Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Ýòè âèõðè îòòàëêèâàþòñÿ äðóã îò äðóãàè îáðàçóþò äâóìåðíóþ ðåøåòêó, ñîñòàâëåííóþ èç ðàâíîñòîðîííèõ òðåóãîëüíèêîâ. Ïðè íàëè÷èè ãðàäèåíòà âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ âèõðè ìîãóò äâèãàòüñÿ,íî ïðèìåñè èõ îñòàíàâëèâàþò (ïèííèíã). Ýòî ÿâëåíèå àíàëîãè÷íî äâèæåíèþ èïèííèíãó äèñëîêàöèé â ðåàëüíûõ êðèñòàëëàõ.199Ëåêöèÿ 13. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿ13.14Ýôôåêòû ÄæîçåôñîíàÐàññìîòðèì äâà ñâåðõïðîâîäíèêà, ðàçäåëåííûõ äèýëåêòðè÷åñêèì ïðîìåæóòêîì.Åñëè ýòîò ïðîìåæóòîê äîñòàòî÷íî òîëñòûé, òî òîê ÷åðåç íåãî ìåæäó ñâåðõïðîâîäíèêàìè òå÷ü íå ìîæåò. Ýòî óñëîâèå ôîðìàëüíî ñîîòâåòñòâóåò ãðàíè÷íîìóóñëîâèþ ê óðàâíåíèÿì Ãèíçáóðãà-Ëàíäàó (45), Èòàê, äëÿ îáîèõ ñâåðõïðîâîäíèêîâ óñëîâèå îáðàùåíèÿ òîêà â íóëü åñòü¶µ2e∂− Ax Ψ1 = 0,(93)−i~∂xcµ¶∂2e−i~(94)− Ax Ψ2 = 0.∂xcÅñëè ñäåëàòü äèýëåêòðè÷åñêèé ñëîé äîñòàòî÷íî òîíêèì, òî ïðîíèöàåìîñòü áàðüåðà, îáóñëîâëåííàÿ ýòèì ñëîåì, ñòàíîâèòñÿ êîíå÷íîé è ÷åðåç äèýëåêòðè÷åñêèéêîíòàêò ìîæåò òå÷ü ñâåðõòîê. Òîê, âûòåêàþùèé, íàïðèìåð, èç ïåðâîãî ñâåðõïðîâîäíèêà çàâèñèò îò êàê îò Ψ1 , òàê è îò Ψ2 .
Åñëè èíòåðåñîâàòüñÿ ñâîéñòâàìè ïåðåõîäà âáëèçè òåìïåðàòóðû ïåðåõîäà, êîãäà ïàðàìåòð ïîðÿäêà ìàë, òî ýòî âëèÿíèåäîñòàòî÷íî ó÷åñòü â ïåðâîì ïîðÿäêå. Òîãäà èç (93), (94) ñëåäóåò, ÷òî â íàèáîëååîáùåì âèä嵶∂2eΨ2 Ψ1−i~− Ax Ψ1 = f (Ψ1 , Ψ2 ) ≈+ 0(95)∂xcλ뵶2e∂Ψ1 Ψ2− Ax Ψ2 = f (Ψ1 , Ψ2 ) ≈+ 0(96)−i~∂xcλλêîýôôèöèåíòû 1/λ è 1/λ ïðîïîðöèîíàëüíû ïðîíèöàåìîñòè áàðüåðà. Ýòè óðàâíåíèÿ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü òðåáîâàíèÿì ñèììåòðèè ïî îòíîøåíèþ ê îáðàùåíèþ âðåìåíè t → −t. Ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ñäåëàòüçàìåíó ψ → ψ∗ , A → −A.Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî èìååò ìåñòî, åñëè λ, λ0 âåùåñòâåííû.
