тела как абсолютно твердого.
Таким образом, теорема единственности решения сформулированных краевых задач доказана. Принпип Сон-Венана. На практике расчет напряженного и деформированного состояния находящегося в равновесии упругого тела часто сопряжен с учетом весьма сложного распределения массовых и поверхностных сил. Задача, однако, может быть упрощена, если принять во внимание, что согласно многочисленным опытным данным уравновешенная система сил вызывает в теле напряжения, очень быстро убывающие по мере удаления от места приложения сил.
Эта особенность позволяет сформулировать так называемый принцип Сен-Венана; если на тело в области, малой по сравнению с его размерами, действует уравновешенная система сил, то деформированное и напряженное состояние вдали от места приложения сил опредеэтются в основном главным вектором и главным моментом этих сил и не зависят от деталей их распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
