Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Çäåñü m, e - ñîîòâåòñòâåííî ìàññà è çàðÿä ýëåêòðîíà, ns − êîíöåíòðàöèÿñâåðõïðîâîäÿùèõ ýëåêòðîíîâ. Èç (17), (18), (19) ñëåäóåò, ÷òî·¸Z1 ¡ 22¢2(20)F = dV Fs +B + λL (rotB),8πEmag =ãäåµλL =mc24πns e2180¶1/2.(21)Ëåêöèÿ 13. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿÏðîâàðüèðóåì ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ h :Z¡¢1δF =BδB + λ2L rotB·rotδB dr.4π(22)Âòîðîé ÷ëåí â (22) ïðåîáðàçóåì, èñïîëüçóÿ ôîðìóëóarot b = brot a− div [a × b] ,a = rotB, b = δB.ÒîãäàrotB·rotδB =δBrotB·rotrotB−div [rotB × δB](23)Ó÷òåì, ÷òî ÷ëåí ñ äèâåðãåíöèåé ïðåîáðàçóåòñÿ â ïîâåðõíîñòíûé èíåãðàë, ðàâíûé íóëþ (òàê êàê íà ïîâåðõíîñòè ðàâíà íóëþ âàðèàöèÿ δB)4 . Òîãäà îñòàâøååñÿîáúåìíûé èíòåãðàë äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ ïðè ïðîèçâîëüíîì δB âíóòðè òåëà.ÏîýòîìóB + λ2L rot rotB = 0.(24)Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëîíäîíîâ è ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ íåçàòóõàþùèõ òîêîâ.13.6 Ýôôåêò ÌåéññíåðàÏîêàæåì òåïåðü, êàê èç óðàâíåíèÿ Ëîíäîíîâ ñëåäóåò ýôôåêò Ìåéññíåðà.
Îãðàíè÷èâøèñü ðàññìîòðåíèåì öèëèíäðà áîëüøîãî ðàäèóñà, åãî ãðàíèöó ìîæíî ñ÷èòàòü ïîëîñêîé. Ïóñòü ïðîäîëüíîå âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå B0 íàïðàâëåíî ïî îñèz, à íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè ñâåðõïðîâîäíèêà íàïðàâëåíà ïî îñè x (ñì. ñíîñêó íàýòîé ñòðàíèöå). Òîãäà óðàâíåíèå Ëîíäîíîâ (24) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå :∂2Bz = 0.∂x2Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ, êîíå÷íàÿ âíóòðè ñâåðõðîâîäíèêà, èìååò âèäBz − λ2L− λxBx = B (0) eL4 Íà− λx= B0 eL,(25)ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ îò ïîâåðõíîñòè ïîñëåäíþþ ìîæíî ñ÷èòàòü ïëîñêîé. Äîêàæåì, ÷òîíåïðåðûâíà òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Íàïðàâèì îñü x âäîëü ïîâåðõíîñòè.
Òîãäà òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ åñòü Bx . Ïóñòü íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè íàïðàâëåíà∂Bxïî îñè z.Òîãäà ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò z. Ïîýòîìó rotB = −ey.∂zÏîñêîëüêó âíóòðè ñâåðõïðîâîäíèêà ïëîòíîñòü ïîâåðõíîñòíîãî òîêà, âî âñÿêîì ñëó÷àå, êîíå÷íà, à âíå åãî ðàâíà íóëþ, òî èç óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà (15) ñëåäóåò, ÷òî êîíå÷íà ïðîèçâîäíàÿ∂Bx. Âíå ñâåðõïðîâîäíèêà ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ñîâïàäàåò ñ âíåøíèì ìàãíèòíûì ïîëåì. Êî∂zíå÷íîñòü ïðîèçâîäíîé îçíà÷àåò íåïðåðûâíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíû. Òàêèì îáðàçîì, âðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå íà ïîâåðõíîñòè ñâåðõïðîâîäíèêà òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè íåïðåðûâíà.
Ýòè ðàññóæäåíèÿ íå îòìåíÿþò íåïðåðûâíîñòè íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ìàãíèòíîé èíäóêöèè, ñëåäóþùåé èç óðàâíåíèÿ divB = 0. Èòàê, íà ïîâåðõíîñòèñâåðõïðîâîäíèêà íåïðåðûâíà ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ.Ïîñêîëüêó íàñ èíòåðåñóåò ìèíèìóì ñâîáîäíîé ýíåðãèè â çàäàííîì âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå(ñîâïàäàþùåì âíå ñâåðõïðîâîäíèêà ñ ìàãíèòíîé èíäóêöèåé), òî ïðè âàðüèðîâàíèè ìàãíèòíîéèíäóêöèè ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè δB = 0. Ïîýòîìó ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë îáðàùàåòñÿ â íóëü .181Ëåêöèÿ 13.
Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿ÷òî îïèñûâàåò ýôôåêò Ìåéññíåðà.Âî èçáåæàíèå íåäîðàçóìåíèé íàïîìíèì, ÷òî â ìàêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå, íåïðåðûâíûìè ÿâëÿåþñÿ òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðÿæåííîñòèìàãíèòíîãî ïîëÿ è íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ïðè ýòîìòàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè ìîæåò, âîîáùå ãîâîðÿ èìåòüñêà÷îê, ñâÿçàííûé ñ ñóùåñòâîâàíèåì ïîâåðõíîñòíûõ òîêîâ. Åñëè èíòåðåñîâàòüñÿìàñøòàáàìè, ìíîãî áîëüøèìè ãëóáèíû ïðîíèêíîâåíèÿ, ìàñøòàá λ ñëåäóåò ñ÷èòàòü áåñêîíå÷íî ìàëûì. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó ÷òî ïëîòíîñòü ñâåðõïðîâîäÿùèõòîêîâ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü è èõ ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ïîâåðõíîñòíûå. Íàëè÷èå ïîâåðõíîñòíûõ òîêîâ ïðèâîäèò ê ñêà÷êó òàíãåíöèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ìàãíèòíîé èíäóêöèè.
Çàìåòèì ïîïóòíî, ÷òî ïðè òàêîì ðàññìîòðåíèè íåîïðåäåëåíà íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ âíóòðè ñâåðõïðîâîäíèêà.  ñàìîìäåëå, ìàãíèòíîå ïîëå îïðåäåëÿåòñÿ êàê âàðèàöèÿ ýíåðãèè ïî ìàãíèòíîé èíäóêöèè (ñì. (11)).  ñâåðõïðîâîäíèêå B ≡ 0. Ïîýòîìó âàðèàöèîííàÿ ïðîèçâîäíàÿ íåîïðåäåëåíà.Èç óðàâíåíèé (24), (21) è (15) èìååìrotjs = −ne2BmcÂâåäåì ïîòåíöèàë AB = rotA.Ýòîò ïîòåíöèàë îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî, ñ òî÷íîñòüþ äî ãðàäèåíòà íåêîòîðéôóíêöèè ∇φ. Òîãäàne2js = −(A0 −∇φ) ,mcA0 îäèí èç âîçìîæíûõ ïîòåíöèàëîâ. Åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû divjs = 0, òîdiv(A0 − ∇φ) = 0. Ïîýòîìó ìîæíî âåêòîð-ïîòåíöèàë âûáðàòü òàê, ÷òîáûdivA= 0.Òàêîé âûáîð ïîòåíöèàëà A íàçûâàåòñÿ ëîíäîíîâñêîé êàëèáðîâêîé.  ýòîé êàëèáðîâêå ïîëó÷àåìne2js = −A.(26)mcÈç óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ñëåäóåò, ÷òîcrotrotAj=4πÏîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå Ëîíäîíîâ â ôîðìå (26) ïîëó÷èì åùåîäíó ôîðìó óðàâíåíèÿ ËîíäîíîârotrotA = −4π ne21A,λ=.Lλ2Lc mc(27)Èòàê, õàðàêòåðíûé ìàñøòàá çàòóõàíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ è òîêîâ â ãëóáü ñâåðõïðîâîäíèêà îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì λL , íàçûâàåìûì ëîíäîíîâñêîé ãëóáèíîéïðîíèêíîâåíèÿ.182Ëåêöèÿ 13.
Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿÎáñóäèì òåïåðü îñíîâíûå íåäîñòàòêè òåîðèè Ëîíäîíîâ. ïåðâóþ î÷åðåäü, îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî óðàâíåíèå (26) íå ÿâëÿåòñÿ êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûì. Ýòî îñíîâíîé, òàê ñêàçàòü, "ôóíäàìåíòàëüíûé"íåäîñòàòîêòåîðèè Ëîíäîíîâ. Íî èç òåîðèè Ëîíäîíîâ ñëåäóåò, ÷òî âî âíåøíåì ìàãíèòíîìïîëå ñâåðõïðîâîäíèêó âñåãäà òåðìîäèíàìè÷åñêè âûãîäíî ðàññëîèòüñÿ íà ìàêñèìàëüíî ìåëêóþ ñåòü ÷åðåäóþùèõñÿ íîðìàëüíûõ è ñâåðõïðîâîäÿùèõ îáëàñòåé òàê íàçûâàåìîå ïðîìåæóòî÷íîå ñîñòîÿíèå.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà ãðàíèöå ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå σns < 0. Äîêàæåì ýòî, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå Ëîíäîíîâ.Ïóñòü îáðàçåö íàõîäèòñÿ âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå.
Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ïëîñêóþ N S -ãðàíèöó ìåæäó íîðìàëüíîé è ñâåðõïðîâîäÿùåé ÷àñòÿìè îáðàçöà. Ãðàíèöà ðàñïîëîæåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè x.  ëåâîì ïîëóïðîñòàíñòâå x < 0èìååì ñâåðõïðîâîäíèê, ñïðàâà ïðè x > 0 íîðìàëüíûé ìåòàëë. Ìåòàëë ñ÷èòàåìíåìàãíèòíûì.
Ïîýòîìó â íåì ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ðàâíà ìàãíèòíîìó ïîëþ.Èç óñëîâèÿ ñîñóùåñòâîâàíèÿ íîðìàëüíîé è ñâåðõïðîâîäÿùåé ôàç ñëåäóåò, ÷òîâ íîðìàëüíîé ôàçå àâòîìàòè÷åñêè óñòàíàâëèâàåòñÿ ìàãíèòíîå ïîëå H = Hc . Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ îáðàçöîì íàõîäÿùèìñÿ â çàäàííîìâíåøíåì ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ Hc .
Òîãäà ìèíèìóì äîëæåí èìåòü òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë G (ñì. (14):G=F−BHc.4πÂäàëè îò ãðàíèöû (ãäå B = 0!) â ñâåðõïðîâîäÿùåé ÷àñòè èìååì¯BHc ¯¯Gs = Fs (B) −= Fs0 .4π ¯B=0(28)Âäàëè îò ãðàíèöû â íîðìàëüíîé ôàçå H = B = Hc . ÏîýòîìóB2 BHcH2cG n = Fn +−= Fn −.8π4π8π(29)Ó÷èòûâàÿ (6), ïîëó÷àåì, ÷òî, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü â ðàâíîâåñèèGs = Gn .(30)Ìàãíèòíîå ïîëå ïðîíèêàåò â ñâåðõïðîâîäíèê íà ãëóáèíó λ è èçìåíÿåò ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ ñâåðõïðîâîäÿùåé îáëàñòè. Äëÿ àíàëèçà ðàññìîòðèì ïëîñêóþ ãðàíèöó ìåæäó íîðìàëüíîé è ñâåðõïðîâîäÿùåé ôàçàìè. Íàïîìíèì, ÷òî åñëè íîðìàëüíàÿ è ñâåðõïðîâîäÿùàÿ ôàçû ñîñóùåñòâóþò òîëüêî åñëè ìàãíèòíîå ïîëå âíîðìàëüíîé ôàçå ðàâíî Hc .Òåðìîäèíàìè÷åcêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà ñâåðõïðîâîäÿùåãî ïîëóïðîñòðàíñòâà (x > 0) èìååò âèä"µ¶2 #Z22Hc BλdBB−+.(31)G=dV Fs0 +8π4π8π dxx>0Çäåñü ïåðâûé ÷ëåí ïëîòíîñòü ñâîáîäíîé ýíåðãèè Ãèááñà Gs = Fs0 â îòñóòñòâèåìàãíèòíîãî ïîëÿ, âòîðîé ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñâåðïðîâîäíèêå, òðåòèé àíàëîã ÷ëåíà HB â (14), ïîñëåäíèé êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñâåðõïðîâîäÿùèõ183Ëåêöèÿ 13.
Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿòîêîâ. Åñëè áû ìàãíèòíîå ïîëå íå ïðîíèêàëî â ñâåðõïðîâîäíèê, òî ïîñëåäíèåòðè ÷ëåíà îáðàùàëèñü áû â íóëü. Èç ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëîíäîíîâ ñëåäóåò, ÷òîB = Hc exp (−x/λ) (ñì.( 25)). Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (31), âû÷èñëèì ïîïðàâêó ê ñâîáîäíîé ýíåðãèè çà ñ÷åò ÷àñòè÷íîãî ïðîíèêíîâåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿâ ñâåðõïðîâîäíèê:∆G =γS,ãäå S ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, σ ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå"µ¶2 #ZB 2 Hc Bλ2 dBHc2σ=dx−+= − λ.8π4π8π dx8πx>0(32)Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îáðàçîâàíèå ïîâåðõíîñòè ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíî è óïîìÿíóòîå ðàññëîåíèå äîëæíî ïðîèñõîäèòü âñåãäà!Òàêîå ðàññëîåíèå äåéñòâèòåëüíî íàáëþäàåòñÿ, íî äàëåêî íå äëÿ âñåõ ñâåðõïðîâîäíèêîâ è ñêîðåå ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì, ÷åì ïðàâèëîì.
Åñëè ñ îòñóòñòâèåìêàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè â òåîðèè Ëîíäîíîâ ýêñïåðèìåíòàòîðû åùå ìîãëèñìèðèòüñÿ, òî ñ íåîáõîäèìîñòüþ ðàññëîåíèÿ íåò. Ïðèøëîñü òåîðåòèêàì èñêàòüïðè÷èíó, ïî êîòîðîé â áîëüøèíñòâå ñâåðõïðîâîäíèêîâ îáðàçîâàíèå ïîâåðõíîñòèìåæäó ñâåðõïðîâîäÿùèì è íîðìàëüíûì ñîñòîÿíèåì íåâûãîäíî.Âî ââåäåíèè ìû îïðåäåëèëè ñâåðõïðîâîäíèêè ïåðâîãî ðîäà êàê âåùåñòâà, âêîòîðûõ èìååò ìåñòî ïîëíûé ýôôåêò Ìåéññíåðà ìàãíèòíîå ïîëå â íèõ íå ïðîíèêàåò. Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå äëÿ íèõ σ > 0.
Óðàâíåíèå Ëîíäîíîâ äëÿ íèõíåñïðàâåäëèâî.  ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå σ < 0 ìû èìååì äåëî ñî ñâåðõïðîâîäíèêàìè âòîðîãî ðîäà, äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî ñìåøàííîå (âèõðåâîå ) ñîñòîÿíèå.13.7 Êîãäà ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå Ëîíäîíîâ?Ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ Ëîíäîíîâ ìû íåÿâíî èñïîëüçîâàëè, òîò ôàêò, ÷òî ðàçìåð ñâåðõïðîâîäÿùèõ ýëåêòðîíîâ ìíîãî ìåíüøå ãëóáèíû ïðîíèêíîâåíèÿ λ. Åñëè ýòî íå òàê, è ðàçìåð ýëåêòðîíà ξ > λ, òî â çîíå äåéñòâèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿíàõîäèòñÿ òîëüêî "÷àñòü ýëåêòðîíà" è ïîýòîìó óðàâíåíèå Ëîíäîíîâ íåñïðàâåäëèâî.Ïðèâåäåì ïðîñòåéøèå ôèçè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ, êàê ìîæíî ïðèéòè ê ðàññìîòðåíèþ çàäà÷è íà ýòîì óðîâíå.Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè òåìïåðàòóðå Tc çà ñâåðõïðîâîäèìîñòü äîëæíû îòâå÷àòüýëåêòðîíû ñ ýíåðãèåé ïîðÿäêà Tc .
 ñîîòâåòñòâèè ñ îñíîâíûìè ïîëîæåíèÿìè òåîðèè ôåðìè-æèäêîñòè õàðàêòåðíûé èìïóëüñ ñâåðõïðîâîäÿùèõ ýëåêòðîíîâ òàêîâ,÷òîp2< E F + Tc ,2m¿ EF ,E F − Tc <Tcãäå EF − ýíåðãèÿ Ôåðìè. Ýëåìåíòàðíûå âîçáóæäåíèÿ â òàêîé ñèñòåìå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âîëíîâûå ïàêåòû øèðèíîé δp ∼ Tc /vF , ãäå vF = pF /m. Òîãäà õàðàêòåðíàÿ ïðîòÿæåííîñòü âîëíîâîãî ïàêåòà ðàâíàξ0 ∼~vF.Tc184Ëåêöèÿ 13. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿÏðè âûâîäå óðàâíåíèÿ Ëîíäîíîâ íåÿâíî ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ýòîò âîëíîâîé ïàêåòöåëèêîì ïîâåðæåí âëèÿíèþ âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Ïðè ýòîì ìû ïîëó÷èëè,÷òî ìàãíèòíîå ïîëå èçìåíÿåòñÿ íà ìàñøòàáå ëîíäîíîâñêîé ãëóáèíû ïðîíêíâåíèÿλL . Åñëè ξ0 À λL , òî ëèøü ìàëàÿ ÷àñòü âîëíîâîãî ïàêåòà ïîäâåðæåíà âëèÿíèþìàãíèòíîãî ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå Ëîíäîíîâ ñïðàâåäëèâî åñëè λL À ξ0 .Òàêèå ñâåðõïðîâîäíèêè íàçûâàþòñÿ ñâåðõïðîâîäíèêàìè âòîðîãî ðîäà. Ïàðàäîêñàëüíî, íî ïîñëå îòêðûòèÿ ýôôåêòà Ìåéññíåðà, ãëàâíûì îáðàçîì, èññëåäîâàëèñüñâåðõïðîâîäíèêè ïåðâîãî ðîäà, êîãäà λL ¿ ξ0 , äëÿ êîòîðûõ óðàâíåíèå Ëîíäîíîâíå ðàáîòàåò.Îöåíèì ãëóáèíó ïðîíèêíîâåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ λ â äðóãîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà λ ¿ ξ0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
