Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿÏîëåäíåå ðàâåíñòâî äîëæíî áûòü ñïðàâåäèâûì ïðè ïðîèçâîëüíîì δΨ∗ .Ïîëó÷àåìïåðâîå óðàâíåíèå Ãèíçáóðãà-Ëàíäàó è ãðàíè÷íîå óñëîâèå1αΨ + βΨ |Ψ| +4m2µµ¶22e−i~∇ − A Ψ = 0c¶2e−i~∇ − A Ψn =0.c(45)Ïðîâàðüèðóåì òåïåðü ýíåðãèþ Ãèááñà ïî âåêòîð-ïîòåíöèàëó A:·µ¶µ¶R12e2e∗∗i~∇Ψ − AΨδA gsH = dV δA−i~∇Ψ − AΨ +4mcc¸rotA rotδA H0+−rotδA =4π4πR1dV4m1+4m·µµ¶µ¶2e ∗2e− Ψ δA−i~∇Ψ − AΨ +cc2ei~∇Ψ − AΨ∗c¶µ∗(46)¶2e− ΨδA +c¸(rotA − H0 ) rotδA=04πÏîñëåäíèé ÷ëåí ïðåîáðàçóåì ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâàarotb = brota−div [a × b] . ðåçóëüòàòå, ïðåîáðàçóÿ ÷ëåí ñ äèâåðãåíèöèåé â ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë, ïîëó÷èìZZIrotA rotδArotrotAdV= dV δA− dS [rotA×δA] .(47)4π4πÂñïîìíèì òåïåðü, ÷òîB = rotA.Íà ïîâåðõíîñòè ñâåðõïðîâîäíèêà ìàãíèòíîå ïîëå ñ÷èòàåòñÿ çàäàííûì, ãäå, ñëåäîâàòåëüíî, δA = 0.
Ïîäñòàâëÿÿ (47) â (46), è, ó÷èòûâàÿ, ÷òî âàðèàöèÿ îáðàùàåòñÿâ íóëü ïðè ïðîèçâîëüíîì çíà÷åíèè δA, âíóòðè ñâåðõïðîâîäíèêà ïîëó÷èì2e2rotrotAi~e(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) +A |Ψ|2 += 0.22mcmc4πÂñïîìíèì òåïåðü, ÷òîrotA = B.190(48)(49)Ëåêöèÿ 13. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿÓðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ãëàñèò4πj.(50)cÈç òðåõ ïîñëåäíèõ óðàâíåíèé ñëåäóåò âûðàæåíèå äëÿ ñâåðõïðîâîäÿùåãî òîêà:rotB =js = −2e2i~e ∗(Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) −A |Ψ|2 .2mmc(51)Ôèçè÷åñêè ýòîò ðåçóëüòàò èíòåðïðåòèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.  êâàíòîâîéìåõàíèêå ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ñâÿçàííûé ñ îäíîé ÷àñòèöåé ñ çàðÿäîì 2e è ìàññîé2m âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îïåðàòîð ñêîðîñòè ñëåäóþùèì îáðàçîì:µ¶2e ∗2e∗j =2eψ vψ =ψ p̂ − A ψ.2mcÅñëè |Ψ|2 èìååò ñìûñë ïëîòíîñòè ýëåêòðîííûõ ïàð, òî ïîëíàÿ ïëîòíîñòü ñâåðõïðîâîäÿùåãî òîêà èìååò ñìûñë ïðåäñòàâèòü â âèä嵶e ∗2e∗js =2eΨ vΨ = Ψ p̂ − A Ψ,(52)mc÷òî ôàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ (51).Ïåðåéäåì ê áåçðàçìåðíîé ôóíêöèè ψ, îáîçíà÷èânsψ = Ψ/Ψ0 , |Ψ0 |2 == |α| /β.2(53)Ââåäåì òàêæå îáîçíà÷åíèÿ~2,4m |α|mc2mc2 β==.4πns e28πe2 |α|ξ2 =(54)λ2(55)Òîãäà óðàâíåíèÿ Ãèíçáóðãà-Ëàíäàó ïåðåïèøóòñÿ â âèäå B =rotA³´2ξ 2 i∇ + Φ2π0 A ψ − ψ + ψ |ψ|2 = 0,rotrotA =Φ0−i 4πλ2|ψ|2(ψ ∇ψ − ψ∇ψ ) − 2 Aλ∗∗(56)(57)π~c.Íàïîìíèì, ÷òî Φ0 =eÏðåíåáðåæåì íåîäíîðîäíîñòüþ ns è ïðåäñòàâèì âîëíîâóþ ôóíêöèþ ψ â âèäåψ = |ψ| eiθ .
