Краснобаев К.В. Лекции по основам механики сплошной среды (1184113), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Применение принципа Сон-Венапа позволяет заменять сложные граничные условия более простыми, облегчающими нахождение и, ем, р; . Так, например, решение рассматриваемой в следующем параграфе задачи об одноосном растяжении упругого бруса с частшлми граничными условиями приближенно описывает ~на основании принципа Сеп-Венана) деформированное и напряженное состояние бруса и при более общих условиях па границе. 3.12. Задача об одноосном растяжении упругого бруса Рассмотрим равновесие бруса прямоугольного поперечного сечения под действием поверхностных сил, приложенных к торцам (рис. 24). Предположим, что массовые силы пренебрежимо малы, температура всех частиц постоянна, отсутствуют температурные напряжения и боковые грани бруса свободны от нагрузок (то есть на них ри = О).
3.12. Задача об одноосном растяжении упругого бруса 97 К торцам бруса (А) и (В) пусть приложены равные и противоположно направленные силы Р и — Р. Считаем, что силы рав- Рис. 24. Одноосное расхнженио бруса номерно распределены по поперечным сечениям с площалью Е и отлична от нуля только х-компонента Р.
(Л) (В) (.4) (В) Таким обРазом, на тоРцах Р„= — Рн и Р, = Р = Р = Р) с'. Компоненты тензоРа напРЯжений Р р и Р, в сеченинх (А) и (В), очевидно, равны нулю. Легко видеть, что решение уравнения равновесия с)1рП = О, удовлетворяющее поставленным граничньгм условиям, имеет вид Р Рхх = с,| (3.38) Рхр Рхх Ррр Ррх Рхх Рхх е яу ерр — — — иехх, ехх = — оехх, (3.39) (3.40) Для того чтобы по найденным ей можно было вычислить перемещения, необхолимо удовлетворить уравнениям совместности. Для (3.39), (3.40) уравнения совместности удовлетворяются, так как они содержат вторые производные от еу, которые постоянны.
Таким образом, перемещения могут быть найдены путем интегрирования (3.39), (3.40). Из (3.39) вытекает х + ю (ус и), — о' — у+ юр(х, и), (3.41) ю, = — н —,х г + ю,(х, у). и оно единственно в силу доказанной в предыдущем параграфе теоремы. Выражая е, через РО (см. 2 2,7), определяем компоненты тензора деформацйй Гл. 3. Классические модели сплошных сред 8 соответствии с (3.40) Функции ю, юю ю, удовлетворяют уравнениям дюл дюу — + — =О, ду дх дю, дю, дю дю — '+ — =О, — ~+ — =О, дл дх ' дл ду из которых следует дюи(у, л) дюж(х, л) д дю„(у, л) дй~,(х, у) дл дх (У)' (3.42) дю„(х, л) дю.,(х, у) дл ду — = у(х) = 1елу+11л+ 1зу+ ю о где 1е, 1ы 1г, ю~е — постоянные.
Аналогично, юу = гпехл + пъ1х + гизи + юро~ ю, =Чоух+Йу+Йх+ю,о. Так как ю,, юю ю, должны удовлетворять (ЗА2) при любых х, у, л, то между постоянными существует связь (о = гпо = чо = О, о1 = — шт =ши, 1~ = — чз — = юл т1 = — 1з = Ы, Следовательно, вектор чч = (ю.,юи,ю,) может быть представлен в фоРме тч = йе(ю,е,й~ло,й~,~) + ю(Йл,юююл) х г(х У л) ему отвечает перемещение тела как абсоли>тно твердого. Из Формул (3.41) видно, что перемещения частиц бруса (юл — юл) линейно возрастают с ростом х, а перемещения (юд — юи) и (ю, — ю,) отрицательны, то есть при растяжении в продольном направлении брус сжимается в поперечных направлениях.
(а(л), р(у), 7(х) — произвольные функции). Интегрируя (3.42) и рассматривая, например, й~ при и = О и у = О, приходим к выражению 3.13. Не пр гое повн ение деформируемых твердых тел 99 Отметим в заключение этого параграфа, что решение (3.38) пригодно и в случае бруса произвольного поперечного сечения, так как если на торцах ри —— Рх = О, то по формуле Коши (2.7) на боковой поверхности р„= О (вследствие равенства соз(п, х) = О) и, значит, (3.38) удовлетворяет поставленным краевым условиям при любой форме поперечного сечения.