Âû÷èñëèì òîê, âòåêàþùèé â êîíòàêò, ñî ñòîðîíû ïåðâîãî ñâåðõïðîâîäíèêà, èñïîëüçóÿ (51):µµ¶ ¶2e∗ 1j = −2eRe Ψ1−i~∇x − Ax Ψ1 .(97)2mcÏîäñòàâëÿÿ ñþäà ãðàíè÷íîå óñëîâèå (95), ïîëó÷èìj=−i~e(Ψ∗ Ψ2 − Ψ1 Ψ∗2 )2mλ 1(98)(Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî êîíñòàíòà λ âûïàëà èç îêîí÷àòåëüíîãî âûðàæåíèÿ.) Ýòîòîê âûòåêàþùèé èç ïåðâîãî ñâåðõïðîâîäíèêà è âòåêàþùèé âî âòîðîé. Êàê èñëåäîâàëî îæèäàòü, ïðè âçàèìíîé çàìåíå èíäåêñîâ 1 è 2, ýòî âûðàæåíèå ìåíÿåòçíàê, ïîñêîëüêó ïîíÿòèÿ âûòåêàþùèé è âòåêàþùèé âçàèìîçàìåíÿþòñÿ. Åñëèñâåðõïðîâîäíèêè îäèíàêîâû, òî Ψ1 è Ψ2 ìîãóò îòëè÷àòüñÿ òîëüêî ôàçîé.
Åñëèýòè ôàçû åñòü ϕ1 è ϕ2 , òîj = jc sin (ϕ2 − ϕ1 ) , jc =200~e |ψ|2.mλ(99)Ëåêöèÿ 14. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿÍàïîìíèì, ÷òî ïðè ïðèáëèæåíèè ê òî÷êå ïåðåõîäà |ψ|2 ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, êàêTc − T. Ïî ýòîìó æå çàêîíó óáûâàåò ìàêñèìàëüíûé ñâåðõïðîâîäÿùèé òîê ÷åðåçêîíòàêò.Ïðèëîæèì òåïåðü ê êîíòàêòó ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ V. Ïóñòü â ïåðâîì ñâåðõïðîâîäíèêå âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ åñòüψ = ψ1 eiϕ1 (t) = ψ1 e−iE1 t/~ .Òîãäà∂ϕ1= E1 .∂tÀíàëîãè÷íî äëÿ âòîðîãî ñâåðõïðîâîäíèêà−~−~∂ϕ2= E2 .∂tÅñëè íà ìîñòèêå óñòàíîâèëàñü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ V, òî ðàçíîñòü ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé êóïåðîâñêèõ ïàð, èìåþùèõ çàðÿä 2e, ðàâíàE2 − E1 = 2eV.Òîãäà2eV = ~∂ (ϕ2 − ϕ1 ).∂tÒîãäà(ϕ2 − ϕ1 ) = (ϕ2 − ϕ1 )0 − 2eV t.(100)(101)Ïîäñòàâëÿÿ (101) â (99), ïîëó÷èìj = jc sin [(ϕ2 − ϕ1 )0 − 2eV t] .(102)Ïîëó÷èëè èíòåðåñíûé ðåçóëüòàò: íàëîæåíèå íà òóííåëüíûé êîíòàêò ïîñòîÿííîéðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ, ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ñâåðõïðîâîäÿùåãî ïåðåìåííîãî òîêà ñ ÷àñòîòîé2ωf = |eV | .(103)~Âûäåëÿåìàÿ â êîíòàêòå ìîùíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà V j.
Ñðåäíåå çà ïåðèîä çíà÷åíèå ýòîãî ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíî íóëþ, êàê ýòî è äîëæíî áûòü äëÿ ñâåðõïðîâîäÿùåãî òîêà.14Ëåêöèÿ 14. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿÂâåäåíèå Äî ñèõ ïîð ìû òîëüêî îïèñûâàëè ÿâëåíèå ñâåðõïðîâîäèìîñòè ôåíîìåíîëîãè÷åñêè. Ñåé÷àñ ìû ïåðåõîäèì ê ìèêðîñêîïè÷åñêîìó îïèñàíèþ, êîòîðîåáûëî ïðåäëîæåíî â 1957ã óäîñòîåííûìè Íîáåëåâñêîé ïðåìèè Áàðäèíûì, Êóïåðîì, Øðèôåðîì (òåîðèÿ ÁÊØ) ïî÷òè ïîëâåêà ñïóñòÿ ïîñëå îòêðûòèÿ ÿâëåíèÿ.201Ëåêöèÿ 14.
Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿÁîãîëþáîâ òàêæå âíåñ áîëüøîé âêëàä â ìèêðîñêîïè÷åñêóþ òåîðèþ ñâåðõïðîâîäèìîñòè.Ñäåëàåì ïðåäâàðèòåëüíûå îöåíêè. Ýíåðãèÿ êîíäåíñàöèè êóïåðîâñêèõ ïàð íà1ñì3 , ðàâíà Hc2 /8π ∼ 105 ýðã/cì3 , åñëè ïðèíÿòü Hc ∼ 103 . ×èñëî ýëåêòðîíîâ â 1ñì3ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâíî 1022 .
Òàêèì îáðàçîì, çà ñâåðõïðîâîäèìîñòü îòâå÷àåòýíåðãèÿ ïðèìåðíî ðàâíàÿ 105 /1022 = 10−17 ýðã/ýëåêòðîí=10−5 ýÂ/ýëåêòðîí. Çàìåòèì, ÷òî ñîâðåìåííàÿ êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ìåòàëëîâ ïðåêðàñíî îïèñûâàåò ìíîãèå èõ ñâîéñòâà äàæå â ïðåíåáðåæåíèè êóëîíîâñêîé ýíåðãèåé, èìåþùåé ïîðÿäîê 1ýÂ/ýëåêòðîí. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòîÿëî îáúÿñíèòü ïðèðîäó ÿâëåíèÿ, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ýíåðãèÿ íà ìíîãî ïîðÿäêîâ ìåíüøå ýíåðãèè äðóãèõ âçàèìîäåéñòâèé, êîòîðûìè îáû÷íî ïðåíåáðåãàþò.Êëþ÷îì ê ïîñòðîåíèþ ìèêðîñêîïè÷åñêîé òåîðèè ÿâèëîñü òî îáñòîÿòåëüñòâî,÷òî èçîòîïû îäíîãî è òîãî æå ñâåðõïðîâîäÿùåãî ìåòàëëà èìåþò ðàçíûå êðèòè÷åñêèå òåìïåðàòóðû Tc , ïðè ýòîìTc M α = const,(1)ïðè÷åì äëÿ áîëüøèíñòâà ýëåìåíòîâ α ≈ 0.5.
Ýòî íàòàëêèâàåò íà ìûñëü, ÷òîêîëåáàíèÿ ðåøåòêè, ôîíîíû, îòâåòñòâåííû çà ñâåðõïðîâîäèìîñòü, ïîñêîëüêó õàðàêòåðíàÿ ýíåðãèÿ ôîíîíîâ òåìïåðàòóðà Äåáàÿ ΘD ∼ M −1/2 .14.1 Ãàìèëüòîíèàí è óðàâíåíèå äâèæåíèÿÏîëíûé ãàìèëüòîíèàí ïîäñèñòåìû ýëåêòðîíîâ â ïðåäñòàâëåíèè âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ äëÿ áîëüøîãî êàíîíè÷åñêîãî àíñàìáëÿ çàïèøåì â ôîðìå ñóììû êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ è ýôôåêòèâíîãî ïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ³e ´2Zp̂ − AcĤ = d3 rΨ̂+(t,r)(2)+ eϕ − µ Ψ̂σ (t, r)σ2m1+2Z+d3 r1 d3 r2 Ψ̂+σ (t, r1 ) Ψ̂σ 0 (t, r2 ) U (r1 −r2 )Ψ̂σ 0 (t, r2 ) Ψ̂σ (t, r1 ) .Ψ̂σ (t, r) îïåðàòîð óíè÷òîæåíèÿ ýëåêòðîíà â (r, t) ïðåäñòàâëåíèè, p̂ îïåðàòîðèìïóëüñà ýëåêòðîíà, A, ϕ ïîòåíöèàëû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.  (2) ìû ïðåíåáðåãàåì êðèñòàëëè÷åñêîé ñòðóêòóðîé òåëà, σ = ±1 åñòü óäâîåííàÿ ïðîåêöèÿñïèíà íà îäíó èç îñåé, ïîñòîÿííàÿ µ åñòü õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ýëåêòðîíîâ.Âûïèøåì òàêæå îïåðàòîð ïîëíîãî ÷èñëà ÷àñòèöZ(3)N̂ = d3 rΨ̂+σ (t, r)Ψ̂σ (t, r).Êâàíòîâîå ïîëå ôåðìè-÷àñòèö óäîâëåòâîðÿåò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì:{Ψ̂σ (t, r1 ), Ψ̂+σ 0 (t, r2 )} = δσσ 0 δ(r1 − r2 ),(4){Ψ̂σ (t, r1 ), Ψ̂σ0 (t, r2 )} = 0,(5)202Ëåêöèÿ 14.
Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿãäå {...} àíòèêîììóòàòîð. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî â (2) îïåðàòîðû ôåðìè-ïîëÿñòîÿò â íîðìàëüíîì ïîðÿäêå ñëåâà îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ ôåðìèîíîâ, ñïðàâà îïåðàòîðû ïîãëîùåíèÿ.Ïîòåíöèàë U (r1 − r2 ) ðàâåí ñóììå êóëîíîâñêîãî îòòàëêèâàíèÿ ýëåêòðîíîâ èïðèòÿæåíèÿ, êîòîðîå âîçíèêàåò êàê ðåçóëüòàò âçàèìîäåéñòâèÿ ëåòÿùèõ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ýëåêòðîíîâ áëàãîäàðÿ îáìåíó ôîíîíîì èëè ìàãíîíîì.
Îáìåí ôîíîíàìè ïðîöåññ âòîðîãî ïîðÿäêà, è, ñîãëàñíî òåîðèè âîçìóùåíèé, ïðèâîäèò êïîíèæåíèþ ýíåðãèè, ò. å. ê ïðèòÿæåíèþ (ñì. ðàçäåë *****).  ìåòàëëàõ êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå çàýêðàíèðîâàíî è ñèëüíî îñëàáëåíî. Åñëè ïðèòÿæåíèåïðåâàëèðóåò, òî ìåòàëë ïðè äîñòàòî÷íî íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ïåðåõîäèò â ñâåðõïðîâîäÿùåå ñîñòîÿíèå.  òàêèõ ìåòàëëàõ êàê Cu ïðåîáëàäàåò îòòàëêèâàíèå, èïåðåõîäà â ñâåðõïðîâîäÿùåå ñîñòîÿíèÿ íåò. Èíòåðåñíî, ÷òî â ñîåäèíåíèÿõ, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ êóïðàòàìè, ïðè÷èíîé ñâåðõïðîâîäèìîñòè ÿâëÿåòñÿ ñèëüíîåâçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè ñ ïîäñèñòåìîé ñïèíîâ èîíîâ ìåäè âîâíóòðèêðèñòàëëè÷åñêèõ ïëîñêîñòÿõ CuO2 .Êîðîòêîäåéñòâóþùèé ïàðíûé ïîòåíöèàë ýôôåêòèâíîãî ïðèòÿæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ìîæíî çàìåíèòü íà ëîêàëüíûéU (r1 − r2 ) = U0 δ(r1 − r2 ).(6)Ïàðàìåòð U0 èìååò ðàçìåðíîñòü ýíåðãèÿ×îáúåì è çàïèñûâàåòñÿ â âèäåU0 =4π~2 a.m(7)Âåëè÷èíà a íàçûâàåòñÿ äëèíîé ðàññåÿíèÿ.
 ñëó÷àå ïðèòÿæåíèÿ âåëè÷èíû U0 èa îòðèöàòåëüíû.Èòàê, ãàìèëüòîíèàí (2) ïðèíèìàåò âèäeZ(p̂ − A)21+cĤ = d3 r Ψ̂++ eϕ − µ Ψ̂σ (t, r) + U0 Ψ̂+σ (t, r)σ (t, r)Ψ̂−σ (t, r)Ψ̂−σ (t, r)Ψ̂σ (t, r)2m2(8)Ïîòåíöèàë (6) ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî âçàèìîäåéñòâóþò ýëåêòðîíû íàõîäÿùèåñÿ âîäíîì ìåñòå.  ñèëó ïðèíöèïà Ïàóëè, äëÿ ýòîãî îíè äîëæíû èìåòü ðàçíûå ïðîåêöèè ñïèíà, ÷òî è îòðàæåíî â (8).Ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò ãàéçåíáåðãîâñêèõ îïåðàòîðîâ ðàâíàhi∂i~ Ψ̂σ (t, r) = Ψ̂σ (t, r), Ĥ .(9)∂tÂû÷èñëÿÿ êîììóòàòîð ñ ïîìîùüþ (4), (5), ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîìó "óðàâíåíèþØðåäèíãåðà ":µ¶(p̂ − ec A)2∂i~ Ψ̂σ (t, r) =+ eϕ − µ Ψ̂σ (t, r) + U0 Ψ̂+−σ (t, r)Ψ̂−σ (t, r)Ψ̂σ (t, r). (10)∂t2m îòñóòñòâèå âíåøíåãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëå èìååìµ 2¶p̂∂− µ Ψ̂σ (t, r) + U0 Ψ̂+i~ Ψ̂σ (t, r) =−σ (t, r)Ψ̂−σ (t, r)Ψ̂σ (t, r).∂t2m203(11)Ëåêöèÿ 14.
Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿÑîâðåìåííàÿ íàóêà íå ìîæåò ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå òî÷íî. Íî â ñëó÷àå ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (nU0 ¿ µ), ÷òîáû íàéòè ýëåìåíòàðíûå âîçáóæäåíèÿ äîñòàòî÷íî íåëèíåéíûé ÷ëåí ó÷åñòü ïðèáëèæåííî. Ðàññìîòðåíèå åãî â ðàìêàõ òåîðèèâîçìóùåíèé äàåò òîëüêî ïåðåíîðìèðîâêó ìàññû ýëåêòðîíà è ñëàáîå çàòóõàíèåâîçáóæäåíèé. ×òîáû óâèäåòü â (10) ñâåðõïðîâîäèìîñòü, íåîõîäèìî â ðåøåíèåçàäà÷è ââåñòè èäåþ, êîòîðàÿ áû îòðàæàëà ôèçè÷åñêóþ ïðè÷èíó êà÷åñòâåííîéïåðåñòðîéêè ýëåêòðîííîé ïîäñèñòåìû, àíàëîãè÷íóþ òîé, êîòîðàÿ ïðèâåëà ê ìèêðîñêîïè÷åñêîìó îáúÿñíåíèþ ñâåðõòåêó÷åñòè áîçå-ãàçà.  áîçå-ãàçå - ýòî êîíäåíñàöèÿ Áîçå-Ýéíøòåéíà. ßâëåíèÿ êîíäåíñàöèè â ôåðìè-ãàçå íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòüèç-çà ïðèíöèïà Ïàóëè. Íî íà óðîâíå êîëëåêòèâíûõ áîçå-âîçáóæäåíèé êîíäåíñàöèÿ ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíîé.
Òàêèìè êîëëåêòèâíûìè âîçáóæäåíèÿìè â ôåðìè-ãàçåÿâëÿþòñÿ êóïåðîâñêèå ïàðû.14.2 Ôåíîìåí ÊóïåðàÏðåæäå, ÷åì çàíèìàòüñÿ ìíîãî÷àñòè÷íîé ïðîáëåìîé, ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå äâóõâûäåëåííûõ ýëåêòðîíîâ ñ ëîêàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì, êîòîðûå äâèãàþòñÿ íàôîíå îñòàëüíûõ ýëåêòðîíîâ, çàïîëíÿþùèõ ñôåðó Ôåðìè. Ýòî äâèæåíèå îïèñûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà:·µ 2¶ µ 2¶¸p̂1p̂2−µ +− µ + U0 δ(r1 − r2 ) ψ(r1 , r2 ) = Eψ(r1 , r2 ).(12)2m2mÐîëü çàïîëíåííîé ôåðìè-ñôåðû ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî èç ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà,äîñòóïíîãî ýòèì ýëåêòðîíàì, â ñèëó ïðèíöèïà Ïàóëè èñêëþ÷åíû ñîñòîÿíèÿ, íàõîäÿùèåñÿ âíóòðè ýòîé ñôåðû. Òîãäà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ åñòüôóíêöèÿ ïîêîþùåéñÿ ïàðû ýëåêòðîíîâ. Ýòà ôóíêöèÿ çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ýëåêòðîíàìè r = (r1 − r2 ) è ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â ôîðìåXψk eikr .(13)ψ(r1 , r2 ) =k>kFÏðè ñóììèðîâàíèè ïî èìïóëüñàì ó÷òåíî, ÷òî âñå ñîñòîÿíèÿ âíóòðè ïîâåðõíîñòèÔåðìè çàíÿòû.