Òîãäà âòîðîå óðàâíåíèå ÃË ïåðåïèøåòñÿ â âèä嵶|ψ|2 Φ0∇θ − A .(58)rotrotA = 2λ2πÓðàâíåíèå (58), â îòëè÷èå îò óðàâíåíèÿ Ëîíäîíîâ (27), ÿâëÿåòñÿ êàëèáðîâî÷Φ0íî èíâàðèàíòíûì. ×ëåí∇θ, îáåñïå÷èâàþùèé ýòó èíâàðèàíòíîñòü, ÿâëÿåòñÿ2πñóùåñòâåííî êâàíòîâûì.191Ëåêöèÿ 13. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿ13.10Ãðàíèöà ìåæäó íîðìàëüíîé è ñâåðõïðîâîäÿùåé ôàçàìèÐàññìîòðèì ãðàíèöó ìåæäó íîðìàëüíîé è ñâåðõïðîâîäÿùåé ôàçîé â ñâåðõïðîâîäíèêå âòîðîãî ðîäà. Åñëè áû ãðàíèöà áûëà ðåçêîé, òî, ïîñêîëüêó Gn = Gs ,íàëè÷èå ãðàíèöû íå âíîñèëî áû âêëàäà â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ. Ôàêòè÷åñêè âñåãäà èìååòñÿ ïåðõîäíûé ñëîé îò íîðìàëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ê ñâåðõïðîâîäÿùåìó. Ìûóæå çíàåì, ÷òî ñâåðõïðîâîäíèê õàðàêòåðèçóåòñÿ äâóìÿ ìàñøòàáàìè äëèí ξ0 õàðàêòåðíûé êâàíòîâûé ìàñøòàá ðàçìåð êóïåðîâñêèõ ïàð, λ ãëóáèíà ïðîíèêíîâåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáðàçåö.  ïåðåõîäíîì ñëîå ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿèçìåíÿåòñÿ (ïî ñðàâíåíèþ ñ Gs = Gn ) ïî äâóì ïðè÷èíàì.
Âî ïåðâûõ, ìàãíèòíîå ïîëå ÷àñòè÷íî, íà ãëóáèíó λ, ïðîíèêëî â ñâåðõïðîâîäíèê. Âî âòîðûõ, ñëîéòîëùèíîé ξ0 ïîäâåðæåí âëèÿíèþ íîðìàëüíîé ÷àñòè îáðàçöà èç-çà ÷åãî â ýòîìîáúåìå íå ïðîèñõîäèò "ïîëíàÿ" êîíäåíñàöèÿ êóïåðîâñêèõ ïàð. Õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå ïëîòíîñòè ìàãíèòíîé ýíåðãèè â íîðìàëüíîé ôàçå è õàðàêòåðíàÿ ýíåðãèÿ2êîíäåíñàöèè â ñâåðõïðîâîäÿùåé ôàçå H8πc .Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñâåðõïðîâîäíèê ïåðâîãî ðîäà. Âûøå â ñëó÷àå ñâåðõïðîâîäíèêîâ âòîðîãî ðîäà ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ëîíäîíîâ áûëî âû÷èñëåíî ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå (32). Àíàëîãè÷íî, óðàâíåíèÿ Ãèíçáóðãà-Ëàíäàó ìîãóò áûòüèñïîëüçîâàíû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ â ñëó÷àå ñâåðõïðîâîäíèêîâ ïåðâîãî ðîäà7 .
Âìåñòî ýòîé, îòíîñèòåëüíî ïðîñòîé, íî ãðîìîçäêîé ïðîöåäóðû, ïîëó÷èì îòâåò êà÷åñòâåííûì îáðàçîì. ñâåðõïðîâîäíèêå ïåðâîãî ðîäà ξ0 À λ. (Óðàâíåíèå Ëîíäîíîâ ïðè ýòîì íåðàáîòàåò).  áîëüøåé ÷àñòè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ òîëùèíîé ξ0 − λ ≈ ξ0 ìàãíèòíîåïîëå îòñóòñòâóåò, à ïëîòíîñòü ñêîíäåíñèðîâàâøèõñÿ ýëåêòðîíîâ ìåíüøå, ÷åì âèñòèííî ñâåðõïðîâîäÿùåé ôàçå, òàê êàê â ïåðåõîäíîé îáëàñòè ïðîèñõîäèò ïëàâíîå èçìåíåíèå ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ψ îò 1 äî 0. Ïîýòîìó â ïåðåõîäíîì ñëîå ýíåðãèÿáîëüøå ïî ñðàâíåíèþ ñ Gn = Gs íà âåëè÷èíóσns =Hc2ξ0 > 08π(59)Ôàêòè÷êåñêè ýòî åñòü ïðåâûøåíèå ýíåðãèè Ãèááñà íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè è ïîýòîìó íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòíûì íàòÿæåíèåì.