Кроме того, даже если условия закрепления бруса отличаются от рассмотренных и, например, на торце (А) перемещения ь(л = тв, = О, то (3.38) в соответствии с принципом Оен-Венаца приближенно описывает напряженное и деформированное состояние на расстояниях, превышающих поперечные размеры бруса. 3.13. Неупругое поведение деформируемых твердых тел. Пластичность, ползучесть, релаксация Классическая модель линейного упругого тела широко применяется на практике. Вместе с тем деформирование твердых тел часто сопровождается необратимыми пропессами, при протекании которых связь между напряжениями и деформациями значительно усложняется по сравнению с используемой в линейной теории.
Рассмотрение количественных моделей неупругого поведения твердых тел выходит за рамки настоящего курса. Поэтому ограничимся лишь описанием основных типов неупругих явлений, таких как пластичность, ползучесть, релаксация цапряженпй и усталостные напряжения. Пластичность. На рис. 25 схематически представлены результаты обработки опытов по растяжению-сжатию цилиндрического стержня из металла под действием направленного вдоль про- Рис. 2о. Схема анаграммы одиоосиого расжатия-сжатия долькой оси т, напряжения на торцах рях. На диаграмме рхя(ехя) можно выделить следующие характерные участки.
Отрезок А1А соответствует модели линейного упругого тела. На участках А.В и А1В~ отсутствует линейная связь между р и еяя, но процесс деформирования обратим и переход из точки А (или А1) в точку В (или В1) и обратно происходит по той же самой кривой. 1ОО Гл. 3. Классические модели сплотиых сред При р > р,, (В) проявляется следующая особенность.
Если, например, по достижении па диаграмме точки С уменьшить напряжение р, (процесс уменьшения ~р ~ называется разгрузкой, в противоположность увеличению (р е! — нагрузке), то соответствующее этому рих значение е . будет линейно убывать. Однако при р = 0 деформации не исчезают и и (О') = ер. Возникновение остаточных деформаций е отражает основное свойство пластических материалов, а величина р, (В) называется пределом упругости или пределом текучести. Если в некоторой точке Е отрезка О'С увеличивать р,, то е будет линейно возрастать до значения, отвечающего точке С, а при дальнейшей нагрузке процесс деформирования будет описываться участком диаграммы С.0. В том случае, когда разгрузка из состояния С сменяется сжатием, предел упругости (па диаграмме ему соответствует точка В1), вообще говоря, не совпадает с р„(В~).
Пол з у ч ес ть. Ползучестью принято называть медленные непрерывные деформации в теле, находящемся под воздействием не зависящих от времени нагрузок. Так, например, стержень, один торец которого закреплен, а к другому приложено постоянное растягивающее напряжение, со временем удлиняется. При этом возникшие к некоторому моменту времени деформации не исчезают и после снятия нагрузок.
Явление ползучести характерно для большинства материалов и описывается кривой ползучести — зависимостью деформации от времени при фиксированных значениях температуры и напряжения. Опыт показывает, что ползучесть развивается при весьма небольших нагрузках и скорость деформации возрастает с ростом температуры. Релаксация напряжений. Явление релаксации напряжений заключается в том, что при фиксированных деформациях возникшие в теле напряжения со временем уменьшаются (в некоторых материалах — до исчезающе малых значений). Подобно явлению ползучести, скорость релаксации напряжений увеличивается с ростом температурьь Процесс релаксации можно трактовать как переход материала из упругого состояния в пластическое, требующее для своего поддержания значительно меньших нагрузок.
Усталость материалов. В условиях циклических нагрузок, даже не превосходящих по величине предела упругости, материал может разрушаться, если число циклов нагружения достаточно велико. Из опыта известно, что усталостному разрушению 3.13. Неупругое поведение деформируемых твердых тел 101 способствует появление на поверхности тела или внутри него микротрещин. В свою очередь, образование микротрещин связано со сложными необратимыми процессами изменения структуры вещества под влиянием напряжений и воздействий внешней среды.
О сопротивляемости материалов усталостному разрушению дает представление так называемая кривая усталости. Она строится как зависимость максимального напряжения, которое выдерживает образец до разрушения, от числа циклов нагружения Ме. Для кривой усталости обычно имеется такое значение напряжения, ниже которого материал не разрушается при сколь угодно большом М,. Подчеркнем, что рассмотренные типы неупругих явлений требуют для своего количественного описания построения весьма сложных моделей, учитывающих особенности внутренннего строения вещества и многообразие внешних условий, влияющих на связь между напряженным и деформированным состоянием твердого тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