Äëÿ êðàòêîñòè çäåñü è äàëåå ìû ïîëàãàåì ~ = 1. Ïîäñòàâëÿÿ (13)â (12), ïîëó÷è춸X · µ k 02X0− µ − E ψk0 eik r + U02ψk0 δ(r) = 0.2m00k >kFk >kFÓìíîæàÿ ýòî óðàâíåíèå íà e−ikr è èíòåãðèðóÿ ïî îáúåìó V , íàõîäè춸· µ 2Xk− µ − E ψk + U0ψk 0 = 0V 22m0k >kFÎòñþäàXU0 /V¶ψk0ψk = − µ 2k02− µ ) − E k >kF2m204Ëåêöèÿ 14. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿPÑóììèðóÿ ïî èìïóëüñàì è ñîêðàùàÿ íà k0 >kF ψk0 , ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèåXU /Vµ 2 0 ¶1=−kk>kF 2−µ −E2mk2− µ.êîòîðîå ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó ïî ξ =2mÍàïîìíèì, ÷òîZ ωDX1= Vdξν(ξ), ν(ξ) ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé.20(14)k>kFÒîãäà1− g2ZωDdξν(ξ)= 1.2ξ − E0Âåðõíèé ïðåäåë èíòåãðèðîâàíèÿ ìû ôîðìàëüíî îáîçíà÷èëè ÷åðåç ωD , èìåÿ ââèäó, ÷òî âïîñëåäñòâèè áóäåò óñòàíîâëåíî (****), ÷òî â ìåòàëëå ïðèòÿãèâàþòñÿýëåêòðîíû âáëèçè ýíåðãèè Ôåðìè â êîðî÷êå òîëùèíîé ïîðÿäêà ýíåðãèè ÄåáàÿωD .Ïðè g < 0 ñóùåñòâóåò ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûì ñîáñòâåííîåçíà÷åíèåì E = − |E|.
Ïðåíåáðåãàÿ çàâèñèìîñòüþ ïëîòíîñòèν(ξ) ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé îò ýíåðãèè âîçáóæäåíèÿ, ïîëó÷àåì12ωD|U0 | ν(0) ln= 1.2|E|Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî·|E| = ωD exp −¸2.|U0 | ν(0)(15)Èòàê, ðàññìîòðåííàÿ çàäà÷à ïîêàçûâàåò, ÷òî äâà ýëåêòðîíà íà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè îáðàçóþò ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå ñ ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëîé ýíåðãèåé ñâÿçè Óäèâèòåëüíûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â òðåõìåðíîé çàäà÷å ñêîëü óãîäíî ñëàáîå ïðèòÿæåíèå ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ.
Ýòî îáóñëîâëåíî òåì,÷òî νF 6= 0. Òåîðåìà îá îòñóòñòâèè ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ îòíîñèòñÿ ê ðåøåíèÿì îäíî÷àñòè÷íîãî òðåõìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ ìåëêèì ïîòåíöèàëîì.À â çàäà÷å Êóïåðà ,ôàêòè÷åñêè, ðàññìàòðèâàåòñÿ îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå ïàðûýëåêòðîíîâ íà ôîíå ìîðÿ äðóãèõ ýëåêòðîíîâ, çàíèìàþùèõ âñå ñîñòîÿíèÿ ïîä ïîâåðõíîñòüþ Ôåðìè.  îáû÷íîé êâàíòîâîìåõàíè÷ñêîé çàäà÷å ñêîëü óãîäíî ñëàáîåïðèòÿæåíèå ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ òîëüêî â îäíîìåðèè.14.3 Óðàâíåíèÿ Áîãîëþáîâà-Äå ÆåíàÄâóõ÷àñòè÷íàÿ çàäà÷à Êóïåðà ïîó÷èòåëüíà â òîì ñìûñëå, ÷òî îíà äåìîíñòðèðóåò,÷òî ïðè U0 < 0 ýëåêòðîíû âáëèçè ïîâåðõíîñòè Ôåðìè ñâÿçûâàþòñÿ â ïîêîþùèåñÿïàðû áîçå-÷àñòèöû ñ íóëåâûì ñóììàðíûì èìïóëüñîì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