Èòàê â ñâåðõïðîâîäíèêàõ ïåðâîãîðîäà îáðàçîâàíèå ãðàíèöû ýíåðãåòè÷åñêè íåâûãîäíî.Àíàëîãè÷íûå ñîîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿþò óñòàíîâèòü çíàê ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ è â ñëó÷àå ñâåðõïðîâîäíèêà âòîðîãî ðîäà, êîãäà ξ0 ¿ λ.  ýòîì ñëó÷àå âáîëüøåé ÷àñòè ïåðõîäíîãî ñëîÿ λ − ξ0 ≈ λ ïàðàìåòð ïîðÿäêà ðàâåí íóëþ.  òîH2æå âðåìÿ ìàãíèòíîå ïîëå â íåì ìåíÿåòñÿ îò c äî íóëÿ.
Òî åñòü â ñðåäíåì â ïå8πH2ðåõîäíîì ñëîå ïëîòíîñòü ìàãíòèíîé ýíåðãèè ìåíüøå c . Ïîýòîìó ïî ñðàâíåíèþ8πñ èñòèííî íîðìàëüíûì ìåòàëëîì ìû èìååì âûèãðûø â ýíåðãèè è, ñëåäîâàòåëüíîσns =Hc2λ < 0.8π7Â(60)ñëó÷àå ñâåðõïðîâîäíèêîâ âòîðîãî ðîäà, óðàâíåíèÿ Ãèíçáóðãà-Ëàíäàó íå äàþò íè÷åãîíîâîãî, ïî ñðàâíåíèþ ñ òåîðèåé Ëîíäîíîâ.192Ëåêöèÿ 13. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿÏîä÷åðåíåì ëèøíèé ðàç, ÷òî îïèñàííûå âûøå ñîîáðàæåíèÿ î çíàêå ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ñóùåñòâåííî îñíîâàíû íà ðàâåíñòâå (30).Èòàê, âîçìîæíîñòü îáðàçîâàíèÿ ãðàíèöû ìåæäó íîðìàëüíîé è ñâåðõïðîâîäÿùåé ôàçàìè êà÷åñòâåííî îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåìσ≈Hc2(ξ0 − λ) .8π(61)Åñëè σ > 0, òî îáðàçîâàíèå ïîâåðõíîñòè íåâûãîäíî, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îáðàçîâàíèå ïîâåðõíîñòè ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíî. Ñòðîãèé àíàëèç, âûïîëíåííûé íàîñíîâå óðàâíåíèé Ãèíçáóðãà-Ëàíäàó, ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè ïàðàìåòð1κ = λ/ξ > √ ,2òî îáðàçîâàíèå ïîâåðõíîñòè ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíî.13.11Êâàíòîâàíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêàÈç óðàâíåíèÿ (58) ñëåäóåò èíòåðåñíûé ýôôåêò êâàíòîâàíèå ìàãíèòîãî ïîòîêà.Ïóñòü â ìàññèâíîì ñâåðõïðîâîäíèêå èìååòñÿ ïîëîñòü.
Ïîñêîëüêó îí íå ÿâëÿåòñÿîäíîñâÿçíûì, òî â ñâåðõïðîâîäíèêå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü ïîâåðõíîñòíûå ñâåðõïðîâîäÿùå òîêè, ïðèâîäÿùèå ê íàëè÷èþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà â ïîëîñòè. Âûáåðåìâ òîëùå ñâåðõïðîâîäíèêà çàìêíóòûé êîíòóð, îõâàòûâàþùìé ýòó ïîëîñòü.  òîëùå ñâåðõïðîâîäíèêà ìàãíèòíîå ïîëå B = rotA = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë ïîýòîìó êîíòóðó îò ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (58) ðàâåí íóëþ. Òàêèì îáðàçîì,¶I µΦ0∇θ − A dl = 0.2πÏî ñâîåìó ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó θ, ôàçà âîëíîâîé ôóíêöèè, äîëæíà îáåñïå÷èâàòüîäíîçíà÷íîñòü ïîñëåäíåé.
Ýòî âîçìîæíî, åñëè èçìåíåíèå θ ïðè îáõîäå ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó êðàòíî 2π. Èíòåãðàë îò âåêòîð ïîòåíöèàëà A, ïðåîáðàçîâàííûé êèíòåãðàëó îò rotA ïî ïîâåðõíîñòè, îïðåäåëÿåò ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç ïîëîñòüIZZAdl = rotAdS = BdS =Φ(62)Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåìIΦ0π~cΦ=∇θdl =nΦ0 , Φ0 =, n öåëîå.2πe(63)Òàêèì îáðàçîì, ìàãíèòíûé ïîòîê â ïîëîñòè1 êâàíòóåòñÿ, à êâàíòîì ÿâëÿåòñÿïàðàìåòð Φ0 .1 Çàìåòèì, ÷òî íè÷òîæíàÿ ÷àñòü ýòîãî ïîòîêà ñîñðåäîòî÷åíà â ñâåðõïðîâîäíèêå â ñëîå òîëùèíîé λ. Ïîäàâëÿþùàÿ ÷àñòü ìàãíèòíîãî ïîòîêà ñîñðåäîòî÷åíà â ïîëîñòè.193Ëåêöèÿ 13.
Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿ13.12Õàðàêòåðíûå ìàñøòàáû äëèí â ñâåðõïðîâîäíèêå ïðåäûäóùåì ðàçäåëå â (54) ôîðìàëüíî áûë ââåäåí ïàðàìåòð ξ , èìþùèé ðàçìåðíîñòü äëèíû. Âûÿñíèì åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Íàíåñåì, íà ÷èñòóþ ïëîñêóþïîâåðõíîñòü ñâåðõïðîâîäíèêà òîíêèé ñëîé íîðìàëüíîãî ìåòàëëà. Âáëèçè ãðàíöûâ ñâåðõïðîâîäèêå èç-çà êîíòàêòà ñ ìåòàëëîì ïëîòíîñòü ñâåðõðîâîäÿùèõ ýëåêòðîíîâ íåìíîãî ïîíèçèòñÿ, òî åñòü ïàðàìåòð |ψ| îòëè÷àåòñÿ îò åäèíèöû, êîòîðîéîí ðàâåí â òîëùå ñâåðõïðîâîäíèêà. Ïîñêîëüêó ìû ðàññìàòðèâàåì îäíîñâÿçíûéñâåðõïðîâîäíèê, òî ôàçà âîëíîâîé ôóíêöèè îäíîçíà÷íà. Ñîîòâåòñòóþùèì êàëèáðîâî÷íûì ïðåîáðàçîâàíèåì åå ìîæíî "çàãíàòü"â âåêòîð-ïîòåíöèàë, ñäåëàâ ñàìóâîëíîâóþ ôóíêöèþ âåùåñòâåííîé.Ïóñòü îñü x ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïîâåðõíîñòè. Òîãäà ïåðâîå óðàâíåíèå ÃË âîòñóòñòâèå ìàãíòíîãî ïîëÿ çàïèøåòñÿ−ξ 2 ψ 00 − ψ + ψ 3 = 0.(64)Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñëîé íîðìàëüíîãî ìåòàëëà ñòîëü òîíîê, ÷òî ψ âáëèçè ãðàíèöûìàëî îòëè÷àåòñÿ îò åäèíèöû è ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (64) áóäåì èñêàòü â âèäåψ = 1 − ε (x) , ε (x) ¿ 1.(65) ëèíåéíîì ïî ε ïðèáëèæåíèè ïîëó÷èìξ 2 ε00 − 2ε = 0.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî√−ε (x) = ε (0) e2xξ .Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòð ξ åñòü òà õàðàêòåðíàÿ äëèíà, íà êîòîðîé ïðîèñõîäèòèçìåíåíèå ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ψ.Ôèçè÷åñêèé ñìûñë âòîðîãî ïàðàìåòðà λ, ôèãóðèðóþùåãî â òåîðèè ÃË, ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ (58).
Êàê è â òåîðèè Ëîíäîíîâ, îí îïðåäåëÿåò ãëóáèíó ïðîíèêíîâåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñâåðõïðîâîäíèê.Èç òåîðèè ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ Ëàíäàó ñëåäóåò, ÷òî âáëèçè òåìïåðàòóðû ïåðåõîäà ïàðàìåòð |α| ∝ (Tc − T ) . Òàêèì îáðàçîì, âáëèçè Tcξ ∝ (Tc − T )−1/2 , λ ∝ (Tc − T )−1/2 . òåîðèè ÃË âàæíóþ ðîëü èãðàåò ïàðàìåòðµ ¶1/2mc βκ = λ/ξ =,~e 2π(66)(67)íå çàâèñÿùèé îò òåìïåðàòóðû.  ðàçäåëå 13.7 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî åñëè ýòîòïàðàìåòð κ À 1, òî ñâåõïðîâîäíèê õîðîøî îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëîíäîíîâè êâàíòîâûå ýôôåêòû íåñóùåñòâåííû.  ýòîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèåíà ãðàíèöå ñâåðõïðîâîäÿùåé è íîðìàëüíîé ôàç îòðèöàòåëüíîå è îáðàçîâàíèåãðàíèöû íåâûãîäíî. Àíàëèç óðàâíåíèé ÃË ïðèâîäèò ê òàêîìó æå âûâîäó, ïðèýòîì ïîðîãîâîå çíà÷åíèåäëÿ κ äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ñâåðõðîâîäèìîñòè âòîðîãî√ðîäà åñòü κc = 1/ 2.194Ëåêöèÿ 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
